Le dipôle électrostatique

Le dipôle électrostatique

I – Définition et approximation dipolaire

On appelle « dipôle électrostatique » un ensemble rigide de deux charges ponctuelles + q et – q (donc globalement neutre), distantes de 2a.

a 2 ) ( q

N − O P ( + q )

z u

Un tel modèle permet d’étudier :

* Les molécules polaires (par exemple : HCl, H₂O)

) ( + δ

H Cl ( − δ )

) 2 ( − δ O

δ

+ + δ

* La polarisation des atomes dans un champ électrique extérieur (phénomène de solvatation des ions)

a 2 ) ( q

N − O P ( + q )

z u

M

r

θ

On calcule le potentiel puis le champ électrique ( ) créé par le dipôle en un point M de l’espace.

Symétrie de révolution autour de l’axe (Oz) : on choisit M(r,θθθθ) dans le plan des deux charges.

Approximation dipolaire : r >> a (on se place « loin » des charges, c’est-à-dire à des distances bien supérieures à quelques nm).

) (V grad E = −

II – Calcul du potentiel dans le cadre de l’approximation dipolaire

Le potentiel au point M est (principe de superposition) :

a 2 )

( q

N − O P ( + q ) z u

M

r θ

r

r

N

P

r

q r

M q V

0

0

4

1 4

) 1

( ⁼ πε ⁻ πε

 



 

 −

=

N

P

r

q r M

V 1 1

4 ) 1

(

πε

) :

(avec r_P = PM et r_N = NM >> a

Calcul des distances r_P et r_N : D’après la relation de Chasles : En élevant au carré :

a 2 )

( q

N − O P ( + q ) z u

M

r θ

r

r

u

a r

OP OM

PM

−

=

−

=

θ cos 2

. 2

2 2

2

2 2

2

ar a

r r

u a r a

r PM

P

z

− +

=

− +

=

On calcule ensuite 1 / r_P :

θ cos 2

1 1

2

2

a ar

r

= r + −

(

^{2 cos} )

1

− +

= r a ar θ

r

On rappelle le développement limité (à l’ordre 1) de :

) ( q

N − O P ( + q ) z u

M

r θ

r

r

On pose x = a / r (x << 1), alors :

2 / 1 2

2

cos 2

1 1

1

 





 



 + −

= θ

r a r

a r

r

( ) ^{( 1 )}

2 1 1

1 + x

≈ − x x <<

Un DL au 1^er ordre en x donne :

 

 



 +

= 1 1 cos θ 1

r a r

r

De la même manière (il suffit de remplacer θθθθ par π π π π −−−− θθθθ et donc cosθθθθ par - cosθθθθ) :

) ( q

N − O P ( + q ) z u

M

r θ

r

r

 

 



 −

= 1 1 cos θ 1

r a r

r

Par conséquent :

θ cos 1 2

1

r

a r

r

−

=

πε ^cos θ )

2 ( 4

) 1

(

0

r

M aq

V =

D’où le potentiel :

On définit le vecteur moment dipolaire du dipôle électrostatique (vecteur dirigé de la charge négative vers la charge positive) :

) ( q

N − O P ( + q ) z u

M

r θ

πε ^cos θ 4

) 1

(

0

r M p

V =

Alors (décroissance du potentiel en 1 / r²) :

NP q

u aq

p =

= )

2 (

p

En notant :

u

r / r

=

) cos .

. ( 4

) 1

( 2

0

πε ⁼ θ

= ^r u_z u_r

r u M p

V

Retour sur la définition du moment dipolaire :

Le vecteur moment dipolaire est une caractéristique du dipôle électrostatique.

p s’exprime en C.m dans le SI.

On définit plutôt le Debye, mieux adapté :

Exemple : la molécule d’eau a un moment dipolaire . En déduire les charges + δδδδ et – 2δδδδ portées respectivement par les atomes d’hydrogène et par l’atome d’oxygène.

Données :

m C D 3 , 33 . 10 .

1 =

D p_{H O} 1,85

2 =

nm OH

OH

OH, ) 104 ; 0,096

( = ° = =

= ℓ

α

Le moment dipolaire total de la molécule est :

O

pH

2

) 2 ( − δ O

) ( + δ

H H ( + δ )

2 α pOH

p' OH p^{H O} p^OH p'^OH

2

= +

Avec : p_OH = p'_OH = ^ℓδ

Par conséquent :

cos 2

2 2

δ α

= ℓ

O

pH

On en déduit :

) 10

. 6 , 1 3 (

cos 2 2

19

2 e e C

p_{H O −}

=

≈

= α

δ

ℓ

III – Calcul du champ dans le cadre de l’approximation dipolaire

La relation intrinsèque permet de calculer le champ (en coordonnées polaires) :

a 2 )

( q

N − O P ( + q ) z u

M

r θ

r r V

E

∂

− ∂

= ) , ( θ

V grad E = −

θ θ

θ

∂

− ∂

= V

r r

E 1

)

,

(

Par conséquent :

0 3

cos 2

4 1

r

E

p θ

= πε

0 3

sin 4

1

r

E p θ

θ

= πε

( ^{θ θ}

)

πε _r ^{u u}

E p

sin cos

4 2 1

0 3

+ a =

2 )

( q

N − O P ( + q ) z u

M

r θ

E

E

E

IV – Topographie du champ d’un dipôle

Surfaces équipotentielles :

L’équation de la surface équipotentielle (ΣΣΣΣ₀) au potentiel V₀ est :

Soit l’équation en coordonnées polaires :

L’allure des lignes équipotentielles est indiquée sur la figure suivante ; l’axe perpendiculaire à (Oz) et passant par O est l’équipotentielle zéro.

Par rotation autour de (Oz), ces lignes engendrent les surfaces 2 0

0

0

cos

4 ) 1

( :

)

( V

r M p

V M

Pour ∈ Σ = θ =

πε

) (

2

cos

cste A

A

r = θ =

Deux charges ponctuelles (+ q et – q)

(Dipôle

électrostatique) - q + q

Lignes de champs :

a 2 )

( q

N − O P ( + q ) z u

M

r θ

E

E

E

Ligne de champs

Sur la ligne de champ passant par M :

0

∧ E =

r d

θ θ

θ

u E u

E E

u d

r u

dr r

d

r r

r

+

=

+

=

= 0

− r d E

E

dr

θ

Soit :

θ

d

r

dr =

En remplaçant les coordonnées du champ par leurs expressions :

On sépare les variables :

Soit :

θ θ θ sin cos

2

d r dr =

θ θ θ

θ θ

sin

) 2 (sin

sin

2 cos d

r d

dr = =

)) (ln(sin

)

(ln r d θ

d =

On note r = r₀ pour θθθθ = ππππ / 2, alors, en intégrant, on obtient l’équation en coordonnées polaires des lignes de champs (r₀ est un paramètre) :

2 0

2

) sin

ln(sin

ln r θ soit r r θ

=

 =







Deux charges ponctuelles (+ q et – q)

(Dipôle

électrostatique) - q + q

V – Action d’un champ électrique extérieur sur un dipôle

On considère un dipôle électrostatique plongé dans un champ électrique E₀ qui peut être supposé uniforme à l’échelle du dipôle.

Quel est l’effet de ce champ sur le dipôle ? Système étudié : le dipôle (rigide)

Référentiel d’étude : celui du laboratoire (supposé galiléen)

) ( q N −

) ( q P + O

E

E

q

E

q

−

Le dipôle est soumis aux deux forces et de résultante nulle.

Le dipôle est globalement soumis à un « couple de forces », dont le moment par rapport à O vaut :

E

q

E

q

−

) ( q N −

) ( q P + O

E

E

q

E

q

−

Soit :

)

(

0

ON q E

E q OP

M

= ∧ + ∧ −

0

)

( OP ON q E q NP E

M

= − ∧ = ∧

E

p M

= ∧

Sous l’effet d’un champ électrique, le dipôle se met à tourner afin de s’aligner selon le sens du champ (p et E₀ dans le même sens, position

d’équilibre stable).

) ( q N −

) ( q P + O

E

E

q

E

q

−

Soit Étude énergétique :

Soit V le potentiel dont dérive le champ E₀ ; l’énergie potentielle du dipôle (rigide) dans ce champ est :

.E

p E

−

= )

( ) (

)

( P q V N

qV

E

= + −

[ ^{V ( P ) V ( N )} ]

q

E

= −

On rappelle que (E₀ est un champ de gradient) : Par conséquent, avec dV = V(P) – V(N) :

Et donc :

dV r

d

E = −

0

.

NP ON

OP r

d = − = )

. ( E

NP q

E

−

=

Application (solvatation des ions) :

+δδδδ

−−−−δδδδ

+ +

−−−−δδδδ

−−−−δδδδ

−−−−δδδδ −−−−δδδδ

−−−−δδδδ +δδδδ

+δδδδ

+δδδδ +δδδδ +δδδδ

Lignes de champs

Ion positif (Na⁺ par exemple)

Molécule polaire H₂O

VI – Quadripôle électrostatique

Exercice (modèle de la molécule de CO₂) :

Soit un ensemble de trois charges alignées : 2 q en O, - q en A(+ a,0) et - q en B(- a,0).

Calculer le potentiel V puis le champ E en un point M de l'espace situé à la distance r de O, en supposant r >> a.

u

M

r θ

On rappelle le développement limité (à l’ordre 2, pour x << 1) de :

( )

8 3 2

1 1

1 + x

≈ − x + x

) ( q

B − O ( 2 q )

A ( − q ) z u

M

r θ

) cos

3 1 4 (

)

(

3 2 0

πε ⁻ θ

= r

a M q

V

r r V

E

∂

− ∂

= ) , ( θ

θ θ

θ

∂

− ∂

= V

r r

E 1

) , (

Topographie : voir diapositive suivante

Trois charges ponctuelles (+ 2q, – q et - q)

(Quadripôle électrostatique) + 2q - q

- q