A207 - La lutte pour la vie.
Solution
D’après les hypothèses faites, dimanche dernier après-midi il restait 0 serpent, 1 scorpion et 1 souris. Le même jour, avant midi, il restait 1 serpent, 1 scorpion et 1 souris et à l’aube avant le repas du serpent, il restait 1 serpent, 1 scorpion et 2 souris. Plus généralement, si l’on désigne par n le quantième du jour qui précède ce dernier dimanche (n=0) et par x(n),y(n) et z(n) les effectifs respectifs des serpents, scorpions et souris à la fin de cette journée n, on a les trois identités suivantes :
- la variation du nombre de serpents entre n-1 et n est égale au nombre de scorpions du jour n, soit x(n) – x(n-1) = y(n) ou x(n) = y(n)
- la variation du nombre de scorpions entre n-1 et n est égale au nombre de souris du jour n-1, soit y(n) – y(n-1) = z(n-1) ou y(n) = z(n-1)
- la variation du nombre de souris entre n-1 et n est égale au nombre de serpents du jour n, soit z(n) – z(n-1) = x(n) ou z(n) = x(n)
Ces relations permettent de remplir ligne à ligne le tableau ci-après :
Une semaine auparavant il y avait donc 872 scorpions, deux semaines avant 5 736 961 souris et quatre semaines auparavant 36 725 363 369 088 serpents !!!
A l’évidence le modèle explose et montre ses limites car il est trop simplificateur. Il n’en reste pas moins intéressant car il met en lumière le caractère exponentiel des évolutions
démographiques et la rapidité avec laquelle certaines populations du monde animal peuvent disparaître ou a contrario se développer.
Si l’on veut obtenir une formule générale donnant les effectifs des trois populations en fonction de n, on utilise les trois identités précédemment définies qui donnent z(n) =z(n- 1), d’où la formule de récurrence
z(n) = 4*z(n-1) – 3*z(n-2) + z(n-3) qui donne le nombre de souris au jour n à partir des effectifs connus aux jours n-1, n-2 et n-3 et par le biais du calcul matriciel permet d’exprimer
jour quantième serpents scorpions souris
dimanche 0 0 0 1
samedi 1 1 1 2
vendredi 2 4 3 6
jeudi 3 13 9 19
mercredi 4 41 28 60
mardi 5 129 88 189
lundi 6 406 277 595
dimanche 7 1 278 872 1 873
samedi 8 4 023 2 745 5 896
vendredi 9 12 664 8 641 18 560
jeudi 10 39 865 27 201 58 425
mercredi 11 125 491 85 626 183 916
mardi 12 395 033 269 542 578 949
lundi 13 1 243 524 848 491 1 822 473
dimanche 14 3 914 488 2 670 964 5 736 961
samedi 15 12 322 413 8 407 925 18 059 374
vendredi 16 38 789 712 26 467 299 56 849 086
jeudi 17 122 106 097 83 316 385 178 955 183
mercredi 18 384 377 665 262 271 568 563 332 848
mardi 19 1 209 982 081 825 604 416 1 773 314 929
lundi 20 3 808 901 426 2 598 919 345 5 582 216 355
dimanche 21 11 990 037 126 8 181 135 700 17 572 253 481
samedi 22 37 743 426 307 25 753 389 181 55 315 679 788
vendredi 23 118 812 495 276 81 069 068 969 174 128 175 064
jeudi 24 374 009 739 309 255 197 244 033 548 137 914 373
mercredi 25 1 177 344 897 715 803 335 158 406 1 725 482 812 088 mardi 26 3 706 162 868 209 2 528 817 970 494 5 431 645 680 297 lundi 27 11 666 626 519 000 7 960 463 650 791 17 098 272 199 297 dimanche 28 36 725 362 369 088 25 058 735 850 088 53 823 634 568 385
z(n) en fonction de n . La formule ainsi obtenue confirmerait que dans z(n) il y a un terme principal de la forme anavec a constante > 1.
On vérifie qu’on obtient pour x(n) et y(n) des relations du même type : x(n) = 4*x(n-1) – 3*x(n-2) + x(n-3) et y(n) = 4*y(n-1) – 3*y(n-2) + y(n-3).
S’il y avait eu un scorpion au lieu d’une souris dimanche dernier au soir, on retrouve les effectifs du tableau précédent avec interversion des colonnes et décalage d’un jour. Le nombre des scorpions sept jours avant (595) était celui des souris le lundi précédent, c’est à dire 6 jours avant.
jour quantième serpents scorpions souris
dimanche 0 0 1 0
samedi 1 1 1 1
vendredi 2 3 2 4
jeudi 3 9 6 13
mercredi 4 28 19 41
mardi 5 88 60 129
lundi 6 277 189 406
dimanche 7 872 595 1 278
samedi 8 2 745 1 873 4 023
vendredi 9 8 641 5 896 12 664
jeudi 10 27 201 18 560 39 865
mercredi 11 85 626 58 425 125 491
mardi 12 269 542 183 916 395 033
lundi 13 848 491 578 949 1 243 524
dimanche 14 2 670 964 1 822 473 3 914 488
samedi 15 8 407 925 5 736 961 12 322 413
vendredi 16 26 467 299 18 059 374 38 789 712
jeudi 17 83 316 385 56 849 086 122 106 097
mercredi 18 262 271 568 178 955 183 384 377 665
mardi 19 825 604 416 563 332 848 1 209 982 081
lundi 20 2 598 919 345 1 773 314 929 3 808 901 426
dimanche 21 8 181 135 700 5 582 216 355 11 990 037 126
samedi 22 25 753 389 181 17 572 253 481 37 743 426 307
vendredi 23 81 069 068 969 55 315 679 788 118 812 495 276
jeudi 24 255 197 244 033 174 128 175 064 374 009 739 309
mercredi 25 803 335 158 406 548 137 914 373 1 177 344 897 715 mardi 26 2 528 817 970 494 1 725 482 812 088 3 706 162 868 209 lundi 27 7 960 463 650 791 5 431 645 680 297 11 666 626 519 000 dimanche 28 25 058 735 850 088 17 098 272 199 297 36 725 362 369 088
