ECOLE JEAN-PIAGET - GENEVE

ECOLE JEAN-PIAGET - GENEVE

ECOLE DE CULTURE GENERALE POUR ADULTES EXAMEN – MATHEMATIQUES II – socio-éducatif

Formulaire

Équation du deuxième degré :

Si ^{ax2 bx c=0} alors: ∆ =b²−4ac puis: 1

2 x b

a

− + ∆

= et 2

2 x b

a

− − ∆

=

Procédure pour une étude d’une fonction f :

• Les points remarquables de la fonction :

- Les zéros f ∩OX , c’est-à-dire les x tels que ( )f x =0 - L’ordonnée à l’origine f ∩OY, c’est-à-dire y= f(0)

• Domaine de définition de f sont toutes les valeurs de x pour lesquels ( )f x existe : Df

• Les asymptotes verticales x = a et horizontales y = c

• Tableau des signes

• Représentation graphique

Théorème des asymptotes horizontales Soit

1

1 1 0

1

1 1 0

( )

n n

n n

k k

k k

a x a x a x a

f x b x b x b x b

− −

− −

+ + + +

= + + + +

⋯

⋯ avec a_n ≠0 et b_k ≠0

1) Si n < k, alors l’axe des x (la droite y = 0) est l’asymptote horizontale du graphique de f.

2) Si n = k, alors la droite ⁿ

k

y a

= b est l’asymptote horizontale du graphique de f.

3) Si n > k, le graphique de f n’a pas d’asymptote horizontale.

Analyse combinatoire

Permutations :

P

= n !

1 2

!

! ! ... !

n

k

P n

n n n

= ⋅ ⋅ ⋅

Arrangements :

^A

⁼ ( ^{n − n ! p} ) ^{! A}

^{= n}

Combinaisons :

^C

⁼ ( ^{n − p n} ) ^{! ! ⋅ p !}

Probabilités

possibles cas

de nombre

favorables cas

de nombre

) ( E

P

P ( E ) = 1 − P ( E )

( ) ( ) ( )

P A∩B = P A P B A⋅ P(A∪B)= P(A)+ P(B)−P(A∩B)

Statistique descriptive

• La moyenne pondérée : 1 k

i i i

n x

x n

=

∑

L’écart absolu moyen : nⁱ x xⁱ

e n

=

∑

(

)

n

=

∑

Théorème de König-Huyghens :

2 i i 2

v n x x

=

∑

L’écart type : = v

• Si la distribution est normale, alors on a:

• 68,3 % des valeurs sont situées entre x−σet x+σ

• 95,4 % des valeurs sont situées entre x−²σ et x+²σ

• 99,7 % des valeurs sont situées entre x−³σ et x+³σ

• La médiane xɶ est la valeur qui sépare la population en deux groupes égaux.

Les quartiles : 1

( ) 1 25%

F Q = =4 2

( ) 2 50%

xɶ=F Q = =4 3

( ) 3 75%

F Q = =4 L’intervalle semi-interquartile : ^I=Q3₂^−Q1

• Pour une population P en se basant sur un échantillon E on a les estimations pour : La moyenne : Mˆ =x La variance : ˆ

1

V n v

=n ⋅

− L’écart type : ˆS = Vˆ

• La covariance : 1

( )( )

cov( , )

n

i i

i

x x y y

x y N

=

− −

=

∑

cov( , ) 1 n

i i i

x y

x y x y

n

=

∑

• Le coefficient de corrélation :

cov( , )

x y

r x y

= σ σ

⋅

• Par convention on dira que pour : r =1 la corrélation est parfaite 95

,

>0

r la corrélation est évidente 7

,

>0

r la corrélation est acceptable 7

,

<0

r la corrélation est plus que douteuse

• Régression linéaire : ^{y=ax b} avec : ^{cov( , )}

x

a x y

= v et ^{b= y−a x} Variable

statistique Effectif Fréquence

1 2

i

k

x x

x

x

⋮

⋮

1 2

i

k

n n

n

n

⋮

⋮

1 2

i i

k

f f f n

n f

=

⋮

⋮

1 k

i i

n n

=

=

∑