Tactiques logiques

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Tactiques logiques

D´edou

Mars 2010

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Rappel sur les ´ enonc´ es

Nos ´enonc´es ont l’une des formes suivantes

V F

A andB Aor B

∀x :E,A ∃y :F,B

et puis il y a les pr´edicats de base (= ≤etc) et enfin il y a des d´efinitions.

Exercice 1

Donnez votre ´enonc´e favori.

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Une forme d’´ enonc´ e = une tactique

On va donner (en gros)

une tactique par forme d’´enonc´e.

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La tactique Vrai

Pour s’´echauffer, on commence avec des tactiques un peu bidon.

La tactique Vrai

le sens de la tactique Vrai, c’est que Vrai est vrai !

elle s’applique lorsque le but (de l’objectif courant) est Vrai elle a pour argument le nom de l’hypoth`ese en question (il peut y en avoir pplusieurs)

elle supprime l’objectif courant (si c’´etait le dernier, la pile devient vide)

elle est “gratuite”

on ne mentionne pas cette tactique dans la r´edaction.

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La tactique Faux

le sens de la tactique Faux, c’est que sous une hypothèse absurde, tout énoncé est vrai (F ⇒V)

elle s’applique lorsqu’une hypoth`ese (du contexte courant) est Faux

elle n’ a pas d’argument

elle supprime l’objectif courant (si c’´etait le dernier, la pile devient vide)

on ne mentionne pas cette tactique dans la r´edaction.

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La tactique Et au but

le sens de cette tactique est que, pour prouver A andB, il suffit de prouver Apuis B

elle s’applique lorsque le but courant est de la forme AandB elle n’ a pas d’argument

elle remplace l’objectif courant (C `A andB) par les deux objectifs : (C `A) et (C `B)

on peut ´ecrire (quelque chose de plus court que) : Nous devons prouver Aand B. Pour cela, commen¸cons par prouver A. ... Et maintenant prouvons B. ...

(7)

Exemple pour la tactique Et au but

Exemple

Je suis en train de prouver que sif est croissante, alors f[a,b] est contenu dans [f(a),f(b)]. Mon objectif courant est le suivant f :R→R, fcroissante, a:R, b:R, a≤b, x ∈f[a,b]

`x∈[f(a),f(b)].

J’explicitex∈[f(a),f(b)] en f(a)≤x andx ≤f(b) puis j’applique la tactique Et au but. Mon objectif courant devient f :R→R, fcroissante, a:R, b:R, a≤b, x ∈f[a,b]

`f(a)≤x.

Exercice

Cette derni`ere tactique a aussi mis un nouvel objectif en attente.

Lequel ?

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La tactique Ou au contexte

le sens de cette tactique est que pour prouver G sachant A orB, il suffit de traˆıter successivement le cas o`u Aest vrai, puis celui o`u B est vrai

elle s’applique lorsque le contexte courant contient une hypoth`ese de la formeA or B

son argument, c’est l’hypoth`ese en question (il pourrait y en avoir plusieurs)

elle remplace l’objectif courant (C⁰,Aor B,C⁰⁰`G) par les deux objectifs (C⁰,A,C⁰⁰ `G) et (C⁰,B,C⁰⁰`G)

on peut ´ecrire (quelque chose de plus court que) : “On sait qu’on a Aor B. Commen¸cons par supposerA. ... Et maintenant supposons B. ...”

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Exemple pour la tactique Ou au contexte

Exemple

Je cherche `a montrer que la compos´ee de deux fonctions monotones est monotone.

Mon objectif courant est

f :R→R,f monotone,g :R→R,g monotone`f◦g monotone J’explicite l’hypoth`ese “f monotone” en

“f est croissante ou f est d´ecroissante”

et j’applique cette tactique Ou au contexte.

Mon objectif courant devient :

f :R→R,f croissante,g :R→R,g monotone`f ◦g monotone

Exo

Cette derni`ere tactique a mis un nouvel objectif en attente.

Lequel ?

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La tactique Et au contexte

le sens de cette tactique est que pour prouver G sachant A andB, il suffit de prouverG sachant Aet B

elle s’applique lorsque le contexte courant contient une hypoth`ese de la formeA andB

son argument, c’est l’hypoth`ese en question (il pourrait y en avoir plusieurs)

elle remplace l’objectif courant C⁰;A andB;C⁰⁰`G par l’objectif C⁰;A;B;C⁰⁰`G

cette tactique ne laisse pas de trace dans la r´edaction.

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Exemple pour la tactique Et au contexte

Exemple

Je suis en train de prouver que sif est continue, alors son image est un intervalle. Mon objectif courant est le suivant

f :R→R, fcontinue, a:R, b :R,y :R,y ∈[f(a),f(b)]

` ∃x :R,f(x) =y.

J’explicitey ∈[f(a),f(b)] en f(a)≤x andx≤f(b) puis

j’applique la tactique Et au contexte. Mon objectif courant devient f :R→R, fcontinue, a:R, b :R,y :R,f(a)≤y, y ≤f(b)

` ∃x :R,f(x) =y.

Exercice

Rappelez la définition de [a,b] (celle utilisée ci-dessus) ; ou, si vous préférez :

dans l’exemple précédent, écrivez le contexte intermédiaire entre l’explicitation et la tactique.

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La tactique Ou au but non gratuite

La tactique Ou au but

le sens de cette tactique est que, pour prouverA orB, il suffit de prouver Aou de prouverB

elle s’applique lorsque le but courant est de la forme Aor B elle a un argument qui est soit gauche soit droite.

elle remplace l’objectif courant (C `A or B) par (C `A) si son argument est gauche et par (C `B) si son argument est droite

elle n’est pas gratuite : si on a choisi le mauvais cˆot´e, ¸ca peut se payer cash !

par exemple dans le cas de l’argument droit, on peut ´ecrire : Nous devons prouver Aor B. Pour cela, prouvonsB. ...

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Exemple pour cette tactique Ou au but

Exemple

Si on reprend l’exemple précédent, on a deux fonctions sur R, f,g :R→Ravec f maintenant décroissante etg croissante et l’énoncéE à prouver estf ◦g est monotone.

Si on explicite monotone, ce but devient

f ◦g est croissante or f ◦g est d´ecroissante.

On applique notre tactique Ou au but (avec l’argument droite) et notre but devient : f ◦g est d´ecroissante.

Exercice

Vous essayez de d´emontrer que pour que f ◦f soit monotone, il suffit quef le soit. Votre objectif courant est

f :R→R,fd´ecroissante`f ◦fmonotone.

Vous explicitez le but puis appliquez intelligemment cette tactique Ou au but. Quel est votre nouvel objectif ?

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La vraie tactique Ou au but

le sens de cette tactique est que, pour prouverA orB, il suffit de prouver de prouver B en supposantAfaux, ou alors de prouverA en supposantB faux

elle s’applique lorsque le but courant est de la forme Aor B elle a un argument qui est soit gauche soit droite.

elle remplace l’objectif courant C `A orB

si son argument est gauche par C,B `A

et si son argument est droite par C,A`B celle-ci est gratuite

par exemple dans le cas de l’argument droit, on peut ´ecrire : Supposons que Aest faux, et prouvons B ...

Cette tactique est plus forte que l’autre, “c’est la vraie”.

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Exemple pour la vraie tactique Ou au but

Exemple

J’essaie encore de d´emontrer que pour quef ◦f soit monotone, il suffit quef le soit. Mon objectif courant est

f :R→R; fcroissante` f ◦fmonotone.

J’explicite le but puis j’applique `a gauche la vraie tactique Ou au but. Mon objectif courant devient :

f :R→R; fcroissante; f ◦fnon d´ecroissante` f ◦fcroissante.

Exercice

Bob essaie aussi de d´emontrer que pour quef ◦f soit monotone, il suffit quef le soit. Comme c’est un boulet : il applique la bonne tactique, mais `a droite. Quel est son nouvel objectif ?

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La tactique Forall au but

le sens de cette tactique est que, pour prouver ∀x :E,P(x), il suffit de prouver P(x) en supposant seulement quex est de type E

elle s’applique lorsque le but courant est de la forme

∀x :E,P(x)

elle n’a pas d’argument

elle remplace l’objectif courant C ` ∀x :E,P(x)

par C;x:E `P(x)

elle est gratuite

on peut ´ecrire par exemple :

“Soit x un ´el´ement quelconque deE et prouvons P(x)”

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Exemple pour la tactique Forall au but

Exemple

J’essaie de démontrer que sif est majorée par a etg est majorée parb alors f +g est majorée par a+b. Mon objectif courant est f, g :R→R; a, b:R; f majorée par a; g majorée parb

`f +g major´ee para+b.

J’explicite le but puis j’applique la tactique Forall au but.

f, g :R→R; a, b:R; f major´ee para; g major´ee parb; x :R

`(f +g)(x)≤a+b.

Exercice

Dans l’exemple ci-dessus, quel est le but interm´ediaire, entre l’explicitation et la tactique Forall ?

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La tactique Exists au contexte

le sens de cette tactique est que savoir ∃x:E,P(x), c’est comme avoir unx v´erifiant P(x)

elle s’applique lorsque le contexte courant comporte une hypoth`ese de la forme∃x:E,P(x)

elle a un argument, qui est cette hypoth`ese (pour le cas o`u il y en a plusieurs)

elle remplace l’objectif courant

C⁰;∃x:E,P(x);C⁰⁰`G par

C⁰;x :E;P(x);C⁰⁰`G elle est gratuite

c’est encore une tactique qui ne laisse pas de trace ´ecrite

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Exemple pour la tactique Exists au contexte I

Exemple

Je suis en train de prouver que sif est monotone, alors f[a,b] est contenu dans [f(a),f(b)]. Mon objectif courant est le suivant f :R→R; fcroissante; a:R; b:R; a≤b; y ∈f[a,b]

`y∈[f(a),f(b)].

J’explicitey ∈f[a,b] en∃x : [a,b],y =f(x) puis j’applique la tactique Exists au contexte.

Mon objectif courant devient

f :R→R; fcroissante; a:R; b:R; a≤b; x : [a,b]; y=f(x)

`y∈[f(a),f(b)].

Exercice

Quelle est la d´efinition de [a,b] mise en oeuvre dans cet exemple ? Expliquez `a quoi vous voyez ¸ca.

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Exemple pour la tactique Exists au contexte II

Exemple

Je suis en train de démontrer que sif et g sont majorées alors f +g est majorée. Mon objectif courant est

f g :R→R; f majorée; g majorée` f +g majorée.

J’explicite la premi`ere hypoth`ese en∃M :R,∀x:R,f(x)≤M puis j’applique la tactique Exists au contexte.

f,g :R→R; M :R; ∀x:R, f(x)≤M; g major´ee

`f +g major´ee.

Exercice

Ecrivez l’objectif courant apr`es une seconde application de la tactique Exists au contexte.

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La tactique Forall au contexte

le sens de cette tactique est que, si on sait ∀x:E,P(x), on sait a fortiori P(a) pour n’importe quel élémenta deE elle s’applique lorsqu’une hypothèse du contexte courant est de la forme ∀x:E,P(x)

elle a deux arguments, un qui est l’hypoth`ese en question (il peut y en avoir plusieurs) et l’autre qui est l’argument choisi a elle remplace l’objectif courant

C⁰;∀x :E,P(x);C⁰⁰`G par

C⁰;∀x:E,P(x);C⁰⁰;P(a)`G. elle est gratuite

on peut ´ecrire par exemple :

“Si on applique notre hypoth`ese `aa, on obtient P(a).”

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La tactique Exists au but

le sens de cette tactique est que prouver ∃x :E,P(x), c’est donner un “t´emoin”t v´erifiantP(t)

elle s’applique lorsque le but courant est de la forme

∃x :E,P(x)

elle a un argument (essentiel !) : le t´emoint

elle remplace l’objectif courant C ` ∃x :E,P(x)

par C `P(t)

elle est tout sauf gratuite on peut ´ecrire par exemple :

“Prenons t pour t´emoin”

ou encore

“Montrons que t convient”.

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Exemple pour la tactique Existe au but

Exemple

Je suis en train de démontrer que sif et g sont majorées alors f +g est majorée. Mon objectif courant est

f g :R→R; M N:R; f major´ee par M; g major´ee parN

` f +g major´ee.

J’explicite le but et je prendsM+N comme t´emoin Mon objectif courant devient :

f g :R→R; M N:R; f major´ee par M; g major´ee parN

` (f +g)(x)≤M+N.

Exercice

Dans l’exemple ci-dessus, quelle est la d´efinition de “major´ee” qui est mise en oeuvre ?

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Tactiques logiques