Le but de ce cours est de présenter une forme particulière d’analyse asymptotique, dans le cadre de l’analyse semi-classique (ou analyse haute fréquence), connue sous le nom d’analyse BKW. Le fil conducteur est l’équation de Schrödinger. D’autres équations seront évoquées, typiquement l’équation des ondes. On s’intéresse dans un premier temps à l’équation de Schrödinger linéaire, et on procède selon trois étapes : obtention formelle d’équations pour proposer une solution approchée, analyse de ces équations, et estimation d’erreur pour valider le calcul formel initial. Dans un second temps, on considère l’équation de Schrödinger non linéaire, où un nouveau paramètre entre en jeu dans l’analyse BKW : la taille des solutions. Nous donnerons enfin des applications (problème de Cauchy non linéaire) et extensions de cette approche (cas faiblement non linéaire multiphase).
Mots-clés : équation de Schrödinger, analyse semi-classique, équation eikonale, Hamilton-Jacobi, équation de transport, estimations d’énergie.
