Chapitre IV Dipôle électrostatique

1

^ère

partie

Chapitre IV

Dipôle électrostatique

I. Définitions

Dipôle électrostatique = ensemble de deux charges électriques ponctuelles opposés + q et – q, séparées par une distance a très petite par rapport à la distance r au point M où l’on observe leurs effets.

Moment dipolaire :

C’est le vecteur :

p r = q . A B r

dirigé de –q vers +q.

Dans SI, p s’exprime en C.m. Cette unité étant très grande on utilise le debye(D) :

m C D . 10 . 1 =

₃^{1 −19}

or : = + = − = + − θ= + ² − ..cosθ

² cos .

²

² )²

( )² (

² ar

4 r a OM

OB 2 OB OM

OB OM OM

BO BM

soit :

² cos ²

. 4r

a r

1 a r

BM= − θ+

de même en changeant θ en π-θ, on obtient :

² cos ²

. 4r

a r

1 a r

AM= + θ+

D’où :

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + θ +

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − θ +

= πε

−

− 2

1 2

1

0

4 r

a r

1 a r

4 a r

1 a r 4 V q

² cos ²

² cos ²

r >> a d’où a/r << 1, on peut utiliser le développement limité au 1^er ordre de la forme (1+x)ⁿ ou (1-x)ⁿ :

On obtient :

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − θ

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + θ

= πε cos cos

r 2 1 a r

2 1 a r 4 V q

0

Exemple de dipôle : molécule polaire : H

₂

O II. Potentiel créé par un dipôle

Le point M où l’on veut calculer le potentiel est repéré par ses coordonnées polaires : r=OM, θ=(Ox,OM).

On suppose r >> a=AB, O étant le milieu de AB.

Le potentiel V créé en M par le dipôle est :

)

(

^{1 1}

4 4

1 4

1

0 0

0 BM AM

q BM

q AM

V =

_πε ⁻q

+

_πε ⁺

=

_πε

−

^a

Filière SMI – Module Physique II – Elément 1 : Electricité – Cours Prof . R.Tadili

OM r

r avec 4

r p r

4 a V q

Où

₃

0 0

πε = πε =

= θ r . r

² cos . .

: encore

Pour θ = π/2, V=0 pour tous les points du plan médiateur de AB. Ce plan est une surface équipotentielle.

III. Champ électrostatique créé par un dipôle

Comme V ne dépend que de r et de θ, seules les composantes Er et Eθ de

E r

seront non nulles. On a :

E r gra d r V

−

=

, donc :

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

=

−

=

=

−

=

=

−

=

∂∂

∂∂

∂∂

0

3 0

3 0

4 sin 1 .

4 cos . 2

z z V

r V p

r

r p r

r V

E E

E

E

πε

θ θ ϑ

πε θ

r

Æ pour M éloigné, Er

et V créés par le dipôle seront négligeable / à Er et V créés par des charges situées à proximité du dipôle.

IV .Lignes de champ et surfaces équipotentielles d’un dipôle IV.1 Lignes de champ

Par définition, un élément dl de ligne de champ est tangent à Er. On a :

θ

=

→

=

− θ

=

⎪ →

⎩

⎪ ⎨

⎧

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

θ

^θ

θ θ

E d E r 0 dr E

dr E rd donc 0

l d E gents l

d et E rd

dr l d E

E

E

_r ^r

r

. .

: ,

^ tan

,

, r r r r r r

r

soit :

θ → = θ + → = θ

θ

= θ . sin . sin ²

sin

cos d Lnr 2 Ln Lnk r k

r 2 dr

Conclusion : Le champ créé par un dipôle est proportionnel à ₃

r

1 et le

potentiel à r²

1 , alors que pour une charge ponctuelle, Er créé est proportionnel à

r²

1 et V à r 1.

IV.2 Surfaces équipotentielles

Ensemble des points pour lesquels V = cte. Soit : θ

=

→ πε =

= θ ² 'cos

² cos

. cte r k

r 4 V p

0

Ce sont des surfaces de révolution autour de Ox.

V. Energie du dipôle

V.1 Energie interne du dipôle

C’est l’énergie contenu dans le dipôle, c’est à dire dans les deux charges – q et +q situées à la distance a l’une de l’autre. Elle correspond à l’énergie nécessaire pour amener une charge de l’infini à une distance a de l’autre charge.

Supposons – q en A et amenons +q de l’infini à B. Le travail mis en jeu est :

)

² (

. ² dr

r 4 l q

d F dT

0

πε −

−

=

−

= r r

, car r décroit Æ dl<0 et dT < 0

dT correspond à la variation de l’énergie interne du dipôle. L’énergie du dipôle est alors :

0

.

0 4 0

²

² 4

0

= = − =

²

=

⁻

= − <

∞

∫

∫ ^{F d l}

^{a q drr q a}

^W

^f

^W

ⁱ

T

W r r

_{πε πε}

V.2 Energie du dipôle placé dans un champ E

C’est l’énergie nécessaire pour amener +q et –q de l’infini à leur position en B et A. On a : T = q ( V_final - V_initial )

- pour (-q) on a : ^{T∞→A =}

(

^−q

)(

^VA−0

)

^{= −qVA}

- pour (+q) on a : T^∞→B =

(

+q

)(

V^B−0

)

= +qV^B donc : W = q.V_B – q.V_A = q ( V_B – V_A)

Or :

dV grad V d r l dV E r d r l .

. → − =

=

Axe du dipôle

Surface

équipotentielle Ligne de

champ

B A E a E

dl E

dl E l

d E dV

V V

B

A B

A B

A B

A B A

r r r

r . = . . cos α = . cos α . = . cos α . = .

=

−

=

− ∫ ∫ ∫ ∫

D’où :

IV.3 Mouvement du dipôle dans un champ E uniforme

Le dipôle est soumis à un couple de forces : Même intensité, directions différentes

et sens opposés.

Ce couple est caractérisé par son moment

Γr

.

(

^{OB OA}

)

^{qE AB qE qAB E}

E q B O E q A O F

B O F

A

Or r^A r r^B r r r r r r r r r r r

r = ^ + ^ = ^− . + ^ . = − ^ . = ^ . = . ^

Γ

donc :

Equilibre du dipôle :

dipôle en équilibre → Γ r = 0 r → p . E . sin α = 0 → sin α = 0

α = 0 : équilibre stable du dipôle ; α = π : équilibre instable du dipôle ;

Le couple tend à orienter le dipôle de façon que p ait la même direction et le même sens que E.

Application : Matérialisation des lignes de champ : les particules qui sont des dipôles (par exemple les grains de semoule), plongé dans E, s’orientent en dessinant les lignes de champ.

A -q

B +q E

F_A

F_B

( ^{V V} ) ^{q E A B p E}

q

W

_dipôle

=

_B

−

_A

= − . . = − r .

E p r r

r = ^

Γ