Opérateurs invariants sur un immeuble affine de type <span class="mathjax-formula">$\widetilde{B}_n\, (n\ge 3)$</span>

OpeÂrateurs invariants sur un immeuble affine de type B e

(n 3)

FERDAOUSKELLIL(*) - GUYROUSSEAU(**)

REÂSUMEÂ- OnconsideÁre unimmeubleDde typeBen(n3), diffeÂrents sous-ensembles S⁰de l'ensembleS des sommets deDet ungroupeGd'automorphismes deD, fortement transitif surDenrespectant les types. Onmontre que l'algeÁbre des opeÂrateursG-invariants agissant sur l'espace des fonctions surS⁰n'est pas com- mutative (contrairement aux reÂsultats classiques) et ondonne ses geÂneÂrateurs. On explicite eÂgalement la structure de certaines sous-algeÁbres commutatives.

ABSTRACT- We consider a buildingDof typeBen(n3), different subsetsS⁰of the set Sof vertices inDand an automorphism groupGstrongly transitive and type preserving onD. We prove that the algebra ofG-invariant operators acting on the space of functions onS⁰is not commutative (contrarily to the classical re- sults) and we give its generators. We give also the precise structure of some commutative subalgebras

Introduction

Soit D unimmeuble eÂpais localement fini et S⁰ unsous-ensemble de l'ensembleS de ses sommets. Onsuppose qu'il existe ungroupeGd'au- tomorphismes de D qui respecte les types et agit ``fortement transi- tivement'' sur D. UnopeÂrateur K est une fonction ``localement finie'' sur S⁰ S⁰. Ces opeÂrateurs forment une algeÁbre qui agit sur l'espace des fonctions surS⁰. Ons'inteÂresse aÁ l'algeÁbreO⁰des opeÂrateursG-invariants

(*) Indirizzo dell'A.: DeÂpartement de MatheÂmatiques, Institut SupeÂrieur d'Informatique et de MatheÂmatiques de Monastir (ISIMM), Universite de Monastir, 5000 Monastir Tunisie.

E-mail: kelliferdaous@yahoo.fr

(**) Indirizzo dell'A.: Institut EÂlie Cartan, UMR 7502, Nancy-UniversiteÂ, CNRS, BP 70239, 54506 Vandúuvre leÁs Nancy Cedex, France.

E-mail: Guy.Rousseau@iecn.u-nancy.fr

i:e: veÂrifiant : K(gu;gv)ˆK(u;v); 8g2G; 8u;v2 S⁰ (cf: preÂliminaires).

Ce point de vue a eÂte adopte dans plusieurs articles anteÂrieurs [C 01], [CM 94], [CW 04], [GL 99], [MZ 00] et [MZ 02].

Ce travail est une suite logique de notre eÂtude preÂceÂdente [K-R 07] qui traite le cas d'unimmeuble de typeAe₂ouBe₂. Ons'inteÂresse aÁ des cas non classiques, c'est aÁ dire non couverts par les reÂsultats d'Ichiro Satake [S 63]

qui affirment queO⁰est souvent commutative.

Plus preÂciseÂment on se place dans le cas d'un immeubleD, eÂpais locale- ment fini, de typeBe_n(n3). D'apreÁs les travaux de Jacques Tits (cf. [T 78], [R 89; corollary 10.25] ou [W 09; chap. 27]) untel immeuble est l'immeuble de Bruhat-Tits d'ungroupeGquasi-simple simplement connexe sur un corps local non archimeÂdienK. Ce groupeGagit fortement transitivement surDen respectant les types. Si on remplaceGpar songroupe adjointG, alors celui- ci permute les deux types speÂciaux (0 et 1) de sommets [T 78; 2.5 p. 47]. On n'utilisera ci-dessous que les proprieÂteÂs de transitivite deGetG.

ApreÁs une premieÁre partie consacreÂe aux reÂsultats geÂneÂraux, ons'inteÂ- resse, dans la seconde partie, aux sommets speÂciaux (donc de type 0 ou 1).

Sans surprise l'algeÁbreO0(resp.O1) des opeÂrateurs sur l'ensembleS0(resp.

S1) des sommets de type 0 (resp. 1) invariants parGest commutative. SoitO (resp.O) l'algeÁbre des opeÂrateurs surS₀[ S₁ invariants par le groupeG (resp.G). Onmontre queOn'est pas commutative et, graÃce aÁ une filtration sur cette algeÁbre, onendeÂtermine des geÂneÂrateurs (theÂoreÁme 2.6). Onex- plicite compleÁtement la structure des algeÁbres commutativesO0,O1etO (theÂoreÁmes 2.7 et 2.9), enparticulierOest une algeÁbre de polynoÃmes. Onen deÂduit aussi la structure explicite de l'algeÁbreO(remarque 2.8).

Dans la partie 3, on eÂtudie l'algeÁbreOⁿ(resp.Oⁿ) des opeÂrateurs sur l'ensembleSndes sommets de typendeDinvariants parG(resp.G). C'est techniquement plus difficile. On trouve cependant des geÂneÂrateurs de l'algeÁbre non commutative Oⁿ (theÂoreÁme 3.8) et onprouve que l'algeÁbre Oⁿ est une algeÁbre de polynoÃmes (theÂoreÁme 3.10).

Enfin dans une dernieÁre partie, oncompare ces reÂsultats avec ceux que l'onpeut deÂduire des travaux classiques d'Ichiro Satake [S 63].

1. PreÂliminaires :

1.1 ±Complexes de chambres

Uncomplexe simpliciald'ensemble de sommetsSest unensembleX de parties finies deSqu'onappellesimplexes(facettes) tel que :

1. Chaque singletonfxgpourxdansSest unsimplexe.

2. Chaque partieF⁰ d'unsimplexeFest unsimplexe, une telle partie est appeleÂe facedu simplexe initial. La codimensiondeF⁰ (dans F) est alors le cardinal deFnF⁰.

Unmorphisme simpliciald'uncomplexeXdansYest une applicationf de l'ensemble des sommets deX dans l'ensemble des sommets deY qui envoie simplexe sur simplexe. Si de plus f est bijective et f ¹ est un morphisme simplicial onparle d'isomorphismesimplicial. Dans le cas ouÁ l'ensemble des sommets deXest une partie de l'ensemble des sommets de Y et tout simplexe deXest unsimplexe deY, ondit queXest unsous- complexedeY. AlorsXest uncomplexe simplicial aÁ part entieÁre.

Uncomplexe simplicial est uncomplexe de chambressi tout simplexe est contenu dans un simplexe maximal (chambre) et si pour toute paire fc;c⁰gde chambres il existe une suite appeleÂegalerie cˆc₁;c₂;. . .;c_mˆc⁰ de chambres conseÂcutivement adjacentes (i:e: telles que 8i;1 im 1;c_i etc_i‡1 ont un simplexe de codimension 1 (cloison) encom- mun). Alors toutes les chambres ont le meÃme nombren‡1 de sommets, le nombrenest appele lerangdu complexe.

1.2 ±Complexes de Coxeter

Onappellegroupe de reÂflexions affine essentielungroupeW^aagissant de manieÁre affine sur un espace vectoriel euclidien V de dimensionntel qu'il existe unensembleHd'hyperplans affines (appeleÂs murs) veÂrifiant :

1. W^astabilise l'ensemble de ces hyperplans ;

2. W^aest engendre par les reÂflexions orthogonalesrHpourH2 H; 3. il existe un ensemble finiFd'eÂleÂments non nuls du dualV engen- drant V tel que H est l'ensemble des hyperplans H_a;k d'eÂquation a(v)‡kˆ0 poura2Fetk2Z:

Onpeut enfait montrer queFest alors unsysteÁme de racines etW^ason groupe de Weyl affine,cf. [B 68].

AÁ chaque pointxonassocie sa facette qui est l'intersectiondes demi- appartements Da;k (d'eÂquation a(v)‡k0 pour a2F et k2Z) qui le contiennent. Une facette minimale est reÂduite aÁ unsommet; c'est l'inter- sectiondenmursH_a;k associeÂs aÁ desaindeÂpendants. Les facettes maxi- males appeleÂes chambres, sont les adheÂrences des composantes connexes deV prive de la reÂunion de tous les murs.

Une facette est l'enveloppe convexe des sommets qu'elle contient.

L'enclosd'une partieV deV est l'intersection des demi-appartements contenantV, c'est une partie convexe deV. La partieVest diteclosesi elle est eÂgale aÁ sonenclos.

OnconsideÁre uniquement le cas ouÁ l'actiondeWsurVest irreÂductible.

Alors toute facette est un simplexe : les sommets qu'elle contient sont af- finement indeÂpendants. On associe aÁ ce groupe de reÂflexions un complexe simplicial appeleÂcomplexe de Coxeter affinede typeW^adont les sommets sont les sommets deV et les simplexes les ensembles de sommets d'une facette de V. Ce complexe est uncomplexe de chambres de rangn. Le groupeW^ainduit un groupe d'automorphismes simpliciaux que l'on appelle le groupe de Weyl de ce complexe. Unsommeta2V est ditspeÂcialpour W^asi pour tout hyperplanH2 H, il existe unhyperplanH⁰2 HparalleÁle aÁ Het tel quea2H⁰.

1.3 ±Immeubles

Un immeublede type W^a est uncomplexe simplicialDqui peut eÃtre recouvert par une famille de sous-complexes appeleÂs appartements et veÂrifiant :

1. chaque appartement est un complexe de Coxeter de typeW^a; 2. deux simplexes quelconques de D sont toujours contenus dans un meÃme appartement ;

3. SiAetA⁰sont deux appartements contenant une chambrec, il existe unisomorphisme de A dans A⁰ fixant tous les simplexes de A et A⁰ en commun.

Unimmeuble est uncomplexe de chambres. Il existe une applicationt deD dans f0;1; ;ng qui aÁ chaque sommet associe son typeet dont la restrictionaÁ chaque simplexe est injective. Une cloisonFest dite de typei sit(F)ˆ f0;1; ;ngnfig; lavalence v(F) de cette cloisonest le nombre de chambres la contenant, elle ne deÂpend en geÂneÂral que du typet(F). Ondit que l'immeuble esteÂpaissiv(F)3 pour toute cloisonF. Dans la suite on note q_i‡1 la valence d'une cloison de type i ; c'est un nombre fini si l'immeuble est localement fini.

Unautomorphisme de l'immeubleDest unautomorphisme simplicial qui envoie appartement sur appartement. On dit qu'un automorphismeW deDrespecte les typessi et seulement si pour toute facetteFcontenue dans unappartementAet pour toutw2W(A) tel queW(F)AetwW(F)ˆF, alorswWstabilise toute face deF.

UngroupeGd'automorphismes de l'immeubleDagit fortement tran- sitivementsurDs'il est transitif sur l'ensembleAdes appartements deDet si pour toutA2 Ales trois conditions ci-dessous pour une paire (C;C⁰) de chambre deAsont eÂquivalentes :

1. CetC⁰sont conjugueÂes par le groupe de WeylW(A) deA.

2. CetC⁰sont conjugueÂes par le stabilisateurN_G(A) deAdansG.

3. CetC⁰sont conjugueÂes parG(comme chambres deD).

Le groupeGagittreÁs fortement transitivementsurDsi le sous-groupe G₀ deGforme des eÂleÂments conservant les types agit transitivement sur les paires (A;C) ouÁCest une chambre de l'appartementA.

SoitS⁰un sous-ensemble de l'ensembleSdes sommets d'unimmeuble.

Un opeÂrateur K sur S⁰ est une fonction surS⁰ S⁰. L'opeÂrateur est dit localement fini si pour tout u2 S⁰; fv2 S⁰=K(u;v)6ˆ0g est fini. Le produit de deux tels opeÂrateurs K; K⁰ est alors donne par KK⁰(s;t)ˆP

u K(s;u)K⁰(u;t). Ces opeÂrateurs localement finis forment une algeÁbre qui agit sur l'espace des fonctions sur S⁰ par (Kf)(s)ˆ P

u K(s;u)f(u). L'opeÂrateur est dit G-invariant par ungroupe Gd'auto- morphismes si K(gu;gv)ˆK(u;v); 8g2G; 8u;v2 S⁰: Si onsuppose G transitif surS⁰alors untel opeÂrateur s'identifie aÁ une fonction aÁ support fini surG=K_souÁK_s est le fixateur dansGd'unsommetsdeS⁰.

OnconsideÂrera dans la suite des immeubles ``geÂomeÂtriques'' de typeW<sup>a</sup> dans lesquels un simplexe est remplace par son ``enveloppe convexe''. Alors l'appartement ``geÂomeÂtrique'' associe aÁ unappartement est isomorphe aÁ l'espace V sur lequel W agit (comme en1.2). L'intersectionde deux ap- partements est une partie close de chacun d'eux. L'immeuble I est muni d'une meÂtrique qui induit la meÂtrique euclidienne sur chaque appartement et les isomorphismes entre appartements sont des isomeÂtries. De meÃme tout automorphisme deI agit par isomeÂtrie.

1.4 ±Immeubles de typeBe_n

Plus preÂciseÂment dans ce papier on va regarder le cas particulier d'un immeuble localement fini eÂpais de typeBen(n3) :

Nous prendrons pour V l'espace vectoriel Rⁿ(n3) muni de sa base canonique (e₁;e₂; ;e_n) et du produit scalaire usuel h:; :i. Soit Rˆ fe_i(1in); e_ie_j(1i5jn)g unsysteÁme de racines reÂduit et irreÂductible dans V et Bˆ(a_i)_1in une base de R ouÁ, pour

1in 1; aiˆei ei‡1 et pour iˆn; anˆen. Comme R est irreÂductible, il existe une plus grande racine eaˆa1‡2a2‡ 2a3‡ ‡2anˆe1‡e2. On a hea;a_ii ˆ0 pour i6ˆ2 et hea;a2i ˆ1.

La formule a^_ˆ 2a

ha;aidonne pour le systeÁme R^_ des coracines l'en- semble des vecteurs 2e_i(1in), e_ie_j(1i5jn). Comme R est reÂduit, il s'ensuit queB^_ˆ fa₁; ;a_{n 1};2a_ngest une base deR^_. La base duale (l_i)_1in de B est deÂfinie par 5l_i;a_j >ˆd_ij pour tout j(1jn), ses eÂleÂments s'appellent lescopoids fondamentaux relative- ment aÁBet valentl_iˆe₁‡e₂‡ e_i. LeZ module deRestPˆPⁿ

iˆ1Zl_i de base (e_i)_1in. Finalement, soitQ, le sous-Z module deP deÂfini par Qˆ P

a2RZa^_ˆn

x2P; xˆ(a₁; ;a_n)ˆPⁿ

iˆ1a_ie_ijPⁿ

iˆ1a_ipairo .

Le groupe de Weyl WˆW(R) est engendre par les reÂflexions ra; a2R. Or dansRⁿ, la reÂflexionorthogonalerei ej(i6ˆj) eÂchangee_iete_j et laisse invariants les e_k d'indice kdistinct de iet j. Ces reÂflexions en- gendrent un groupe isomorphe au groupe symeÂtrique S_n. La reÂflexion orthogonalerei transformeeien ei et laisse invariants les ek d'indicek distinct dei. Ces dernieÁres reÂflexions engendrent un groupe isomorphe aÁ (Z=2Z)ⁿ, distingue dans le groupe de WeylW. AinsiWest isomorphe aÁ un produit semi-direct deS_npar (Z=2Z)ⁿ, il est d'ordre 2ⁿ:n!.

Le groupe de Weyl affine W^aˆW^a(R) engendre par les reÂflexions affinesra;k ( par rapport au murHa;k) poura2Retk2Zest le produit semi-direct deWparQ. Le groupe de Weyl affine eÂtendu estW^etˆW^j P.

SoitCla chambre fermeÂe de Weyl deÂfinie par la base de racinesB, on a : C ˆ fxˆ(a1; ;an)2Rⁿja1a2 an0g:

Les sommets speÂciaux dansCsont lesxˆ(a1; ;an)2Nⁿtels quePⁿ

iˆ1ai

pair, ou Pⁿ

iˆ1a_i impair qui correspondent respectivement aux sommets de types 0 ou 1 dansC. Les sommets non speÂciaux de typehavec 2hn dansCont des coordonneÂes demi-entieÁres avec unnombre eÂgal aÁh(h2) de non-entiers.

Dans la suite on sera amene aÁ choisir unsommetxˆ(b1; ;bn) de type 0, 1 oundansV ˆAet onnotera (j₁; ;j_n) les coordonneÂes deV d'ori- ginex(j_iˆa_i b_i).

L'immeubleDconsideÂre est donc reÂunion d'appartements isomorphes aÁ V. Pour untel immeuble onsait que les valences veÂrifient q0ˆq1ˆ ˆqn 1, eÂventuellement diffeÂrent deqn. SiDest l'immeuble

de Bruhat-Tits d'un groupe quasi-simple simplement connexe Gsur un corps local non archimeÂdienK, on sait queq0etqnvalentq,q²ouq³ouÁq est le cardinal du corps reÂsiduel deK, voir les tables de [T 78] ou [W 09;

chap. 28].

2. L'algeÁbreOdes opeÂrateurs surS0[ S1:

SoitAunappartement,xunsommet deS_i\A; i2 f0;1g( c'est aÁ direx speÂcial ) etCune chambre deAcontenantx, il existe ununique systeÁme orthonorme de coordonneÂes sur l'appartementAtel quexˆx_0;;0,S \Cˆ fx0;;0;x¹_2;¹_2;0;;0;x¹_2;;¹₂;x1;0;;0g avec t(x1

2;;¹₂

|{z}

k

;0;;0)ˆk2, t(x0;;0)ˆi,

t(x1;0;;0)ˆ1 i. Alorsfxj1;;jnjj1j2 jn0gest le quartierQx;C

de A de sommet x contenant C. L'ensemble Si\A (resp:S1 i\A, Sk\A(k2)) est forme des xj1;;jn avec j1; ;jn2Z et Pⁿ

pˆ1jp est pair (resp:j1; ;jn 2Zet Pⁿ

pˆ1jpimpair,j1; ;jn21

2Zet]fjpjjp62Zg ˆk).

OnnoteV_j1;;jn(x) l'ensemble des pointsx_j1;;jn associeÂs aux diffeÂrents choix deAetCtels quex2CA; cet ensemble est fini car l'immeuble est suppose localement fini.

L'ensemble S_i(resp:S_{1 i};S_k(k2)) est reÂunion disjointe des V_j1;;jn(x) avec j1j2 jn0;j1; ;jn2N et Pⁿ

pˆ1jp est pair (resp: j1; ;jn2NetPⁿ

pˆ1jpimpair,j1; ;jn21

2Net]fjpjjp62Ng ˆk).

Ces ensembles sont les orbites de Gx (fixateur de x dans G) dan s Si(resp:S1 i; Sk): Pour tout sommet speÂcial s et tout sk dans S_k\A(k2),fs;s_kgest une areÃte si et seulement sis_kˆs‡(e1; ;en) ouÁe_iˆ0 ou1

2(avec]fepjep6ˆ0g ˆk)i:e:ks_k sk₁ ˆ1 2.

OndeÂfinit des opeÂrateurs K_jⁱ_1;;jn sur (S0[ S1) S pour i2 f0;1g, j1; ;jn21

2N,j1j2 jn0 (et nombre de non-entiers6ˆ1) par : K_jⁱ_1;;jn(u;v)ˆ 1 sit(u)ˆietv2Vj1;;jn(u)

0 sinon:

(

Dans le cas ouÁj1; ;jn2N,j1j2 jn0, les opeÂrateursK_jⁱ_1;;jn opeÁrent surS₀[ S₁.

OnnoteOl'algeÁbre des opeÂrateurs surS0[ S1invariants par le groupe Gfortement transitif et respectant les types. Ainsi l'algeÁbreOadmet pour base lesK_j⁰_1;;jn etK_j¹_1;;jn(j1; ;jn2N; j1j2 jn0). Comme le support de K⁰_j1;;jnK_j¹0

1;;j⁰n est diffeÂrent du support de K_j¹0

1;;j⁰nK_j⁰_1;;jn, l'algeÁbreOest non commutative.

On veut maintenant deÂterminer les geÂneÂrateurs de O. Pour cela on deÂfinit d'abord ci-dessous une relation d'ordre compatible avec l'addition dansRⁿ.

Onnote :

C^?ˆR_‡(e₁ e₂)R_‡(e₂ e₃) R_‡e_n:

Ona C^?ˆ fy2Rⁿj hx;yi 0; 8x2 Cg et C ˆ fy2Rⁿj hx;yi 0, 8x2 C^?g:Onpose par deÂfinition :

x_C? y()y x2 C^?:

Enparticulier pourxˆ(x1; ;xn) etyˆ(y1; ;yn)2Rⁿona : x_C? yˆ)(y₁>x₁) ou (y₁ˆx₁ ety₂>x₂) ou;. . .;

ou (y1ˆx1; yn 1ˆxn 1;ynxn);

donc_C? implique l'ordre lexicographique surRⁿ.

D'apreÁs un reÂsultat classique (cf:[B 68], VI § 1 proposition18) ona : y2 C () 8w2W; wy_C? y:

PROPOSITION2.1. Si on pose, pour x2Rⁿ; d(x)ˆWx\ Con a: 8x; y2Rⁿ; d(x‡y)_C? d(x)‡d(y):

DEÂMONSTRATION. Eneffet soitw2W tel quew(x‡y)2 C et soient w⁰;w⁰⁰2W tels que w⁰x2 C et w⁰⁰y2 C. Alors pour tout w02W ona w₀(w⁰x)_C? w⁰x. Enparticulier pourw₀ˆww^{0 1}onobtientwx_C? w⁰x. De meÃme w₀ˆww^{00 1} donne wy_C? w⁰⁰y. Il s'ensuit que wx‡wyˆ w(x‡y)_C? w⁰x‡w⁰⁰y. Ainsi on a le reÂsultat. p

CONSEÂQUENCE. Pour x;y2Rⁿ posons d(x;y)ˆd(y x). OndeÂfinit ainsi une applicationd:RⁿRⁿ ! Cqui est invariante par le groupe de Weyl affine W^a (ou le groupe de Weyl affine eÂtendu W^etˆW^j P). La proposition2.1 montre l'ineÂgalite triangulaire :

d(x;z)_C^?d(x;y)‡d(y;z):

Commed est invariante parW^aelle peut eÃtre deÂfinie de manieÁre in- trinseÁque, sur tout appartement de l'immeuble et meÃme sur l'immeuble car deux appartements contenantxetysont isomorphes par un isomorphisme fixantxety.

Pour x2(S₀[ S₁)\A et (j₁; ;j_n)2 C \ S ona s2V_j1;;jn(x) si et seulement sid(x;s)ˆ(j₁; ;j_n).

Onad(x;y)ˆd(y;x);8x;y2 I, car Idest dansW.

PROPOSITION 2.2. L'ineÂgalite triangulaire est veÂrifieÂe dans l'im- meuble :

8x;y;z2 I ; d(x;z)_C^?d(x;y)‡d(y;z):

DEÂMONSTRATION. Il existe un nombre fini de points y0 ˆ y;y1; ;yn ˆzdu segment [y;z] tel que, pour toutiˆ1; ;n; x;yi 1;yi

soient dans un meÃme appartement. Dans cet appartement on a d(x;y_i)_C^?d(x;y_{i 1})‡d(y_{i 1};y_i) d'apreÁs la proposition2.1. Donc d(x;z)_C^?d(x;y)‡Pⁿ

iˆ1d(y_{i 1};y_i). Mais les points y₀ˆy;y₁; ;y_nˆz sont aligneÂs dans un meÃme appartement, doncPⁿ

iˆ1d(y_{i 1};y_i)ˆd(y;z): p REMARQUE. Onsait que ce reÂsultat se geÂneÂralise aÁ tout immeuble affine.

DEFINITION 2.3. Le terme dominant d'un eÂleÂment non nul kˆP

aⁱ_j1;;jnK_jⁱ_1;;jn de O est l'eÂleÂment dom(k) de O obtenu en rem- placant chaque aⁱ_j1;;jn par 0 deÁs qu'il existe (j⁰₁; ;j⁰_n) strictement supeÂrieur aÁ(j1; ;jn)tel que aⁱ_j0

1;;j⁰n6ˆ0.

PROPOSITION 2.4. Pour iˆ0 ou 1, j₁; ;j_n2N, j₁j₂ jn0, on a:

dom K_jⁱ_1;j2;;jnK^i‡

P

pjp

i1;i2;;in

ˆK_jⁱ_{1‡i1;j2‡i2;;jn‡in};

ouÁ i‡P

p jpest la classe de i‡P

p jp modulo2.

DEÂMONSTRATION. Par deÂfinition la valeur (K_jⁱ_1;j2;;jnK^i‡

P

pjp

i1;i2;;in )(s;t) en (s;t)2 S Sde ce produit estP

u K_jⁱ_1;j2;;jn(s;u)K^i‡

P

pjp

i1;i2;;in(u;t). Ceci est non nul si et seulement sis2 Si,t2 S_i‡P

p(jp‡ip) et il existeu2 S_i‡P

pjp tel

que u2Vj1;;jn(s) et t2Vi1;;in(u). Par unbonchoix de la chambre fon- damentale d'origines les coordonneÂes normaliseÂes deusont (j1; ;jn), les coordonneÂes de t normaliseÂes par rapport aÁ u sont (i1; ;in). Cela signifie que d(s;u)ˆ(j₁; ;j_n) et d(u;t)ˆ(i₁; ;i_n). D'apreÁs la pro- position2.2d(s;t)_C^? (i₁‡j₁; ;i_n‡j_n):Autrement dit apreÁs renorma- lisation les coordonneÂes de t sont de la forme (j⁰₁; ;j⁰_n) avec (j⁰₁; ;j⁰_n)_C? (j1‡i1; ;jn‡in). De plus pour sˆ(0; ;0) et tˆ(j1‡i1; ;jn‡in), il existe ununique u2 I tel que d(s;u)ˆ (j₁; ;j_n) etd(u;t)ˆ(i₁; ;i_n), puisque ceuest forceÂment dans l'enclos desett. Doncdom K_jⁱ_1;j2;;jnK^i‡

P

pjp

i1;i2;;in

ˆK_jⁱ_{1‡i1;j2‡i2;;jn‡in}: p

DEFINITION2.5. Le degre de l'opeÂrateur K_jⁱ_1;;jnest j1‡ ‡jn2N:

THEÂOREMEÁ2.6. Pour i2 f0;1g; k1, on note : Lⁱ_k ˆKⁱ_1;;1

|{z}k

;0;;0: 1. dom K_jⁱ_1;;jnL^i‡

P

pjp

k

ˆK_jⁱ_{1‡1;;jk‡1;jk‡1;jn}:

2. Les opeÂrateurs Lⁱ_kpour i2 f0;1get0kn engendrent l'algeÁbreO.

DEÂMONSTRATION. 1. S'obtient en appliquant la proposition 2.4.

2. S'obtient facilement par un raisonnement par reÂcurrence sur le degreÂ

deK_jⁱ_1;;jn. p

NOTATIONS. Onnote

L_j ˆL⁰_j ‡L¹_j; K_j1;;jnˆK_j⁰_1;;jn‡K_j¹_1;;jn:

UnopeÂrateur K de O est dit symeÂtrique si K(s;t)ˆK(t;s);

8s;t2 S0[ S1:L'opeÂrateurK_jⁱ_1;;jnpourj1; ;jn2Zest symeÂtrique si et seulement si son degre est pair : c'est clairement une condition neÂcessaire car sinon son support estS_i S_{1 i}et onaK_jⁱ_1;;jn(t;s)ˆK_j¹_1;;jⁱ _n(s;t) et c'est suffisant car on a vu qued(s;t)ˆd(t;s).

L'espace vectoriel O^s des opeÂrateurs invariants symeÂtriques a pour base lesK_jⁱ_1;;jn de degre pair et lesK_j1;;jn de degre impair.

Le sous-espace vectorielOdeO^sde base lesK_j1;;jnest forme des opeÂ- rateurs ``treÁs symeÂtriques'' ou ``P-invariants'', c'est aÁ dire invariants par le groupe affine eÂtenduW^etˆW^j P. C'est l'algeÁbre des opeÂrateurs surS0[ S1

invariants sous le groupeGtreÁs fortement transitif, transitif surS0[ S1. THEÂOREMEÁ2.7. L'algeÁbreO est commutative, c'est l'algeÁbre de poly- noÃmesC[L₁; ;L_n].

REMARQUE. La commutativite deOest unreÂsultat de Parkinson [P 06].

DEÂMONSTRATION. L'algeÁbreOest formeÂe d'opeÂrateurs symeÂtriques, elle est donc commutative. Pour a₁; ;a_n2N, onvoit facilement que le terme dominant de (L₁)^a1 (L_n)^an est K_{a1‡a2‡‡an;a2‡‡an;;an}, les variables L₁; ;L_n sont donc algeÂbriquement indeÂpendantes et

OˆC[L₁; ;L_n]. p

L'algeÁbreOest la somme directe des quatre sous-espaces vectoriels : O0ˆ O^0;0; O1ˆ O^1;1; O^0;1 etO^1;0;

ouÁ O^i;j est forme des opeÂrateurs de support dansS_i S_j. Pour K2 O et i;j2 f0;1g onnote _ijKj_j(resp:_ijK; Kj_j) sa restrictionaÁ S_i Sj(resp:Si S; S Sj) prolongeÂe par 0 endehors. L'application K7 !_ijKj_j est la projectionde O sur O^i;j.

Malheureusement O^s n'est pas une algeÁbre : L⁰₂ˆK⁰_1;1;0;;02 O^s et L₁ ˆK_1;0;;0⁰ ‡K_1;0;;0¹ 2 O O^s, maisL⁰₂L₁est non nul et son support est dansS₀ S₁il ne peut donc eÃtre symeÂtrique.

Comme une base de O est formeÂe des Kⁱ_j1;;jn ˆijK_j1;;jn, on a O ˆ0jO1jOavec la relation:

(_ijK)(_i⁰jK⁰)ˆ ⁱjKK⁰ sii‡i⁰‡deg(K)0[2]

0 sinon

;

siKetK⁰sont des monoÃmes (ou plus geÂneÂralement si tous les monoÃmes de K ont des degreÂs de meÃme pariteÂ).

REMARQUE2.8. Cette relation de composition desijK et la structure de l'algeÁbreOdeÂcrivent entieÁrement la structure de l'algeÁbreO.

Par restrictionaÁS_i(iˆ0 ou 1), l'algeÁbreO_ides opeÂrateurs surS_iin- variants parGest contenue dans_ijOet ona :

O_iˆ f_ijK=K2 Oet tous monoÃmes deKont un degre pair.g La relationci-dessus sur la compositiondes_ijK permet de montrer : THEÂOREMEÁ 2.9. L'algeÁbre O_i est commutative et isomorphe (par K7!_ijK) aÁ la sous-algeÁbreO deO ˆC[L₁; ;L_n]formeÂe des eÂleÂments de degre pair.

N.B. Onrappelle que le degre deL_j estj.

3. L'algeÁbreOⁿdes opeÂrateurs surSn:

SoitAunappartement,uunsommet deSn\A(c'est aÁ dire uest de typen), la chambre de WeylC_u de sommetuest deÂtermineÂe par :

C_uˆ f(j₁; ;j_n)2Rⁿjj₁j₂ j_n0g; et C_u\ S_nˆC_u\Zⁿ pour unsysteÁme de coordonneÂes (j₁; ;j_n) d'origineu.

Il existe unsysteÁme de coordonneÂes (x1; ;xn) d'origine un sommet speÂcialusdans lequelua pour coordonneÂes

1 2; ;1

2

alorsxiˆji‡1 2et la chambreCuestn

(x1; ;xn)jx1x2 xn1 2

o. Le fixateurW_u^a (dans le groupe de Weyl affine W^aˆW^jQ) de u contient les per- mutations et les changements de signes des j_i (avec unnombre pair de changements de signe). En effet W contient toutes les permutations et tous les changements de signes des x_i (cf: [B 68] ou encore § 1 preÂ- liminaires), maisQˆn

(a1; ;an)2Zⁿ jPⁿ

iˆ1ai pairo

et le changement de signe j_i7 ! j_i (autres j_k fixeÂs) correspond aÁ la transformation (x₁; ;x_n)7 !r_i(x₁; ;x_n)ˆ(x₁; ;x_{i 1};1 x_i;x_i‡1; ;x_n).

Donc, aÁ Gu preÁs, tout sommet v2 S est dans C_u⁰ ˆCu[rn(Cu)ˆ f(j1; ;jn)jj1j2 jn 1 jjnjg. Pour choisir entre la coordonneÂe jn ou jn, on deÂcide par convention que

1 2; ;1

2

est de type 1 et 1

2; ; 1 2

est de type 0 (i.e.t(us)ˆ( 1)ⁿ).

Ondit que v2V_j1;;jn(u) avecj1j2 jjnjs'il existeg2Gu tel que g(v)ˆu‡(j1; ;jn). L'ensemble Sn est reÂunion disjointe des V_j1;;jn(u) (pour (j₁; ;j_n)2C⁰_u\Zⁿ) qui sont les orbites dansS_n du fi- xateurG_u deudansG. De meÃmeS_k (2kn 1) (resp.S₀ ouS₁) est reÂunion disjointe des V_j1;;jn(u) pour (j₁; ;j_n)2C_u⁰ \

1 2Z

_n et le nombre de j_i entiers eÂgal aÁk (resp. eÂgal aÁ 0 etn‡Pⁿ

iˆ1

j_i‡1

2

pair ou impair).

Pour (j1; ;jn)2C_u⁰ \ 1

2Z _n

les opeÂrateursK_jⁿ_1;;jn sont deÂfinis sur Spar :

Kⁿ_j1;;jn(u;v)ˆ 1 sit(u)ˆnetv2V_j1;;jn(u)

0 sinon

(

Onnote aussiLⁿ_k ˆKⁿ_1;;1

|{z}k

;0;;0(pour 0kn) etLⁿ_n ˆKⁿ_{1;;1; 1}.

L'algeÁbreOⁿ des opeÂrateurs surSn invariants par le groupeGforte- ment transitif et respectant les types a pour base les K_jⁿ_1;;jn pour (j1; ;jn)2C_u⁰ \Zⁿ.

Pour (j₁; ;j_n)2C_u⁰ \Zⁿ ona v2V_j1;;jn(u)()vˆu‡(j₁; ;j_n) (avec des coordonneÂes normaliseÂes par rapport aÁ u) ()uˆv‡ ( j₁; ; j_n) et par W_u^a ona uˆv‡(j₁; ;j_{n 1};( 1)ⁿj_n), mais si onveut des coordonneÂes normaliseÂes par rapport aÁ v cela donne uˆv‡(j1; ;jn 1;( 1)^n‡deg(j)jn). Ainsi on a v2V_j1;;jn(u)()u2 V_{j1;;jn1;( 1)}^n‡deg(j)_jn(v), autrement ditK_jⁿ_1;;jn(u;v)ˆK_jⁿ

1;;jn1;( 1)^n‡deg(j)jn(v;u).

Enparticulier si n‡deg(j) est pair ou si jnˆ0 l'opeÂrateur K_jⁿ_1;;jn est symeÂtrique.

Onveut deÂterminer les geÂneÂrateurs de l'algeÁbre Oⁿ. Enutilisant le preÂordre lexicographique sur (j1; ;jn 1;jjnj), ondeÂfinit le terme do- minant d'un eÂleÂment deOⁿ (ou plus geÂneÂralement d'une combinaison li- neÂaire desK_jⁿ_1;;jn) comme en2.3.

PROPOSITION3.1. Si(j₁; ;j_n)2C_u⁰ \Zⁿ, on a dom(K_jⁿ_1;;jnK_1;;1;0ⁿ )ˆK_jⁿ_{1‡1;;jn 1‡1;jn}: DEÂMONSTRATION. K_jⁿ_1;;jnK_1;;1;0ⁿ (s;t)ˆP

u K_jⁿ_1;;jn(s;u)Kⁿ_1;;1;0(u;t).

OrK_1;;1;0ⁿ (u;t)6ˆ0()uett2 S_net il existe une galerieC₀;C₁tel que u2C0ett2C1. Il existe alors unappartementAcontenants;C0 ( et par suiteu) avec ou bienAcontients;C0ettou bienla reÂtractionr_A;C(t)ˆu(C est la chambre de sommetsdans la chambre de Weyl fondamentale). Lest possibles sont alorss‡(j₁‡m₁; ;j_n‡m_n) avec :

(m_iˆ0 ou 1 et]fm_i6ˆ0g ˆn 1) ou (m_iˆ08i):

MeÃme apreÁs renormalisation elles sont toutes infeÂrieures aÁ s‡ (j₁‡1; ;j_{n 1}‡1;j_n). De plus poursettˆs‡(j₁‡1; ;j_{n 1}‡1;j_n) ona ununique u car cet u doit appartenir aÁ l'enclos de s et t. D'ouÁ le

reÂsultat. p

DEFINITION 3.2. Pour i;j2 f0;1; ;ng on deÂfinit l'opeÂrateur M^i;j sur S par :

M^i;j(u;v)ˆ 1 sit(u)ˆi; t(v)ˆj et fu;vgar^ete

0 sinon

(

PROPOSITION3.3. Pour1kn 2et(j1; ;jn)2C_u⁰ \Zⁿon a : 1. dom(M^{n;n k}M^{n k;n})ˆKⁿ_1;1;1

|‚{z‚}

k

;0;;0ˆLⁿ_k:

2. dom(K_jⁿ_1;;jnM^{n;n k})ˆKⁿ_j1‡1

2;;jk‡¹₂;jk‡1;;jn: 3. dom(K_jⁿ_1;;jnM^{n;n k}M^{n k;n})ˆK_jⁿ_{1‡1;;jk‡1;jk‡1;;jn}: DEÂMONSTRATION. 1. M^{n;n k}M^{n k;n}(s;t)ˆ P

u2Sn k

M^{n;n k}(s;u)M^{n k;n}(u;t), ouÁ la somme porte sur lesutel quefs;ugetft;ugsont des areÃtes. Il existe alors un appartement contenants;uettet sisˆ

1 2; ;1

2

, les coordonneÂes deunormaliseÂes sont

1; ;1

|‚‚‚‚{z‚‚‚‚}

k

;1 2; ;1

2 ou

1; ;1

|‚‚‚‚{z‚‚‚‚}

k 1

;1 2; ;1

2;0

, lest

possibles voisins de u sont

1‡e1; ;1‡e_k;1

2‡e_k‡1; ;1 2‡en

ou

1‡e⁰₁; ;1‡e⁰_{k 1};1

2‡e⁰_k; ;1

2‡e⁰_{n 1};e⁰_n

, avec ei;e⁰_iˆ0, ou 1 2. MeÃme apreÁs renormalisation elles sont infeÂrieures aÁ :

( 1‡1

2; ;1‡1

|‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚}2

k

;1 2; ;1

2)ˆs‡( 1;|‚‚‚‚{z‚‚‚‚} ;1

k

;0; ;0):

De plus pours; tˆs‡( 1;|‚‚‚‚{z‚‚‚‚} ;1

k

;0; ;0), onauest dans l'enclos des ett. Doncuest biendeÂtermine parset untelt. Ainsi on obtient le reÂsultat.

2. Kⁿ_j1;;jnM^{n;n k}(s;t)6ˆ0()s2 Sn; t2 Sn ket9u2 Sn tel queuest voisindet(s;uettsont alors dans un meÃme appartement). Avec un repeÁre adapte sisˆ

1 2; ;1

2

,uˆs‡

j1; ;jn

normaliseÂ, les voisinstde u sont s‡(j1‡e1; ;jn‡en), avec eiˆ0, ou 1

2 et ]fei=ei6ˆ0g ˆ k(t2 S_{n k}). MeÃme apreÁs renormalisation, elles sont infeÂrieures aÁ s‡(j₁‡1

2; ;j_k‡1

2;j_k‡1; j_n). Par ailleurs pour sˆ 1

2; ;1 2

et tˆs‡

j₁‡1

2; ;j_k‡1

2;j_k‡1; j_n

,uest biendeÂtermine (uest dans l'enclos de s et t) puisque pour toute racinea telle que a(s)a(t), ona

a(s)a(u)a(t). D'ouÁ :

dom(Kⁿ_j1;;jnM^{n;n k})ˆK_jⁿ_1‡1

2;;jk‡¹₂;jk‡1;;jn: 3. Si onsait que :

dom(K_jⁿ_1;;jnM^{n;n k}M^{n k;n})ˆdom(K_jⁿ_1‡1

2;;jk‡¹₂;jk‡1;;jnM^{n k;n});

par un raisonnement analogue au 1) on aura:

dom(K_jⁿ_1;;jnM^{n;n k}M^{n k;n})ˆK_jⁿ_{1‡1;;jk‡1;jk‡1;;jn}:

Il suffit alors de s'assurer que les termes intervenant dansK_jⁿ_1;;jnM^{n;n k} et qui sont strictement infeÂrieurs aÁ K_jⁿ

1‡¹₂;;jk‡¹₂;jk‡1;;jn donnent par le produit parM^{n k;k}des termes strictement infeÂrieurs aÁK_jⁿ_{1‡1;;jk‡1;jk‡1;;jn}. En effet les voisins dansS_{n k}d'unsommetuˆs‡(j1‡e1; ;jn‡en), avec epˆ0, ou 1

2 et ]fepjep6ˆ0g ˆk sont sous la forme s‡(j1‡m1; ;jn‡mn), avecmpˆ0, ou1 et]fmpjmp6ˆ0g k. Si de plus (j1‡e1; ;jn‡en)5

j1‡1

2; ;jk‡1

2;jk‡1; ;jn

, on a (j₁‡m₁; ;j_n‡m_n)5

j₁‡1

2‡1

2; ;j_k‡1 2‡1

2;j_k‡1; ;j_n

et par suites‡(j₁‡m₁; ;j_n‡m_n)5s‡(j₁‡1; ;j_k‡1;j_k‡1; ;j_n).

Revoyons l'analogue de 1) :K_jⁿ

1‡¹₂;;jk‡¹₂;jk‡1;;jnM^{n k;n}(s;t)6ˆ0()s2 S_n, t2 Snet9u2 Sn ktel quefu;tgest une areÃte (doncs;uettsont dans un meÃme appartement). Ainsi avec unbonchoix de la chambre de Weyl fondamentale sisˆ

1 2; ;1

2

etuˆs‡(j1‡1

2; ;jk‡1

2;jk‡1; jn), les t voisins de u dans S_n sont de la forme uˆs‡

j₁‡1

2‡e₁; ;j_k‡1

2‡e_k;j_k‡1‡e_k‡1; j_n‡e_n

, avec e_pˆ0, ou 1 2 et comme t2 S_n alors tˆs‡(j₁‡1

2‡e₁; ;j_k‡1

2‡e_k;j_k‡1; j_n), avec epˆ 1

2.

Or un tˆs‡(j₁‡m₁; ;j_k‡m_k;j_k‡1; j_n), avec m_pˆ0 ou 1.

Elles sont toutes apreÁs renormalisation infeÂrieures aÁ s‡ (j1‡1; ;jk‡1;jk‡1; jn). De plus pour s et tˆs‡ (j1‡1; ;j_k‡1;j_k‡1; jn), ona u est biendeÂtermine (u est dans

l'enclos de sett). p

COROLLAIRE 3.4. Pour kn 2 et (j1; ; jn)2C_u⁰ \Zⁿ, on a : dom(K_jⁿ_{1;; jn}Lⁿ_k)ˆK_jⁿ_{1‡1;; jk‡1; jk‡1;; jn}.

DEÂMONSTRATION. Onutilise la proposition3.3 et le fait que les termes intervenant dans M^{n;n k}M^{n k;n} et qui sont strictement infeÂrieurs aÁ Lⁿ_k donnent par le produit aÁ gauche parK_jⁿ_1;;jn des termes strictement infeÂ-

rieurs aÁKⁿ_{j1‡1;;jk‡1;jk‡1;;jn}: p

PROPOSITION3.5. Pour kˆn,(j₁; ;j_n)2C_u⁰ \Zⁿet i2 f0;1gon a : 1. dom(M^n;iM^i;n)ˆK_{1;;1;( 1)}ⁿ n‡i:

2. dom(K_jⁿ_1;;jnM^n;0)ˆ Kⁿ_j

1‡¹₂;;jn1‡¹₂;jn‡¹₂ si jn0 et n‡P

jp pair q_nK_jⁿ

1‡¹₂;;jn 1‡¹₂;jn‡¹₂ si j_n50 et n‡P

j_p pair K_jⁿ

1‡¹₂;;jn 1‡¹₂;jn 1

2 si jn0 et n‡P

jp impair qnK_jⁿ

1‡¹₂;;jn1‡¹₂;jn 1

2 si jn>0 et n‡P

jp impair 8>

>>

>>

>>

<

>>

>>

>>

>:

3. dom(K_jⁿ_1;;jnM^n;0M^0;n)ˆ

K_jⁿ_{1‡1;;jn1‡1;jn‡1} si jn0 et n‡P

jp pair q_nKⁿ_{j1‡1;;jn1‡1;jn} si j_n50 et n‡P

j_p pair q_nKⁿ_{j1‡1;;jn1‡1;jn} si j_n>0 et n‡P

j_p impair K_jⁿ_{1‡1;;jn1‡1;jn 1} si jn0 et n‡P

jp impair 8>

>>

><

>>

>>

:

DEÂMONSTRATION. : Faisons la deÂmonstration dans le casiˆ0; le rai- sonnement est semblable pouriˆ1.

1. M^n;0M^0;n(s;t)6ˆ0 si s2 S_n; t2 S_n;9u2 S₀ tel que fs;ug est une areÃte et fu;tg aussi. Il existe un appartement contenant s; uet t.

Par unbonchoix de la chambre de Weyl fondamentale si sˆ

1 2; ;1

2

; uˆs‡(e₁; ;e_n) avec e_pˆ 1

2(u speÂcial).

S'il y a unnombre pair desepneÂgatifs, onse rameÁne par changement de signe avec dese_ptous positifs. S'il y a unnombre impair dese_pneÂgatifs, on se rameÁne par changement de signe et par permutation aÁ

1 2; ;1

2; 1 2

. Donc lesuspeÂciaux voisins dessont (1; ;1) ou (1; ;1;0). Maintenant lesudansS₀sont (1; ;1) sinest pair ou (1; ;1;0) sinest impair.

(a) Si n est pair, les t voisins de uˆ(1; ;1) dans Sn sont (1‡e₁; ;1‡e_n), avece_pˆ 1

2. Elles sont toutes apreÁs renormalisation infeÂrieures aÁ

3 2; ;3

2

ˆs‡(1; ;1). De plus il n' y a qu'un seuludeÂ- termine parsˆ

1 2; ;1

2

ettˆ 3

2; ;3 2

, donc :

dom(M^n;0M^0;n)ˆKⁿ_1;;1 sinest pair:

(b) Si n est impair, les t voisins de uˆ(1; ;1;0) dans S_n sont (1‡e₁; ;1‡e_{n 1};e_n), avec e_pˆ 1

2, don c tˆs‡ 1

2‡e₁; ;1

2‡e_{n 1};m_n

ouÁ m_n ˆ0 ou 1 et e_pˆ 1

2. Elles sont toutes apreÁs renormalisation infeÂrieures aÁ s‡(1; ;1; 1). De plus pour s et tˆs‡(1; ;1; 1) le sommet u est entieÁrement deÂ- termine par untel choix (u est dans l'enclos cl(s;t)). Donc :

dom(M^n;0M^0;n)ˆK_1;;ⁿ ₁ sinest impair:

2. K_jⁿ_1;;jnM^n;0(s;t)6ˆ0()s2 Sn; t2 S0;9u2 Sn tel queu ett sont voisins (doncs,uettsont dans un meÃme appartement) et par un bon choix de la chambre de Weyl fondamentale sisˆ

1 2; ;1

2

;uˆs‡(j₁; ;j_n) normaliseÂe alors lestpossibles sonts‡(j1‡e1; ;jn‡en) avecepˆ 1

2. (a) Si n‡P

jp est pair alors elles sont toutes apreÁs renormali- sationinfeÂrieures aÁ s‡

j₁‡1

2; ;j_n‡1 2

. De plus pour s et tˆs‡

j₁‡1

2; ;j_n‡1 2

, il n'y a qu'un seul u pour ce tel choix si j_n0 et plusieurs dans le cas ouÁj_n50 car pour ce cas un'est pas dans l'enclos de s ett. Don c :

dom(Kⁿ_j1;;jnM^n;0)ˆ Kⁿ_j

1‡¹₂;;jn‡¹₂; si n‡P

j_p est pair et j_n0 K_jⁿ

1‡¹₂;;jn‡¹₂; si n‡P

jp est pair et jn50 8<

:

ouÁ est uncoefficient positif que l'onva calculer. Pour s2 S_n; t2 S₀; tˆs‡

j₁‡1

2; ;j_{n 1}‡1

2; jj_nj ‡1 2

fixeÂs, onveut deÂterminer le nombre des uˆs‡(j1; ;jn 1; jjnj). Comme les racines a telles