Problème proposé par Dominique Roux
Soit un triangle ABC acutangle tel que AB > AC. Les points O et H sont respectivement le centre du cercle circonscrit et l’orthocentre. La droite (OH) rencontre la droite (AB) au point P et la droite (AC) au point Q. Démontrer que PO = HQ si et seulement si BAC = 60°.
L’angle en A mesure 60° si et seulement si BCOH sont sur un même cercle de centre le milieu de l’arc BC, donc AO=AH, et la droite d’Euler est perpendiculaire à la bissectrice intérieure de l’angle A.
Alors AOH et APQ sont isocèles, les triangles AOP et AHQ égaux et PO=HQ.
Inversement, comme PO/sin(PAO)=HQ/sin(HAQ), AO/sinP=AH/sinQ et que dans le triangle APQ , AQ/sinP=AP/sinQ , AO/AH=AQ/AP. Or par symétrie par
rapport à la bissectrice de l’angle A, on voit que si AO<AH, AP<AQ (ou l’inverse) : l’égalité ci-dessus ne peut avoir lieu que si AO=AH, donc si l’angle A mesure 60°.
