Plans Systématiques Quasi-équilibrés

(1)

Plans Syst´ ematiques Quasi-´ equilibr´ es

Lionel Qualit´ e et Yves Till´ e

Universit´ e de Neuchˆ atel

novembre 2012

(2)

Plans ´ equilibr´ es

Les ´ echantillons s sont les vecteurs de R ^N dont les coefficients sont les indicatrices de s´ election des unit´ es : les sommets du cube [0, 1] ^N . Un plan p(·), avec probabilit´ es d’inclusion π = (π 1 , . . . , π N ) est

´

equilibr´ e sur X ssi

X b _HT = X

k∈s

x k

π _k = t _X , ∀s t.q. p (s) > 0.

Il n’en existe que si un plan affine, dont la direction et la position sont

fonctions de X et π passe par des sommets du cube, et que π est une

combinaison convexe de ces sommets.

(3)

M´ ethode du Cube

Propos´ ee par Deville et Till´ e (2004) : marche al´ eatoire qui reste dans le plan affine des contraintes, et va se coller sur des faces du cube de dimensions de plus en plus basses.

Si les sommets de l’intersection entre le cube et l’espace des

contraintes ne sont pas tous des sommets du cube, il peut rester un probl` eme d’arrondi (mˆ eme si un plan ´ equilibr´ e existe).

Celui-ci concerne au maximum m unit´ es, o` u m est le nombre de variables auxiliaires dans X.

C’est en g´ en´ eral le cas lorsque l’on utilise des variables auxiliaires

“num´ eriques”.

(4)

Fonction de coˆ ut

Pour un plan parfaitement ´ equilibr´ e, var( X b _HT ) = 0.

Lorsque l’on n’a pas de plan ´ equilibr´ e, on veut minimiser un crit` ere, par exemple

C (p) =

m

X

`=1

var( X b ` ) t _X ²

`

.

C’est une fonction lin´ eaire en p.

Le probl` eme d’arrondi ` a la fin de la phase de vol de la m´ ethode du

cube est trait´ e de cette mani` ere.

(5)

Repr´ esentation des plans

On liste tous les ´ echantillons (evt. de taille fixe n) comme colonnes d’une matrice S.

Un plan de sondage avec probabilit´ es π est un vecteur p de nombres positifs ou nuls dont la somme vaut 1 et tel que Sp = π.

L’ensemble des plans de sondages C _π est un polytope convexe de R ² ^N (evt. R ^C

n N ).

Support d’un plan p(·) : Q _p = {s t.q. p(s) > 0}.

(6)

Plans ` a support minimal

Les minima de C (·) sont atteints en des sommets de C _π : les plans extremaux (et si on en est capable, on utilise alors l’algorithme du simplexe pour trouver un minimum global).

On sait caracteriser les plans extremaux : ce sont les plans ` a support minimal.

Support minimal (pour π) : ensemble d’´ echantillons Q tels que π ∈ Conv(Q) et R ( Q ⇒ π ∈ / Conv(R).

Remarque : le cardinal de Q ne d´ epasse pas N + 1 (evt. N), cf.

Wynn (1977), et ˆ etre un support minimal ne veut pas dire qu’il n’existe pas de support de cardinal plus petit.

On trouve un algorithme pour de tels plans dans Deville et Till´ e

(1998).

(7)

Plans syst´ ematiques

Le plan syst´ ematique est aussi un plan ` a support minimal (Pea et coll., 2007).

Faire les sommes : V ₀ = 0, V ₁ = π ₁ ,. . . , V _k = P k

i=1 π _k , g´ en´ erer une r´ ealisation u de U ([0, 1]), et s´ electionner tous les k tels que

V k−1 < u ≤ V _k .

Algorithme d´ epend de l’ordre de la population : l’ensemble des plans syst´ ematiques P _SYST est l’ensemble des plans obtenus pour tous les ordres possibles.

On a dans Pea et coll. (2007) un algorithme rapide pour calculer le

support et le plan p(·).

(8)

Groupe sym´ etrique

P _SYST est l’orbite du plan syst´ ematique p e (·) (e d´ esigne l’ordre initial) sous l’action du groupe de permutations Σ _N .

Le N−cycle (1, . . . , N) et le retournement (1, . . . , N) 7→ (N, . . . , 1) ne modifient pas p _e : ils sont dans le stabilisateur S _e .

Sauf cas particuliers, ces deux permutations engendrent S _e , qui est alors de cardinal 2N.

P _SYST est en bijection (not´ ee Ψ) avec Σ _N /S _e , et a un cardinal en g´ en´ eral ´ egal ` a (N − 1)!/2.

Trop gros pour une recherche exhaustive, et trouver le minimum de

C (·).

(9)

Distance sur le groupe sym´ etrique

On cherche un minimum local : d´ epend d’une m´ etrique sur Σ _N /S _e . Si G est un ensemble sym´ etrique de g´ en´ erateurs de Σ N , on peut d´ efinir d G (σ, τ ), le nombre minimum d’´ el´ ements de G pour ´ ecrire στ ⁻¹ .

Graphe des points adjacents : graphe de Cayley. Si G est l’ensemble des transpositions, distance de Cayley.

Distance transport´ ee sur Σ _N /S _e par δ _G (p ₁ , p ₂ ) = inf

σ∈Ψ ⁻¹ (p 1 ),τ ∈Ψ ⁻¹ (p 2 ) d G (σ, τ ).

(10)

Minimisation locale

Propri´ et´ e :

δ _G (p 1 , p 2 ) = 1 ⇔ ∀σ ∈ Ψ ⁻¹ (p 1 ), ∃τ ∈ Ψ ⁻¹ (p 2 )|d _G (σ, τ ) = 1 (1)

Algorithme :

1 On part d’un ordre initial (ex: selon π k croissants, voir Hartley, 1966),

2 On essaye les transpositions jusqu’` a en trouver une qui fait baisser C(·), que l’on applique,

3 Alternativement, on n’applique que la meilleure transposition,

4 On recommence jusqu’` a ne plus arriver ` a faire baisser C(·).

Grˆ ace ` a la propri´ et´ e 1, on arrive bien ` a un minimum local pour δ G .

En ne mettant dans G que les transpositions (i, i + 1) on acc´ el` ere les

calculs de C (·), mais on p´ ejore les r´ esultats.

(11)

Exemple 1 : faible dimension

N = 7, n = 3, m = 2, π = (.11, .51, .31, .61, .32, .41, .73) x ₁ = (10.42, 8.31, 10.05, 8.55, 14.49, 9.46, 13.70),

x 2 = (7.28, 11.72, 16.23, 5.42, 14.27, 6.86, 13.18)

Il y a 29 ⁰ 402 plans extremaux, le coˆ ut minimum est 0.09385,

Il y a 360 plans syst´ ematiques, les minima locaux avec la distance de Cayley sont 0.09631, 0.101353, et 0.12685

Le coˆ ut du plan ` a entropie maximale est 0.21960.

(12)

Exemple 1 : suite

Distribution de C (·) sur les plans extremaux et les plans syst´ ematiques.

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extremaux systématiques

0.10.20.30.40.5

Minimum atteint selon ordre de d´ epart :

C (·) 0.09631 0.101353 0.12685

proportion 52.4% 32.2% 15.4%

(13)

Exemple 2 : MU284

π ∝ P75, auxiliaires : P75, RMT85, SS82, ME84, n = 20, N = 282 Cube : 10’000 ´ echantillons, Syst´ ematique : P75 tri´ e.

Plan ` a entropie maximale : C = 0.20497, Cube : C b = 0.00304,

Syst´ ematique : C < 0.0004 en utilisant toutes les transpositions, et

C = 0.00205 avec les transpositions (i, i + 1).

(14)

Exemple 2 : MU284 suite

Coˆ uts des ´ echantillons s´ electionn´ es par Cube, et dans le support du plan syst´ ematique trouv´ e.

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Ech. Cube Ech. SYST

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

(15)

Exemple 3 : Utilisation comme phase d’atterrissage

N = 1000, n = 150, m = 30 (π, 1, et 28 normales ind´ ependantes), 1000 ´ echantillons tir´ es avec atterrissage par ´ elimination de variables, et 1000 autres par plans syst´ ematiques,

Coˆ ut moyen par ´ elimination : 0.00189, Coˆ ut moyen par syst´ ematique : 0.00434

Variables trait´ ees de mani` ere in´ egale avec la m´ ethode d’´ elimination,

mais jusqu’ici meilleurs r´ esultats qu’avec le syst´ ematique.

(16)

Exemple 3 : Atterrissage suite

CV ² pour chaque variable, ´ elimination et syst´ ematique

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1 4 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55 59

0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030

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Commentaires

Les m´ etriques utilis´ ees font totalement perdre le caract` ere lin´ eaire de C (·).

L’ordre initial, et le syst` eme de g´ en´ erateurs G ont leur importance.

Le minimum sur P _SYST peut ˆ etre loin du minimum sur C _π .

Mais cela fonctionne relativement bien.

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Plans Systématiques Quasi-équilibrés

Plans Syst´ ematiques Quasi-´ equilibr´ es

Lionel Qualit´ e et Yves Till´ e

Universit´ e de Neuchˆ atel

novembre 2012

Plans ´ equilibr´ es

Les ´ echantillons s sont les vecteurs de R N dont les coefficients sont les indicatrices de s´ election des unit´ es : les sommets du cube [0, 1] N . Un plan p(·), avec probabilit´ es d’inclusion π = (π 1 , . . . , π N ) est

´

equilibr´ e sur X ssi

X b HT = X

k∈s

x k

π k = t X , ∀s t.q. p (s) > 0.

Il n’en existe que si un plan affine, dont la direction et la position sont

fonctions de X et π passe par des sommets du cube, et que π est une

combinaison convexe de ces sommets.

M´ ethode du Cube

Propos´ ee par Deville et Till´ e (2004) : marche al´ eatoire qui reste dans le plan affine des contraintes, et va se coller sur des faces du cube de dimensions de plus en plus basses.

Si les sommets de l’intersection entre le cube et l’espace des

contraintes ne sont pas tous des sommets du cube, il peut rester un probl` eme d’arrondi (mˆ eme si un plan ´ equilibr´ e existe).

Celui-ci concerne au maximum m unit´ es, o` u m est le nombre de variables auxiliaires dans X.

C’est en g´ en´ eral le cas lorsque l’on utilise des variables auxiliaires

“num´ eriques”.

Fonction de coˆ ut

Pour un plan parfaitement ´ equilibr´ e, var( X b HT ) = 0.

Lorsque l’on n’a pas de plan ´ equilibr´ e, on veut minimiser un crit` ere, par exemple

C (p) =

m

X

`=1

var( X b ` ) t X 2

`

.

C’est une fonction lin´ eaire en p.

Le probl` eme d’arrondi ` a la fin de la phase de vol de la m´ ethode du

cube est trait´ e de cette mani` ere.

Repr´ esentation des plans

On liste tous les ´ echantillons (evt. de taille fixe n) comme colonnes d’une matrice S.

Un plan de sondage avec probabilit´ es π est un vecteur p de nombres positifs ou nuls dont la somme vaut 1 et tel que Sp = π.

L’ensemble des plans de sondages C π est un polytope convexe de R 2 N (evt. R C

n N ).

Support d’un plan p(·) : Q p = {s t.q. p(s) > 0}.

Plans ` a support minimal

Les minima de C (·) sont atteints en des sommets de C π : les plans extremaux (et si on en est capable, on utilise alors l’algorithme du simplexe pour trouver un minimum global).

On sait caracteriser les plans extremaux : ce sont les plans ` a support minimal.

Support minimal (pour π) : ensemble d’´ echantillons Q tels que π ∈ Conv(Q) et R ( Q ⇒ π ∈ / Conv(R).

Remarque : le cardinal de Q ne d´ epasse pas N + 1 (evt. N), cf.

Wynn (1977), et ˆ etre un support minimal ne veut pas dire qu’il n’existe pas de support de cardinal plus petit.

On trouve un algorithme pour de tels plans dans Deville et Till´ e

(1998).

Plans syst´ ematiques

Le plan syst´ ematique est aussi un plan ` a support minimal (Pea et coll., 2007).

Faire les sommes : V 0 = 0, V 1 = π 1 ,. . . , V k = P k

i=1 π k , g´ en´ erer une r´ ealisation u de U ([0, 1]), et s´ electionner tous les k tels que

V k−1 < u ≤ V k .

Algorithme d´ epend de l’ordre de la population : l’ensemble des plans syst´ ematiques P SYST est l’ensemble des plans obtenus pour tous les ordres possibles.

On a dans Pea et coll. (2007) un algorithme rapide pour calculer le

support et le plan p(·).

Groupe sym´ etrique

P SYST est l’orbite du plan syst´ ematique p e (·) (e d´ esigne l’ordre initial) sous l’action du groupe de permutations Σ N .

Le N−cycle (1, . . . , N) et le retournement (1, . . . , N) 7→ (N, . . . , 1) ne modifient pas p e : ils sont dans le stabilisateur S e .

Sauf cas particuliers, ces deux permutations engendrent S e , qui est alors de cardinal 2N.

P SYST est en bijection (not´ ee Ψ) avec Σ N /S e , et a un cardinal en g´ en´ eral ´ egal ` a (N − 1)!/2.

Trop gros pour une recherche exhaustive, et trouver le minimum de

C (·).

Distance sur le groupe sym´ etrique

On cherche un minimum local : d´ epend d’une m´ etrique sur Σ N /S e . Si G est un ensemble sym´ etrique de g´ en´ erateurs de Σ N , on peut d´ efinir d G (σ, τ ), le nombre minimum d’´ el´ ements de G pour ´ ecrire στ −1 .

Graphe des points adjacents : graphe de Cayley. Si G est l’ensemble des transpositions, distance de Cayley.

Distance transport´ ee sur Σ N /S e par δ G (p 1 , p 2 ) = inf

σ∈Ψ −1 (p 1 ),τ ∈Ψ −1 (p 2 ) d G (σ, τ ).

Minimisation locale

Propri´ et´ e :

δ G (p 1 , p 2 ) = 1 ⇔ ∀σ ∈ Ψ −1 (p 1 ), ∃τ ∈ Ψ −1 (p 2 )|d G (σ, τ ) = 1 (1)

Algorithme :

1 On part d’un ordre initial (ex: selon π k croissants, voir Hartley, 1966),

2 On essaye les transpositions jusqu’` a en trouver une qui fait baisser C(·), que l’on applique,

3 Alternativement, on n’applique que la meilleure transposition,

4 On recommence jusqu’` a ne plus arriver ` a faire baisser C(·).

Grˆ ace ` a la propri´ et´ e 1, on arrive bien ` a un minimum local pour δ G .

En ne mettant dans G que les transpositions (i, i + 1) on acc´ el` ere les

Les ´ echantillons s sont les vecteurs de R ^N dont les coefficients sont les indicatrices de s´ election des unit´ es : les sommets du cube [0, 1] ^N . Un plan p(·), avec probabilit´ es d’inclusion π = (π 1 , . . . , π N ) est

X b _HT = X

π _k = t _X , ∀s t.q. p (s) > 0.

Pour un plan parfaitement ´ equilibr´ e, var( X b _HT ) = 0.

var( X b ` ) t _X ²

L’ensemble des plans de sondages C _π est un polytope convexe de R ² ^N (evt. R ^C

Support d’un plan p(·) : Q _p = {s t.q. p(s) > 0}.

Les minima de C (·) sont atteints en des sommets de C _π : les plans extremaux (et si on en est capable, on utilise alors l’algorithme du simplexe pour trouver un minimum global).

Faire les sommes : V ₀ = 0, V ₁ = π ₁ ,. . . , V _k = P k

i=1 π _k , g´ en´ erer une r´ ealisation u de U ([0, 1]), et s´ electionner tous les k tels que

V k−1 < u ≤ V _k .

Algorithme d´ epend de l’ordre de la population : l’ensemble des plans syst´ ematiques P _SYST est l’ensemble des plans obtenus pour tous les ordres possibles.

P _SYST est l’orbite du plan syst´ ematique p e (·) (e d´ esigne l’ordre initial) sous l’action du groupe de permutations Σ _N .

Le N−cycle (1, . . . , N) et le retournement (1, . . . , N) 7→ (N, . . . , 1) ne modifient pas p _e : ils sont dans le stabilisateur S _e .

Sauf cas particuliers, ces deux permutations engendrent S _e , qui est alors de cardinal 2N.

P _SYST est en bijection (not´ ee Ψ) avec Σ _N /S _e , et a un cardinal en g´ en´ eral ´ egal ` a (N − 1)!/2.

On cherche un minimum local : d´ epend d’une m´ etrique sur Σ _N /S _e . Si G est un ensemble sym´ etrique de g´ en´ erateurs de Σ N , on peut d´ efinir d G (σ, τ ), le nombre minimum d’´ el´ ements de G pour ´ ecrire στ ⁻¹ .

Distance transport´ ee sur Σ _N /S _e par δ _G (p ₁ , p ₂ ) = inf

σ∈Ψ ⁻¹ (p 1 ),τ ∈Ψ ⁻¹ (p 2 ) d G (σ, τ ).

δ _G (p 1 , p 2 ) = 1 ⇔ ∀σ ∈ Ψ ⁻¹ (p 1 ), ∃τ ∈ Ψ ⁻¹ (p 2 )|d _G (σ, τ ) = 1 (1)

N = 7, n = 3, m = 2, π = (.11, .51, .31, .61, .32, .41, .73) x ₁ = (10.42, 8.31, 10.05, 8.55, 14.49, 9.46, 13.70),

Il y a 29 ⁰ 402 plans extremaux, le coˆ ut minimum est 0.09385,

CV ² pour chaque variable, ´ elimination et syst´ ematique

Le minimum sur P _SYST peut ˆ etre loin du minimum sur C _π .