A312 Les trous noirs mathémagiques [**** à la main]

A312 Les trous noirs mathémagiques [**** à la main]

Solution

Trou noir 15

Soit un nombre naturel N > 1. On liste ses diviseurs 1 et N inclus. On calcule la somme des chiffres de tous ces diviseurs et on la substitue à N.On répète l’opération jusqu’à obtenir 15 dont les quatre diviseurs 1,3,5 et 15 ont des chiffres 1,3,5,1,5 dont somme est à nouveau égale à 15. Ce dernier nombre est le seul à avoir cette propriété.

Exemple N=120. On arrive au trou noir 15 après 16 itérations :

Trou noir 123

Soit un entier naturel N>1. On en dénombre le nombre de chiffres pairs P , le nombre de chiffres impairs I et le nombre total de chiffres T. On écrit le nombre obtenu en

« concaténant » dans cet ordre PIT et le nombre obtenu se substitue à N . On répète le processus autant de fois que nécessaire et on tombe inévitablement dans le trou noir 123 (T=3=P+I=1+2)

Soit N=12345678987654321222222222.

P =17, I = 9, T = 26.

D’où N = PIT = 17926.

P=3, I=2 et T=5 D’où N = PIT = 325.

P=1, I=2 et T=3 Trou noir 153

Ce nombre est bien connu pour être un nombre narcissique. Si on exclut 0 et 1, les seuls entiers naturels qui sont égaux à la somme des cubes de leurs chiffres sont 153, 370, 371 et 407. Par exemple 153 = 1³5³3³=1 + 125 + 27. Ces nombres sont appelés nombres narcissiques d’ordre 3(voir A302).

Parmi ceux-ci, seul 153 qui est un multiple de 3 a la propriété d’être un trou noir pour les nombres eux-mêmes multiples de 3.

Soit alors un entier naturel N>1 multiple de 3. On calcule la somme des cubes de ses chiffres.

Le nombre obtenu se substitue à N et on répète le processus autant de fois que nécessaire jusqu’à tomber dans le trou noir 153.

Exemple :N = 98766.

2016 6

6 7 8

9³ ³ ³ ³ ³

D’où le tableau donnant la séquence des résultats aboutissant à 13

Trou noir 6174

On retrouve avec 6174 la fameuse constante de Kaprekar qui a bien la caractéristique d’être un trou noir.

Soit un entier naturel N à 4 chiffres non multiple de 1111. On réarrange le chiffres de façon à former la plus grande permutation et la plus petite permutation possibles. On calcule la différence des deux nombres et le résultat se substitue à N. On répète le processus jusqu’à obtenir 6174 qui est tel que 6174 = 7641 – 1467.

Exemple : N=7893 9873 – 3789 = 6084 8640 – 468 = 8172 8721 – 1278 = 7443 7443 – 3447 = 3996 9963 – 3699 = 6264 6642 – 2466 = 4176 7641 – 1467 = 6174