A20028. Pour clˆoturer 2002 On divise 10

A20028. Pour clˆ oturer 2002

On divise 10²⁰⁰² par 10⁷⁷+ 7 (division avec reste).

a) Dans le quotient, quel est le chiffre des unit´es ?

b) Dans le quotient, quels sont les chiffres qui apparaissent le plus souvent ? Solution

a) J’observe que 2002 est multiple de 26 (77 fois 26) et je consid`ere la factorisation (qui marche parce que 26 est pair)

a²⁶−b²⁶= (a+b)(a²⁵−a²⁴b+a²³b²−. . .+ab²⁴−b²⁵).

Faisonsa= 10⁷⁷,b= 7.

10²⁰⁰²−7²⁶est multiple entier de 10⁷⁷+ 7, et on a ´evidemment 7²⁶<10²⁶<

10⁷⁷+ 7, ce qui montre que 7²⁶ est le reste de la division euclidienne.

Le quotient de cette division est donc

10^77.25−10^77.24.7 + 10^77.23.7²−10^77.22.7³+. . .+ 10⁷⁷.7²⁴−7²⁵.

Comme 7⁴−1 est multiple de 100, il en est de mˆeme de 7²⁴−1 et de 7²⁵−7.

7²⁵ a 7 comme chiffre des unit´es, donc le quotient a 3 comme chiffre des unit´es.

b) Le quotient est un nombre de 77.25 = 1925 chiffres, soit 25 blocs de 77 chiffres.

Selon que leur rangr`a partir de la gauche est impair ou pair, ces blocs sont de la forme 10⁷⁷−7^r ou de la forme 7^r−1. Comme 7<10, ils comportent au moins, comme premiers chiffres, 77−r chiffres 9 (rang impair) ou 77−r z´eros (rang pair).

Les rangs allant de 1 `a 25, le rang moyen est 13, pour les 12 rangs pairs comme pour les 13 rangs impairs. Sur les 1925 chiffres, il y a au moins (77−13)13 = 832 chiffres 9, et (77−13)12 = 768 z´eros, ce qu’aucun des chiffres 1 `a 8 ne peut concurrencer, puisque seulement 1925−832−768 = 325 positions ne sont pas d´ej`a occup´ees par 0 ou 9.

N. B. : le calcul complet montre qu’il y a 30 chiffres 1, 29 chiffres 2, 31 chiffres 3, 27 chiffres 4, 24 chiffres 5, 28 chiffres 6, 23 chiffres 7, 33 chiffres 8, 882 chiffres 9 et 818 z´eros.

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