E550 – Deux énigmes pour une seule ligne
Solution proposée par François Bulot
1er énigme :Sur une première ligne, on écrit les entiers naturels de 1 à n (n > 1) pas nécessairement dans cet ordre.
1ère énigme : sur une deuxième ligne, on écrit une permutation de ces mêmes nombres de manière à obtenir n paires de nombres placés l’un au dessus de l’autre. Sur une troisième ligne, on écrit les sommes des n paires de nombres. Pour quelles valeurs de n cette troisième ligne peut-elle être constituée exclusivement de carrés parfaits ?
Application numérique : n prend successivement les valeurs 9,17,2011 et 1 000 000.
- Les nombres du type n²-1 : il suffit d'écrire la liste dans le sens opposé
- Les nombres du type n²-p² avec p²<1/2*n² : il suffit d'écrire la liste de p²-1 à 1, puis de n²-p² à p²
Par exemple, 1 000 000 = 1025²-225²
Donc en écrivant les nombres de 50624 à 1, puis de 1000000 à 50625, on obtient 50624 fois 225² et 949375 fois 1025²
- Les nombres du type n²-(1+u) où u appartient à la liste et est inférieur à n²/2
2011=2601-(1+589)=51²-(1+589)=51²-(1+(625-36))=51²-(1+(25²-6²))
Donc en écrivant les nombres de 35 à 1, puis de 589 à 36, puis de 2011 à 590, on obtient 35 fois 6², puis 554 fois 25², puis 1421 fois 51²
- 3 cas particuliers : 9, 13 et 17.
Pour 9, on utilise les nombres dont la somme fait 9, à l'exception de 7+2 que l'on sépare. On a alors : 2+2 et 7+9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 2 6 5 4 3 9 1 7
13 est dans le même cas : La somme est 16 pour tous sauf 8+8 remplacé par 8+1 et 1+8, complété par 2+2.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
8 2 13 12 11 10 9 1 7 6 5 4 3
17 est plus complexe : on utilise la boucle 1 - 3 - 6 - 10 - 15 où un nombre plus le suivant donne un carré (ce qui est normal pour les nombres de la forme n*(n-1)/2) et où le premier plus le dernier terme donnent aussi un carré.
Les autres termes fonctionnent par paires dont la somme fait 25 pour les gros et 9 pour les petits...
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3 7 6 5 4 10 2 17 16 15 14 13 12 11 1 9 8
Liste intégrale des valeurs inférieures à 31 possibles pour la série : - de type n²-1 :
0, 3, 8, 15, 24 - de type n²-p² : 5, 12, 21 16, 27 20
- les 3 cas particuliers : 9, 13, 17
- de type n²-(u+1) et non encore cités : 16-(u+1) : 10
25-(u+1) : 14, 19
36-(u+1) : 18, 22, 23, 26, 30 49-(u+1) : 25, 28, 29, 31
Manquent donc : 1, 2, 4, 6, 7, 11
On a donc toutes les valeurs entre 12 et 30.
A partir de 64-(u+1), on a toutes les valeurs de 32 à 52.
A partir de 81-(u+1), toutes les valeurs jusqu'à 81-12=69.
etc.
On obtiendra toujours avec cette méthode et en utilisant k²-(u+1) avec k<=n, on obtiendra tous les autres jusqu'à n²-12, hormis les 6 cités.
2ème énigme : sur une deuxième ligne, on écrit en dessous de chaque terme de la première ligne le nombre d’entiers de cette première ligne situés à sa droite et strictement supérieurs à lui. De cette manière, on obtient une deuxième ligne constituée de n entiers. On répète
l’opération sur une troisième ligne,...jusqu’à obtenir une dernière ligne remplie
exclusivement de zéros. A l’exclusion de la première ligne et de cette dernière ligne,quel est le plus grand nombre de lignes qu’il est possible d’écrire ?
Application numérique : pour n = 13 et n = 14 donner une écriture de la première ligne qui permet d’écrire ensuite le maximum de lignes.
A chaque étape, le terme le plus à droite sera forcément remplacé par un 0. On peut donc avoir au plus n étapes, soit n-1 lignes intermédiaires.
Si le nombre n est pair n= 2p
Alors, la suite des couples (2p-1, 2p), (2*(p-1)-1,2*(p-1).... jusqu'à (2*1-1,2*1) permet d'aboutir à ce nombre maximum de lignes.
Première étape, une alternance de 1 en position impaire et de 0 en position paire.
Deuxième étape, une alternance de 0 en position impaire et de nombres en suite arithmétique décroissante de raison 1 se terminant par 1
Etapes suivantes : la même liste décalée d'une case vers la gauche, sans le premier élément et avec un 0 supplémentaire en fin de liste.
Si le nombre n est impair : n=2p+1
Alors il suffit de rajouter 2p+1 en début de liste.
Cela rajoutera un 0 en début de liste par rapport à la liste de 2p et permettra d'avoir une suite similaire pour les étapes suivantes.
13 11 12 9 10 7 8 5 6 3 4 1 2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0 0
0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0 0 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0 0 0 0 0 4 0 3 0 2 0 1 0 0 0 0 0 4 0 3 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 3 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 3 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
13 14 11 12 9 10 7 8 5 6 3 4 1 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0 0 0 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0 0 0 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 4 0 3 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 4 0 3 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
