Signes de solutions d'équation du second degré et système d'inéquations

Leçon 23:

Signes de solutions d'équation du second degré et système d'inéquations

Activité

Donner la somme et le produit des racines de chacune des équations suivantes.

1.

^{x2 +}

x+l:0 2.

^ax2

+bx+c:0

Le

cours

Soitl'équation

ax2

+bx+c:0

de

soluiions a _{et P.}

D'après la

formule

de Viète, on a ^:

. _{a <0,8}

_<

₀

sont solutions de ax2

+bx+c=o

lorsque

. d<0,8>0

sont solutions

de

ax2

+bx+c=O

lorsque

Exemple

I

I

: Résoudre le système

d'inéquatror, {"'

^{,- 4x + I}

⁾

⁰

Solution. - l-" ^-x+12>o

On résout chacune des équations de ce système ^: .

f

inéquation

xt -4x+l>0

On résout

l'équation x' -

^{4x + I}

:

0

A:(4)'-4xlxl:I2

4-JO 4-2Ji n ti

,t= 2 =

2 =l-]'i Jt

++Jn ^q+2Ji ^ ^E

*.2-:-=tT-Ut

'22

.

I'inéquation -x' -x+12>0

On résout

l'équation - x' -

^x

^+12=0,

n: (-l)t -4x (-l) xl2:49 -(-l) -J49 -t+7

-r: I :--r _=t,

Mathémati

x2

- ^(-r)

⁺

^J4e -l-7 i

=-=<l 2

Les solutions de ce système sont représentées par :

4 z-Jj 3 ²⁺

-4

^{< x <}

2-.13.

on écrit aussi

a

-L

On obtient donc Exemple

2

^:

s:f+,2-Jil

Déterminer le réel

q

pour que

l'équation

x2

-(q ^+2)x

^{+ q}

^{+5= 0}

^{ait deux solutions}

positives.

Solution:

Soit a ^et B detxsolutions de

x2

-(q+2)x+q+5 :0.

Pour que cette équation ait deux solutions positives,

Il

faut que :

(q -2)(q

^{+ 2) > 0}

q>-2 q>-5

Les valeurs

de q

sont représentées

par:

Onobtient donc q24.

Exemple 3 :

Déterminer le réel

d

^{pour que} l'équation x2 +

ax+ a:0

aitdeux solutions distinctes et appartiennent ^à

I'intervdle f ^{t ;}

^1[.

Solution

:

Soit a ^et B

devxsolutions

,2 **+o=0.

Ona: a+B:-a,df :e.

Pour que

l'équation ,2

+

ot

+ a =

0

^{aitdeux solutions} distinctes et appartiennent à

I'intervalle

(l)

c'est-à-dire

<2

...(2) ....-.--.-(3) ...(4) On résout :

.(l): a' -4a>O

a' -4a

⁼

a(a-4)

> 0

Exercices

1.

^Résoudre le système d'inéquations suivant.

.(2): _-2<a+ ^{p <2}

{a+9<2 [-o.,

la+B>-2 l-or-2

.(3) et (4):

l-t.o <1...(3)

t-t. ^{p <r}

^...(4)

De (3),

on a :

la -t <0

|

p -t.0

i et {'

[a+l >0 _lB+l>0

On résout donc ^:

[{a ^{-r)(P -l)}

^>

⁰ ['p ^-(a

⁺

^F)+l

^{> 0}

[a

⁺

a+l

> 0

[", ^-+

l(a +r)@+l)

>

0 _{laB +@+} f)+l

^>

⁰ _lo- ^o+1

^>

⁰ [,, ^o,-oo

r-+ Wa

Les valeurs

de q

sont représentées p4r

: a

+ B

=-a,dp :

a.

.

On obtient

ddnc -1 .

₂

.,' ^o.0.

a'-4a>o -2<a+ ^p

-I<a<l -r<84

lor 4

ou

lo.2

,. { ,(**a)(.r-2)<0 l-(2x+ 7)(3x-5) <0

Mathématique C4-105

c.

lz*t -s*-3<o d.j

_t1

l3x' -4x -4 ^<0

J.

4.

2.

Déterminer le réel

c

^{pour que} l'équation

,2 -21o-l)x+ 2a+l:0

^{ait deux solutions :}

a. positives b. négatives c. de signes contraires.

Déterminer I'ensemble des réels

p

pour que

l'équation x' -2(p +2)x+2p+7:0 ^ait

deux solutions positives et distinctes.

Déterminer I'ensemblé des réels

a

^{pour que}

l'équation

x2

- ^(a -2)x

⁺

!

_{+ 5 =}

_{0 ait}

L

deux solutions distinctes.

Soit /(x) ^{:ox2 +bx+c,a et} /

sontdeux solutions ^de

l'équation

ax2

+bx+c=0

5.

telles

que a

<

p _{et p} - +.

Examiner les courbes représentatives ci-dessous puis compléter les pointillés.

o

Cas

a>0

a >0,8 >0

^>0,./(0)>0,p>0.

Cas

a<0

a>0,B >0

A > ^0,

/(0)

^{....0, p....O.}

Cas

a>0

a<o,B<o

^

>

0,/(0).

^{...O, p....0.}

a<0<p

,f(o)....0.

I a

dlO,p<0

A >

0,/(0)....0,

p....0.

a<0<B

,f(0)....0.

x

d> k,p> k

L>A,f&)>0,p>

k.

Cas

a<0

a <k,B <k

L > 0,

f

^{(k)....0, p....k.}

a <k,B <k

L

^> 0,

f

(k)....0, p....k.

a<k<B

"f(k\....o.

a<k<p f

^(k)....0.

6.

7.

8.

Déterminerl'ensemble des réels

n pourque l'équation

x2

+2mx-m+2=0 aitdeux

solutions négatives et distinctes.

Déterminer I'ensernble des réels

,z

pour que

l'équation

x2

-8mx-8m*24=0

^{ait deux}

solutions :

a.distinctes et positives.

b.distinctes et de signes contraires.

Déterminer I'ensemble des réels

n

pour que l'équati on

,2

+

(m+

2)x

- ^m+I= 0 ^ait

^ses

solutionJ dans I'intervalte _]

-

^{2, 0[ .}

a>k,B>k

L>O,f(k)....O,p...k.

Mathématique C4-107