Enoncé A235 (Diophante) Un trou de mémoire
Zig vient de passer son oral de mathématiques au concours d’entrée à l’I.R.M.(Institut des Récréations Mathématiques) et Puce lui demande l’énoncé de l’exercice sur lequel il a planché.
Zig : « Il s’agissait de déterminer la somme S3 des cubes de trois variables x, y etz (x ≤y ≤z) dont on donnait la somme S1, la somme des carrés S2 et la somme des puissances quatrièmes S4. Je me rappelle la valeur de S1 = 2 mais j’ai un trou de mémoire sur les valeurs des deux autres sommes. Mon seul souvenir est que les trois sommes prises dans l’ordre S1, S2 et S4 formaient une progression géométrique.
Puce : « Il m’est impossible de résoudre le problème avec cet énoncé tron- qué ».
Zig : « Tu as raison. Après le calcul de S3, l’examinateur m’a demandé de calculer de la même manière la somme S5 des puissances cinquièmes.
Faute de temps, je ne n’y suis pas parvenu. Il fallait trouver 2102. » Avec ces précisions, montrer que Puce est capable de calculer S3 et par la même occasion de retrouver S2 etS4?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
1/ Cette énigme classée dans la catégorie Algèbre peut se résoudre sans connaissance de l’algèbre, mais avec un peu de psychologie. Les données sont des nombres entiers, ce qui n’implique pas que les sommes à trouver le soient aussi, et encore moins que les nombres x, y, z le soient ; néanmoins, il vaut de regarder si Diophante n’aurait pas construit son problème en partant de nombres entiers.
Un peu de calcul mental donne la liste des puissances cinquièmes 1, 32, 243, 1024, 3125, et on observe que
2102 = 3125−1024 + 1 = 55−45+ 15.
Il est dès lors facile de conjecturer que (x, y, z) = (−4,1,5), ce qui donne S1 = 2 comme spécifié, S2 = 42, S3 = 62, S4 = 882 = (S2)2/S1 ce qui exprime la progression géométrique spécifiée.
2/ Mais voici la solution par l’algèbre.
Les nombresx, y, z sont les racines d’une équation X3−S1X2+aX−b= 0.
Multipliant par 1, X, X2 respectivement et ajoutant les relations oùX est remplacé parx, y, z on obtient
S3−S1S2+aS1−3b= 0, S4−S1S3+aS2−bS1 = 0, S5−S1S4+aS3−bS2 = 0.
Eliminantb,
3S4−4S1S3+S12S2+a(3S2−S12) = 0,
3S5−S2S3−3S1S4+S1S22+a(3S3−S1S2) = 0.
Commea= (S21−S2)/2,
6S4−8S1S3−3S22+ 6S12S2−S14 = 0, (relation permettant à Zig de trouver S3 connaissant S1, S2, S4)
6S5−6S1S4+ (3S12−5S2)S3+ 3S1S22−S13S2 = 0.
EliminantS3,
16S1S5−10S12S4−5S12S22+ 5S14S2−S16−10S2S4+ 5S23 = 0.
Cette expression est encore homogène par rapport àx, y, z. Ce ne sera plus le cas quand on introduit la condition S1S4 = S22 exprimant la progres- sion géométrique. Soit donc S2 = rS1, S4 = r2S1. On obtient l’équation déterminantr
5S1(S1−2)r3−5S12(S1+ 2)r2+ 5rS14−S15+ 16S5= 0.
Avec les données S1 = 2, S5 = 2102, l’équation devient r(r−1) = 420, et comme r = S4/S2, rapport de quantités positives, la racine r = −20 ne convient pas et il faut r= 21, S2= 42, S4 = 882.
S3= (6S4−3S22+ 6S12S2−S14)/(8S1) = (3r2(2−S1) + (6r−S1)S12)/8 etS3= 3r−1 quandS1 = 2, d’oùS3 = 62.
Remarque Le déterminant
0 0 1 S1
0 2 S1 S2 3 S1 S2 S3 1 X X2 X3
est un polynôme en X admettant les Sk comme somme des puissances k-ièmes des racines (ce résultat s’étend aux polynômes de tout degré).
Si les Sk sont les sommes des puissances de 3 nombres (réels ou com- plexes), le tableau suivant est de rang 3 : les déterminants 4×4 obtenus en supprimant une ligne sont tous nuls.
0 0 1 S1
0 2 S1 S2 3 S1 S2 S3 S1 S2 S3 S4
S2 S3 S4 S5
Les expressions S3= 3r−1,S5 = 5r2−5r+ 2 obtenues pour S1= 2 avec la conditionS1S4=S22 conduisent au tableau, de rang 3 quel que soitr
0 0 1 2
0 2 2 2r
3 2 2r 3r−1
2 2r 3r−1 2r2
2r 3r−1 2r2 5r2−5r+ 2
