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Ch.5 : LE REGIME SINUSOIDAL.

1. Définitions.

1.1. Les valeurs instantanées.

Les valeurs instantanées d'une tension et d'un courant sont des fonctions sinusoïdales du temps : u=U sinω tθ_u et i=Isinω tθ_i

où: û et î sont les valeurs maximales de u et i (s'expriment en Volt et en Ampère) ω est la pulsation (s'exprime en radians par secondes rad.s¹)

θu ou θi sont les phases à l'origine (s'exprime en radians) t est la variable temps. (s'exprime en seconde)

1.2. Représentation graphique.

Fiche activité n°5.1

a T = 12,0 ms f = 83,3 Hz⇒

b = 2∙ ∙f = 2 3,14 83,3 = 523 rad/sω π ⨯ ⨯ = 2∙ / T ω π

c <u> = 0 V

d Pour que la tension u(t) évolue deux fois plus vite il faudrait multiplier sa pulsation par deux, sa période serait alors deux fois plus petite.

e Pour que l'amplitude de u(t) soit multipliée par trois il faut multiplier par 3 le paramètre û

f Pour que u(0) = 0 il faudrait changer la phase à l'origine : = 0 ± ...θ π

1.3. Pulsation, fréquence et période.

ω=2π f et f = 1

T soit ^ω ⁼²_T^π

La fréquence f s'exprime en Hertz Hz et la période T en seconde.

Exercice d'application n°1 : En vous aidant de votre calculatrice graphique, représenter les trois tensions suivantes sur trois repères en concordance de temps…

u1 = 5 sin (314 t) u2 = 5 sin (628 t) u3 = 5 sin (314 t + /2)π

Paramètres constants pour une grandeur sinusoïdale donnée

t 5

- 5

u₁(t)

20 ms

- 5 ms 10 ms

t u(t)

5

- 5

u₃(t)

20 ms

- 5 ms 10 ms

t u(t)

5

- 5

u₂(t)

20 ms

- 5 ms 10 ms

(2)

2. Valeur efficace d'une grandeur sinusoïdale.

Exercice d'application n°2 :

Cicontre la représentation de la fonction (u(t))² où u(t) est la tension que vous avez représenté sur la ficheactivité n°1 : u(t) = 3∙ sin( 524∙ t + /3)π

Calculer la valeur moyenne de cette fonction et en déduire la valeur efficace U de u(t).

Vérifier que l'on obtient le même résultat avec la relation : U= u



2

Def: L'intensité efficace I du courant sinusoïdal i est égale à l'intensité d'un courant continu qui apporterait la même puissance P, à la même résistance R.

La valeur efficace I du courant sinusoïdal it=isin



^ω ^t^θi



est I= i



2 . I= i



2 ⇒ i=I



² et on écrit alors : i=I



2 sin



^ω ^t^θi



La valeur efficace U de la tension sinusoïdale ut= usin



^ω ^tθu



^est^U⁼

_

^u^₂ et on écrit : ...aux notations !

« i » ou « u » minuscules pour les valeurs instantanées ( i = i(t) et u = u(t) )

« I » ou « U » majuscules pour les valeurs efficaces

« î » ou « û » pour les valeurs maximales.

Rappel: La valeur moyenne d'une grandeur sinusoïdale alternative est toujours nulle.

3. Différence de phase entre deux grandeurs sinusoïdales et décalage horaire.

La différence de phase est établie entre deux grandeurs sinusoïdales de même pulsation.

La différence de phase entre u2 = û2∙ sin(ωt + θ2) et u1 = û1∙ sin(ωt + θ1) (c'est à dire de u2 par rapport à u1) est = φ θ2 θ1

Le déphasage entre u et i (respectivement tension aux bornes d'un dipôle et intensité du courant qui le traverse) est =

φ θu θi .

En général la phase à l'origine d'une des deux grandeurs, prise pour référence est choisie nulle.

Si u est choisie comme référence, on peut alors écrire : ^u⁼^U



^{2 sin}

^

^ω^t

^

i=I



^{2 sin}

^

^ω^t^−φ

^

Exercice d'application n°3 : Valeurs efficaces ?

fréquence ? période ? déphasage ?

Le décalage horaire … est le décalage dans le temps entre les deux grandeurs déphasées d’un angle φ. τ ↔ φ

T 2↔ π

u=11,3 sin



^314t^^π6



i=0,7 sin



^314t−^π3



u=U



2sin



^ω ^t^θu



⇒ τ = ϕ 2π T

Valeurs efficaces : U = 8 V et I = 0,5 A Fréquence : f = 50 Hz ; Période : T = 20 ms Déphasage : = φ θu θi = /2π

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Exercice d'application n°4:

Quel est la différence de phase entre u1 (voie 1) et u2 (voie 2)

Réponse :

= 98,2°

φ

est négatif car u

φ 1 est en retard par rapport à u2

4. Somme de deux grandeurs sinusoïdales

Fiche activité n°5.2

I Caractéristique de ces deux tensions

a Quelles sont la période, la fréquence, et la pulsation des grandeurs représentées T = 6,5 ms ; f = 154 Hz ; = 966 rad/sω

b Déterminer leur valeurs maximales, ainsi que leurs valeurs efficaces et leurs valeurs moyennes : Û1 = 4 V ; U1 = 2,83 V ; <u1> = 0V ; Û2 = 2,5 V ; U2 = 1,77 V ; <u2> = 0V

c Quel est le déphasage entre u1 et u2 : φ = 111° ou 37 /60 = 1,94 radπ dEn choisissant θu1 = 0 , exprimer les valeurs instantanées des deux grandeurs.

u1(t) = 4 sin(966t) et u2(t) = 2,5 sin(966t 37 /60 π ) II Somme de deux grandeurs sinusoïdales

a Quelle relation peuton écrire à chaque instant entre les grandeurs e, u1 et u2 : e = u1 + u2

d Quelle remarque pouvezvous faire quand à sa période ? C'est la même !

e Déduire de la courbe obtenue, la valeur maximal Ê et la valeur efficace E de e. Ê = 3,9 V ; E = 2,75 V f La loi des mailles se vérifietelle avec les valeurs efficaces ? Pourquoi ? NON non et NON

5. Un nombre complexe pour représenter une grandeur sinusoïdale

L'utilisation des nombres complexes permet l'étude des circuits électriques avec les même lois qu'en régime continu.

5.1. Intérêt d'une nouvelle représentation.

Expérience : R=1k , C=1µF et u est réglé de façon à ce que f = 100 Hz et Û = 5 V.Ω

voie 1

voie 2 R

C

G.B.F.

~

*

COM

uC

uR

u

G.B.F.

~

*

COM

D1

D2

u1

u2

e

Première grandeur

Amplitude 4 Volt

Valeur efficace 2,83 Volt Phase à l'origine 55,5 degrés Fréquence 154 Hertz

Deuxième grandeur Amplitude 2,5 Volt Valeur efficace 1,77 Volt Phase à l'origine 55,5 degrés Fréquence 154 Hertz On en déduit :

x y

Vecteur 1 1,6 2,33

Vecteur 2 1 1,46

Vecteur somme 2,6 0,87 Somme des deux grandeurs Amplitude 3,88 Volt Valeur efficace 2,75 Volt Phase à l'origine 18,56 degrés Fréquence 154 Hertz

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

temps en millisecondes

tension en volt

Voie 1 Voie 2

Calibres voie 1 : 1 V / div

voie 2 : 0,5 V / div

Base de temps : 1 ms / div

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Exercice d'application n°5 : Valeurs efficaces ?

Phases à l'origine ? fréquence ?

période ?

des trois tensions uR, uC et u.

Observations ? En particulier,

comparer UR + UC et U : conclusion ?

UR + UC = 4,84 V ≠ U = 3,51 V

Il est impossible d'utiliser la loi d'additivité des tensions avec les valeurs efficaces, car il faut tenir compte du déphasage entre les tensions.

→

Observation de la somme de deux grandeurs sinusoïdales dans différents cas à l'aide d'un tableur...

(En particulier : cas des tensions en phase et en opposition de phase...)

On constate que la somme de deux grandeurs sinusoïdales dépend de leur amplitude, mais aussi de leur déphasage...

Un nombre complexe contient ces deux informations : module (=amplitude) et argument (=phase à l'origine)

5.2. Tension où courant complexe.

A chaque grandeur sinusoïdale on associe un nombre complexe dont le module représente la valeur efficace de la grandeur sinusoïdale et dont l'argument est la phase à l'origine de la grandeur.

Exemple:

Exercice d'application n°6 :

Exprimer la valeur instantanée correspondant au nombre complexe : I = 2 + j∙7 i=I



^{2 sin}

^

^ω^t−^φ

^

⁼ ^7,3



^{2 sin}



^ωt1,3



→

Observation des vecteurs dans différents cas à l'aide d'un tableur...

Calibres

voie 1 : 2 V / div

voie 2 : 2 V / div

Base de temps : 1 ms / div u sur la voie 1

u_R sur la voie 2

u_C obtenu en inversant la voie 2 et en appuyant sur la touche ADD

u(t) = 9 628,32 1/ 3 Représentation du nombre complexe associ é :

Caractéristiques de la tension

Amplitude : 9 V

Valeur efficace : 6,36 V Phase à l'origine : 60

où :( 1/ 3 Fréquence : 100

Nombre complexe associé

Module : U 6,36 V

Argument : 60

partie réelle : 3,18 V

partie imaginaire : 5,51 V

× sin ( ×t + ( ) × )π

deg ) radπ Hz

u

θ deg

x = U cos ( u)θ y = U sin ( u)θ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tension en volt

7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7

7

6

5

4

3

2

1 0 1 2 3 4 5 6 7

u=U ∙



²^∙sin



^ω ^t^θu



^↔ ^U= ^{[U ;}^θU]= U ∙cosθ_Uj∙U ∙sinθ_U

u₁=3



^{2 sin}

^

^ω ^t

^

^↔ ^U1= [3;0] = 3∙cos0j∙3∙sin0= 3 u₂=2



2 sin



^ω^t⁻^π6



^↔ ^{U= [}²^;^6] =2∙cos

6j∙2∙sin

6=



3j

réels imaginaires

U U

θU

U.cos(θU) U.sin(θU)

(5)

Exercices d'application n°7 :

Donner et représenter les nombres complexes associés aux intensités cicontre (l'intensité des courants est en mA ).

I1 = [ 0,003 ; 0 ] = 0,003 ; I2 = [ 0,002 ; ] = 0,002 ; π I3 = [ 0,005 ; /2 ] = π j ∙ 0,005 Donner et représenter les nombres complexes associés aux tensions cicontre ( Les tensions sont exprimées en V).

U1 = [ 8 ; ] = 8 ; π U2 = [ 5 ; /4 ] = 3,53 – π j ∙ 3,53 ; U3 = [ 10 ; /6 ] = 8,66 + π j ∙ 5

6. Les lois en régime sinusoïdal.

→

Observation des nombres complexes et de leur somme accompagnés des courbes dans différents cas à l'aide d'un tableur...

La loi des nœuds et la loi des mailles s'appliquent en régime sinusoïdal sur les valeurs instantanées (mais ça n'est pas très utile...) et sur les nombres complexes.

Loi des nœuds :

( à chaque instant : i1 + i4 = i2 + i3 ) et

I

1

+ I

4

= I

2

+ I

3

ELLE NE PEUT PAS S'APPLIQUER SUR LES VALEURS EFFICACES !!!

Loi d'additivité des tensions :

(à chaque instant : u1 + u2 + u3 = u) et surtout

U

1

+ U

2

+ U

3

= U

Exercice d'application

Reprendre l'exemple étudié expérimentalement (en TP) et représenter les vecteurs de Fresnel associés aux grandeurs uR et uC. Vérifier la loi d'additivité des tensions : UR + UC = E

i₄ i₂ i₁

i₃

u

₁

u

₂

u

3

u

Premi ère grandeur

Amplitude 2,65 Volt

Valeur efficace 1,87 Volt Phase à l'origine 0 degr és

Fréquence 100 Hertz

Deuxi ème grandeur

Valeur efficace 2,97 Volt Phase à l'origine 90 degr és

On en d éduit :

x y

Vecteur 1 1,87 0

Vecteur 2 0 2,97

Vecteur somme 1,87 2,97

Somme des deux grandeurs

Valeur efficace 3,51 Volt Phase à l'origine 57,75 degr és

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6

5

4

3

2

1 0 1 2 3 4 5 6

tension en volt

1 0 1 2 3 4

5

4

3

2

1 0 1 2 3 4

u₁=8



2sin



ω tπ



u₂=5



^{2 sin}



^ω ^t⁻ ^π4



u₃=10



2 sin



^ω ^t^^π6



i₁=3



2sin



ω t



i2=2



2sin



ω t−π



i₃=5



2sin



^ω ^t^^π2