E50382. Combinaison cachée
Dans une variante simplifiée d’un jeu de réflexion bien connu, Jules doit deviner une combinaison de 5 couleurs choisie par Romain (sans répéti- tion) dans un ensemble de 8 couleurs. Jules propose des combinaisons de 5 couleurs, et obtient de Romain, en réponse, les scores correspondants (nombre de couleurs de la combinaison proposée qui sont présentes dans la combinaison à deviner).
De combien d’essais Jules a-t-il besoin pour être sûr d’identifier la combi- naison cherchée parmi les C85 = 56 possibles ?
a) s’il doit donner un programme complet de combinaisons avant que Ro- main commence à répondre,
b) s’il obtient les réponses une à une et peut ajuster la question suivante en fonction des réponses reçues.
Solution
Notant abcdef gh les 8 couleurs, on peut tester abcde, puis (si le score n’est pas 5) remplacer successivementa, b, c, . . .parh: dès qu’apparaît un changement du score initial, on connaît la nature (bon ou mauvais) de h, de la couleur que hremplace à ce moment, et des couleurs déjà comparées à h. Un 6e test peut être nécessaire pour connaître la nature def etg.
Mais on peut faire mieux : 5 questions bien choisies suffisent, dans le cas a) comme dans le cas b) : les 5 essais abcde, abdf h, abef g, bcf gh,bdef h fournissent des quintuplets de scores distincts pour les 56 combinaisons à découvrir.
Pierre Ranvier établit les 5 combinaisons à essayer par le raisonnement suivant, basé sur les 3 couleurs absentes des combinaisons de 5.
– comparer f ghet egh permet de déterminer e et f s’ils sont différents ; s’ils sont égaux, la valeur dedef (0, 1, 2 ou 3 bons) fait connaîtred, e, f; sie6=f,def fait connaîtred(3 essais).
– d et f étant connus, comparer cdh à f gh permet de déterminer c et g s’ils sont différents ; s’ils sont égaux, la valeur de bcg (0, 1, 2 ou 3 bons) fait connaîtreb, c, g; sib6=f,bcg fait connaîtreb (2 essais).
– b, c, d, e, f, g étant connus, h est connu par la valeur de f gh et apar le nombre 5 de bonnes couleurs (pas d’essai supplémentaire).
D’où le programme d’essais à 5 couleurs abcde,abcdf,abcgh,abef g,adef h.
Une permutation circulaire surf, a, bet un échange decethreconstituent la solution publiée dansLa Jaune et la Rouge
bdef h,abdf h,bcf gh,abef g,abcde, dans un ordre différent,
ce qui conduit Pierre Ranvier à suggérer que la solution est unique à un changement de nom des couleurs près.
Michel Dorrer a démontré que 4 questions ne pouvaient pas suffire dans tous les cas.
La première question est indifférente. Il existe 3 types de deuxième ques- tion, selon le nombre (2,3,4) de termes communs avec la première question.
Après deux questions, on peut avoir 15 possibilités restantes (abcde = 3, abcf g= 3), voire plus. Les réponses aux questions 3 et 4 ne peuvent être que 2, 3, 4 ou 5. S’il y a des réponses 5, elles correspondront à 2 au plus des 15 combinaisons possibles. Reste 13 au moins. Il n’y a que 9 couples de réponses aux questions 3 et 4, (2, 3 ou 4 pour la question 3 croisés avec 2, 3 ou 4 pour la question 4) ; 9 est un majorant car il peut y avoir des incompatibilités. En tout cas c’est insuffisant pour discriminer 13 cas.
