E619 La course poursuite [**** à la main]
Solution
On remarque tout d’abord que chaque ville est reliée à au moins deux villes. Chaque matin de la semaine, le voleur peut donc prendre au moins deux directions. Le policier est toujours dans l’incertitude chaque matin sur le direction prise par le voleur mais s’il est méthodique, il est certain de rattraper le voleur.
Pour chacune des villes Vij, il existe un chemin le plus court qui la relie à chacune des autres villes. Ce chemin est défini par une succession d’arcs ( ou de journées de route) du type
,...
V V , V V , V
V41 42 42 32 32 33 Supposons qu’au jour J, le voleur est dans la ville V et le policier dans la ville W (WV). Le policier calcule la distance minimale qui sépare V et W en nombre d’arcs. Soit d=d(V,W) cette distance. Quand le voleur change de ville il accroît la distance qui le sépare du policier d’une unité au maximum. Quand le lendemain le policier se met en route, il recherche le chemin le plus court qui le relie à la ville où le voleur a dormi et il fait décroître la distance qui le sépare du voleur d’une unité. Chaque jour de la semaine (dimanche exclu ), c’est donc au pire pour le policier le statu quo avec une distance qui sépare les deux hommes maintenue constante. Toutefois comme le dimanche le voleur ne bouge pas, le policier est certain de réduire la distance d’une unité et comme la distance qui sépare les deux hommes est un nombre entier fini, la course poursuite a nécessairement une fin au bout d’un certain nombre de semaines.
Quelle est la situation la plus défavorable pour le policier ? Sur l’ensemble des 24 villes, on peut déterminer le ou les couples de villes qui sont les plus éloignées les unes des autres. Une analyse rapide du réseau routier représenté ci-dessus montre que les villes V et 41 V45 sont les plus éloignées l’une de l’autre par une distance de 14 arcs ou journées de route. Quelles soient les villes où l’un et l’autre se trouvent au jour J, le policier est donc certain d’achever la course poursuite en 14 semaines au maximum. Une analyse plus fine montre que si le voleur se trouvait un dimanche soir en V et le policier en 41 V45, il faudrait à ce dernier beaucoup moins de temps pour rattraper le voleur car en se rendant de V45àV24, il gagne chaque jour une unité de distance.
