Un TCL avec vitesse pour la marche aléatoire gauche sur le groupe affine de <span class="mathjax-formula">$\mathbf {R}^d$</span>

(1)

UN TCL AVEC VITESSE POUR LA MARCHE ALÉATOIRE GAUCHE SUR LE GROUPE AFFINE DE R

^d

A CLT WITH RATE OF CONVERGENCE FOR THE LEFT RANDOM WALK ON THE AFFINE GROUP ON R

^d

Christophe CUNY

IRMAR, Université de Rennes 1, campus de Beaulieu, 35042 Rennes Cedex, France Reçu le 7 août 2001, revisé le 21 mai 2002

RÉSUMÉ. – L’objectif de ce papier est d’obtenir un TCL avec vitesse pour la marche aléatoire gauche sur le groupe affine de R^d. Nous nous plaçons sous des hypothèses faibles ne permettant pas d’obtenir la quasi-compacité de l’opérateur de transition associé à la marche. La méthode consiste à se ramener au cas d’une martingale et à utiliser des résultats récents de C. Jan [5].

2003 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

ABSTRACT. – The purpose of this paper is to obtain a CLT with rate for the left random walk on the affine group of R^d. We make weak assumptions under which the operator associated with the random walk is not quasi-compact. The method consists in using recent results of C. Jan [5]

about the CLT for martingales.

2003 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS MSC: 50F05; 60G42; 60J10

1. Introduction

L’objectif de ce papier est d’obtenir un TCL avec vitesse pour la marche aléatoire gauche sur le groupe affine de R^d. Comme le font remarquer X. Milhaud et A. Raugi [8], ce cadre englobe le cas des processus auto-régressifs.

Notre étude est faite sous des hypothèses plus faibles que celles apparaissant dans la littérature sur ce thème (voir par exemple X. Milhaud et A. Raugi [8] ou H. Hennion et L. Hervé [3,4]). Comme nous le verrons par la suite, cette restriction impose l’utilisation d’une méthode différente et donne des vitesses inférieures. Notons que, lorsque les hypothèses de [8,3] ou [4] sont satisfaites, nos vitesses restent inférieures aux leurs.

E-mail address: cuny@maths.univ-rennes1.fr (C. Cuny).

(2)

Ainsi, notre résultat, quoique plus général, n’est pas optimal sous ces hypothèses particulières.

Ce travail entre dans le cadre d’une thèse effectuée sous la direction d’Albert Raugi que je remercie vivement ici.

1.1. Notations

SoitG l’ensemble :G=GLd(R)×R^d, où GLd(R) désigne le groupe des matrices inversibles d’ordred, et nous écrironsg=(A(g), b(g)), A(g)∈GLd(R), b(g)∈R^d.

Muni du produit :

g.g=A(g)A(g), b(g)+A(g)b(g).

Gest un groupe, appelé groupe affine sur R^d. Il opére de façon naturelle sur R^dpar : g·x=b(g)+A(g)x ∀(g, x)∈G×R^d.

Etant donnée une mesure de probabilité µsur les boréliens deG, nous considérons l’espace de probabilité défini par :

(,F,P)=G,B(G), µ^⊗^N^∗,

où B(G) désigne la tribu borélienne sur G. Nous notons (Yn)n1 les applications coordonnées et(Fn)n1la fitration naturelle associée. Pour toutxde R^dnous définissons les suites de variables aléatoires(Xn(x))n∈N et(Xn(x))n∈Npar :

X0(x)=X0(x)=x,

Xn(x)=Yn. . . Y1·x Xn(x)=Y1. . . Yn·x ∀n1.

Pour tout x de R^d, (Xn(x))n∈N est une chaîne de Markov sur R^d (appelée marche aléatoire gauche partant dex), de probabilité de transitionP définie par :

Pf (y)=

G

f (g·y) µ(dg) ∀y∈R^d.

Pour toutx∈R^d,(Yn, Xn−1(x))n1est une chaîne de Markov de probabilité de transition R définie par :

Rf (g, y)=

G

f (g, g·y) µ(dg) ∀(g, y)∈G×R^d.

1.2. Cadre du problème et résultats antérieurs

SoitF une fonction à valeurs dans R définie surG×R^d. Siνdésigne la mesure de probabilité stationnaire associée à la chaîne (Xn)n∈N (ν sera définie proprement par la

(3)

suite), nous notonsela moyenne deF suivante : e=

G×R^d

F (g, x) µ(dg) ν(dx).

Nous nous intéressons alors au comportement en loi de la suite : 1

σ√ n

Sn(x)−ne

n1

, (1)

où Sn(x) = ⁿk=1F ( Yk, Xk−1(x) ) pour tout n 1 et σ est une constante de normalisation que nous définirons par la suite.

Cette étude a déjà été faite sous diverses hypothèses :

– X. Milhaud et A. Raugi [8] ont prouvé que(Sn)n1 converge en loi vers une loi normale avec une vitesse en √¹

n lorsqueF est localement hölderienne et lorsqueµ vérifie les conditions suivantes, pour un réelα >0 :

G

e^b(g)^αµ(dg) <+∞ et A(·)<1 µ-p.s.

– H. Hennion et L. Hervé [3] établissent le même résultat pour des fonctions F uniformément lipshitziennes, bornées et lorsque µ est contractante en moyenne satisfaisant au même type d’hypothèse de moment. Puis, dans [4] ils traitent le cas de fonctions F localement hölderiennes et de mesure µ satisfaisant à

Gb(g)^αµ(dg) <+∞, pour un certain réel positifαdépendant deF.

Dans ces trois cas, la méthode utilisée est basée sur la quasi-compacité de l’opérateur P sur des espaces ad hoc. Cela permet d’étudier les noyaux de Fourier de P comme perturbations deP, en vue d’appliquer le théorème de Berry-Esseen. Notons que le gain entre [3] et [4] (passage d’un moment exponentiel à un moment polynomial) résulte d’un nouveau résultat de perturbation dû à G. Keller et C. Liverani [7]. Les vitesses obtenues dans [8,3] et [4] sont en 1/n^1/2. Lorsque l’opérateurP n’est pas quasi-compact, il semble que la seule méthode utilisée soit de comparer (Sn)n1 à une martingale et de s’appuyer sur les résultats obtenus dans ce cas. Nous allons donc procéder ainsi et utiliser les résultats récents de Christophe Jan ([5,6]). Alors, sous des hypothèses très faibles (régularité deF et moments deµ) nous obtenons des vitesses en 1/n^1/4, et sous des hypothèses plus restrictives nous obtenons des vitesses en 1/n^α pour toutα <1/2.

Notre résultat n’est donc pas optimal lorsqu’il est appliqué à des fonctions localement hölderiennes (hypothèse assumée dans [8,3] et [4]). Nous donnerons un exemple de fonction satisfaisant à nos conditions de régularité mais qui n’est hölderienne d’aucun ordre.

1.3. Hypothèses

Dans toute la suite, nous supposons que l’hypothèse de contraction suivante est satisfaite :

(4)

Il existe sur une norme·sur R^dtelle que, si l’on note de même la norme d’opérateur associée sur GLd(R):

A(.)<1 µ-p.s. (2)

Notons que nous avons alors : 0θ=exp

G

logA(g)µ(dg) <1, (3) oùθ=0 si_GlogA(g)µ(dg)= −∞.

Siδest un réel positif, nous disons queµadmet un moment d’ordreδlorsque

G

b(g)^δµ(dg) <+∞. (4)

Soitτ un réel positif. Nous disons qu’une fonctionF surG×R^d vérifie l’hypothèse (Hτ)s’il existe une suite de réels positifs(βn)n1, une fonction mesurableηdeGdans [1,+∞[, un réelτ >0 et un réelρ (θ < ρ <1) tels que les conditions suivantes soient réalisées :

(i) sup

x∈R^d

|F (g, x)|

1+ x^τ η(g) ∀g∈G, (ii) sup

x−yρⁿ

|F (g, x)−F (g, y)|

1+ x^τ η(g)βn ∀g∈G,

(iii)

m1

mβm<+∞, (iv)

G

η³(g) µ(dg) <+∞,

(v) Il n’existe pas de fonctionsψsurG×R^d telles que ; F (g, x)−e=ψ(x)−ψ(g·x) µ⊗ν-p.s.

oùe=_G_×_R^dF (g, x) µ(dg) ν(dx).

Nous disons que F vérifie l’hypothèse (H^∞_τ ) si de plus les conditions suivantes sont réalisées :

(iii)

m1

m^pβm<+∞ ∀p0, (iv)

G

η(g)^pµ(dg) <+∞ ∀p0.

Remarques. – Notons que dans [8,3] et [4] les fonctions F ont une régularité hölderienne alors que nous ne supposons ici qu’une régularité en terme de variation. Par exemple la suite(βn=ε^(logⁿ⁾^u)n1(pour des réelsεetutels queε <1 etu >1) vérifie la condition iii)de l’hypothèse(H^∞_τ )alors qu’une régularité hölderienne correspondrait à (βn=ε^nt)n1(pour des réelsεetttels queε <1 ett >0). Concrètement, dans le cas du groupe affine réelG1la fonctionF définie surG1×R parF (g, x)=exp(−(−log|x|)^α)

(5)

pour −1x 1 et F (g, x)=1 sinon, n’est hölderienne d’aucun ordre en 0 mais satisfait à(H₀^∞), avecβn=exp(−(−nlogρ)^α). Notons que la régularité demandée dans l’hypothèse(Hτ)est très faible (pour tout réelτ).

Dans [8] et [3], la mesureµadmet un moment exponentiel. Nous ne demandons ici que des moments polynomiaux de tous ordres. Dans [4], il est seulement supposé queµ admet un moment polynomial d’un ordre spécifié.

La conditionv)assure la non dégénérescence dans le TCL (i.e. la stricte positivité de la constanteσ apparaissant dans (1)).

Espaces de travail. Nous allons définir des espaces fonctionnels, adaptés à la fonctionF vérifiant l’hypothèse(Hτ), et ayant des propriétés de stabilité parP. Soientβ un réel strictement positif ethune fonction continue sur R^d à valeurs réelles, nous notons :

|h|β =sup

x∈R^d

|h(x)|

1+ x^β.

Alors |.|β définit une norme sur l’ensemble des fonctions continues sur R^d et nous désignons par Eβ l’ensemble des fonctions continues sur R^d de norme |.|β finie.

L’ensemble(Eβ,|.|β)est un espace de Banach.

Soitρ le réel intervenant dans l’hypothèse (Hτ). Pour toute fonctionh deEβ, nous définissons :

mn,β(h)= sup

x−yρⁿ

|h(x)−h(y)|

1+ x^β ∀n1.

2. Enoncé des résultats Nous désirons établir les deux théorèmes suivants :

THÉORÈME 1. – SoitF définie surG×R^d vérifiant l’hypothèse (Hτ)pour un réel τ >0. Siµadmet un moment d’ordre 3δτ pour un réelδ >1 alors il existeσ >0 et une constanteC >0 tels que :

sup

t∈R

P

Sn(x)−ne σ√

n t

− 1

√2π t

−∞

e⁻^u

2

2 du

Cn⁻^1/41+ x^δτ.

THÉORÈME 2. – SoitF définie sur G×R^d vérifiant l’hypothèse (H^∞_τ ). Siµadmet des moments de tout ordre alors il existeσ >0 tel que pour toutα < ¹₂ et toutδ >1, il existeC tel que :

sup

t∈R

P

Sn(x)−ne σ√

n t

− 1

√2π t

−∞

e⁻^u

2

2 du

Cn⁻^α1+ x^1−2α^2δτα. Définissons formellement le potentielUassocié àP :U=n0Pⁿ.

(6)

Lorsque µ admet un moment exponentiel et F est Hölderienne, nous pouvons construire ([8,3]) des espaces fonctionnels stables par P et sur lesquels U est bien défini (nous avons convergence normale de la série définissant U sur ces espaces :

n1Pⁿ <+∞). Cela permet d’inverser l’opérateur I −P et d’appliquer des résultats de pertubations des opérateurs (pour étudier la fonction caractéristique de (Sn)n1en vue d’appliquer le théorème de Berry–Esseen).

Sous les hypothèses(Hτ), sihest une fonction de l’espaceEβ défini précédemment, nous pouvons définir U (h)(x)pour toutx de R^d, mais a priori, la fonction U (h)n’est pas dans Eβ mais dans Eδβ pour tout δ >1. Il n’est donc pas possible d’appliquer la méthode précédente. Cependant, la convergence du potentiel, même dans un espace plus grand, nous permettra d’écrire (Sn)n1comme somme d’une martingale et d’un terme que nous savons maîtriser. Nous appliquerons alors des résultats de C. Jan ([5,6]), dont nous rappelons l’énoncé ci-dessous.

2.1. Les théorèmes de C. Jan

•Soit(Xn)n1un processus stationnaire sur un espace de probabilité(, F, (Fn)n1, P)tel que :

– E[| X1|³]<+∞, E[ X2|F1] =0 etE[ X₁²] =1.

– _p₁E[ X²_p|F1] −1³

2 <+∞. Alors nous avons le :

THÉORÈME 3 (C. Jan, [5]). – Sous les conditions précédentes, il existe une constant C telle que :

sup

t∈R

P

1

√n(X1+ · · · +Xn)t

− 1

√2π t

−∞

e⁻^u

2

2 du

C 1 n^1/4.

Ce résultat nous permettra d’établir le théorème 1. Notons que ce résultat concerne des processus ayant un moment cubique et nous permet d’obtenir une vitesse de convergence dans le TCL en n⁻^1/4. L’utilisation des résultats de E. Haeusler [2] donneraient seulement des vitesses arbitrairement proches den⁻^1/4pour des processus admettant des moments de tout ordre.

•Soit(Xn)n1un processus sur un espace de probabilité(, F, (Fn)n1,P)tel que : – Pour tous entiersn1 :

E X_n²=1 et E Xn+1|Fn

=0.

– Pour toutp >0, la suite(Xn)n1est bornée dansL^p().

– Pour tout r-upletl=(l1, . . . , lr), la suite(φp(l))p1, définie par φp(l)= sup

{k∈N^∗:pp1···pr}

E(X_k^l¹₊_p₁. . .X^l_k^r₊_p_r |Fk)−E(X^l_k¹₊_p₁. . .X_k^l^r₊_p_r)₂ décroît plus vite que toute puissance de _p¹.

(7)

Alors nous avons le :

THÉORÈME 4 (C. Jan, [6]). – Sous les hypothèses précédentes, nous avons

sup

t∈R

P

1

√n(X1+ · · · +Xn)t

− 1

√2π t

−∞

e⁻^u

2

2 du

An

√n

oùAn=o(n^ε)pour toutε >0.

Ce résultat nous permettra d’établir le théorème 2. Notons que si(Xn)n1 est borné dansL^∞() et si la suite(φp)p1(définie dansL^∞() au lieu deL²()) vérifie

p1

pφp(l) <+∞ ∀l (5)

alors le théorème 4 est vrai avec une vitesse en n⁻^1/2d’après une généralisation de C.

Jan [6] d’un résultat de E. Rio [9]. Cependant, même si nous considérons des fonctionsF bornées, le processus(Xn)n1que nous serons amené à considérer n’est pas borné dans L^∞() mais dansL^δ(), pour tout δ >0. Aussi ne pouvons-nous établir la convergence de (5) que lorsque(pφp(l))p1est définie dansL^δ() et non dansL^∞().

3. Résultats auxiliaires

Nous ferons la preuve des théorèmes 1 et 2 au paragraphe suivant. Nous allons tout d’abord établir une série de lemmes.

3.1. Résultats relatifs aux suites(Xn)n∈Net(Xn)n∈N

Nous pouvons écrire :

Xn(x)=A(Y1) . . . A(Yn)x+Bn ∀(n, x)∈N×R^d, avec B0=0 et Bn=

n

k=0

A(Y1) . . . A(Yk−1)B(Yk) ∀n1.

LEMME 1. – Supposons queµadmet un moment d’ordrep1, alors la variable

Z=

n∈N

A(Y1). . .A(Yn)b(Yn+1) est finieP-p.s. et admet un moment d’ordrep.

En particulier la suite(Bn)n∈N convergeP-p.s. vers une variable aléatoireB_∞de loi νetνestP-invariante.

Remarque. – Dire queνestP-invariante, revient à dire queν=µ∗νoù le symbole

∗désigne la convolution provenant de l’action deGsur R^d.

Démonstration. – La preuve est immédiate d’après l’hypothèse de contraction (2) et la loi forte des grands nombres. ✷

(8)

Pour tout réel α, θ < α <1 (où θ est le réel défini en (3)), nous considérons les boréliens desuivants :

8n(α)=A(Y1) . . . A(Yn)αⁿ ∀n1 et 9n(α)=

kn

A(Y1) . . . A(Yk)b(Yk+1)αⁿ

∀n1.

Nous notons aussi, pour tout entiern1 :

γn(α)=P8n(α) et λn(α)=P9n(α).

Nous pouvons préciser les convergences du lemme précédent grâce au lemme suivant : LEMME 2. – Siµadmet un moment d’ordre 1 alors, pour toutα,θ < α <1, les suites (γn(α))n1et(λn(α))n1convergent exponentiellement vite vers 0.

Démonstration. – La convergence exponentielle de (γn)n1 découle d’un résultat classique de grande déviation (voir par exemple [1] p. 70).

La convergence exponentielle de(λn)n1résulte alors aisément du premier point.

3.2. Résultats relatifs à l’opérateurP

LEMME 3. – Soitβ un réel positif. Siµ admet un moment d’ordreδβ, pour un réel δ >1, alors il existe un réelε, 0< ε <1 et des constantesC,C etC tels que, pour toute fonctionhdeEβ et tous entiers naturelsn, k1, nous ayons :

(i) |Pⁿh|βC|h|β.

(ii) |Pⁿh−ν(h)|δβC(mn,β(h)+εⁿ|h|β).

(iii) mk,β(Pⁿh)C(mn+k,β(h)+εⁿmk,β(h)).

Si de plusF est une fonction surG×R^d, vérifiant(Hβ)et siη^q estµ-intégrable pour un réel 1q < δ, il existe une constanteDtelle que

(iv) sup_n₁E[|Sn(x)−Sn(y)|^q]D(1+(x + y)^δβ)∀(x, y)∈R^d.

Remarques. – Le premier point du lemme signifie l’équicontinuité de(Pⁿ)n1surEβ. Le deuxième point permet, pour h régulière dans Eβ, de montrer que le potentiel associé converge dansEδβ et le troisième point donne la régularité de ce potentiel.

Le quatrième point nous permettra de nous ramener à établir les théorèmes 1 et 2 sous la probabilitéPν.

Démonstration. – Soientx un réel,nun entier naturel ethune fonction deEβ. Dans la suite nous utiliserons les majorations suivantes, pour tout réel t >0, toutx de R^d et P-p.s. toutωde(nous omettrons d’écrire ωpour alléger l’écriture, la variableZ est définie au lemme 1) :

1+ Xn(x)^t

1+ x^t 1+max(1,2^t⁻¹)(A(Y1) . . . A(Yn)x^t+Z^t) 1+ x^t

2^t1+ x^t +Z^t

1+ x^t carA(.)<1 µ-p.s.

2^t1+Z^t. (6)

(9)

Nous en déduisons :

|h(Xn(x))−h(B_∞)| 1+ x^t |h|t

(1+ Xn(x)^t)+(1+ B_∞^t) 1+ x^t

2^t⁺¹1+Z^t|h|t. (7)

Montrons le premier point. D’après (6), nous avons :

|Pⁿh(x)|

1+ x^β =|Eh(Xn(x))| 1+ x^β |h|βE

1+ Xn(x)^β 1+ x^β

2^β|h|βE1+Z^β.

Montrons le deuxième point. Soitδ >1 tel queµait un moment d’ordreδβ, nous avons :

|Pⁿh(x)−ν(h)|

1+ x^δβ =|E[h(Xˆn(x))−h(B_∞)]|

1+ x^δβ . Fixons un réelρtel queθ < ρ< ρ.

• Supposons dans un premier temps que x et n vérifient x(_ρ^ρ)ⁿ1. Alors, d’après (7), nous obtenons :

|E[h(Xn(x))−h(B_∞)]|

1+ x^δβ 1+ x^β 1+ x^δβ

|E[h(Xˆn(x))−h(B_∞)]|

1+ x^β

2x⁽¹⁻^δ)β|E[h(Xn(x))−h(B_∞)]|

1+ x^β 2^β⁺¹

ρ ρ

β(δ−1)n

|h|βE1+Z^β.

•Supposons dans un deuxième temps quexetnvérifientx(_ρ^ρ)ⁿ. Nous avons : h(Xn(x))−h(B_∞)h(Xn(x))−h(Bn)+h(Bn)−h(B_∞).

Or, sur8_n^c(ρ)9^c_n(ρ), nous avons :

Xn(x)−Bnρⁿ et Bn−B_∞ρⁿ.

D’après (6), nous obtenons que sur8_n^c(ρ)9^c_n(ρ)la majoration suivante est vérifiée :

|h(Xn(x))−h(B_∞)|

1+ x^δβ 2mn,β(h)

1+ Bn^β 1+ x^δβ

2mn,β(h)1+Z^β.

D’autre part, si s est tel que 1/s+1/δ=1, nous avons, d’après les inégalités de Hölder :

(10)

|E(h(Xn(x))−h(B_∞))18n(ρ))|

1+ x^δβ γ_n^1/s(ρ)

Eh(Xn(x))−h(B_∞) 1+ x^β

^δ1/δ

2^β⁺¹γ_n^1/s(ρ)E1+Z^β^δ^1/δ|h|β

|E((h(Xn(x))−h(B_∞))19n(ρ))|

1+ x^δβ λ^1/s_n (ρ)

Eh(Xn(x))−h(B_∞) 1+ x^β

^δ1/δ

2^β⁺¹λ^1/s_n (ρ)E1+Z^β^δ^1/δ|h|β.

Ce qui termine la preuve du deuxième point, d’après les lemmes 1 et 2 puisqueµadmet un moment d’ordreδβ.

Montrons le troisième point. Soientnetkdes entiers naturels,xety des éléments de R^d tels quex−yρ^k ethune fonction deEβ. Nous avons :

|Pⁿh(x)−Pⁿh(y)|

1+ x^β

8n

|h(Xn(x))−h(Xn(y))| 1+ x^β dP+

8_n^c

|h(Xn(x))−h(Xn(y))|

1+ x^β dP

mk(h)γ_n^1/s

E

1+ Xn(x)^β 1+ x^β

δ1/δ

+mn+k(h)E

1+ Xn(x)^β 1+ x^β

Aγ_n^1/smk(h)+Bmn+k(h).

Pour des constantes, AetBbien choisies. Ce qui termine la preuve du troisième point.

Montrons le quatrième point. Il suffit d’établir que

n1

FYn,Xn−1(x)−FYn,Xn−1(y)_Lq D1+(x + y)^δβ/q.

Soitn1. En procédant comme dans la preuve du deuxième point (considérant les cas x + y_ρ^ρn

etx + y_ρ^ρn

) nous montrons qu’il existeε, 0< ε <1 tel que : E

|F (Yn,Xn−1(x))−F (Yn,Xn−1(y))|^q (1+ x + y)^δβ

Dβn+εⁿ^qE1+Z^δβ

G

η^q(g) µ(dg) ∀(x, y)∈R^d.

Ce qui achève la preuve puisque la série (βn)n1 converge et µ admet un moment d’ordreδβ. ✷

Le lemme suivant concerne directement la fonctionF sur laquelle porte le TCL. Nous rappelons que nous désignons parR la probabilité de transition de la chaîne de Markov ((Yn, Xn−1(x)))n1. SoitH la fonction continue définie par :

H (x)=

G

F (g, x) µ(dg) ∀x∈R^d.

(11)

Nous rappelons aussi queedésigne la moyenne suivante deH : e=

R^d

H (x) ν(dx).

Nous avons le lemme :

LEMME 4. – SoitF définie surG×R^dvérifiant(Hτ)pour un réelτ >0. Siµadmet un moment d’ordre δτ pour un réel δ >1 alors il existe une suite positive (βˆn)n1 de série convergente et des constantesKetLtelles que :

(i) F (g, x)−e=(I−R)f (g, x) ∀(g, x)∈G×R^d. (ii) sup

x∈R^d

|f (g, x)|

1+ x^δτ L(η(g)+ b(g)^δτ).

(iii) sup

x−yρⁿ

|f (g, x)−f (g, y)|

1+ x^τ Kβˆn

η(g)+ b(g)^τ

oùβˆnknβk, pour toutn1.

Remarques. – SiF vérifie(Hτ)alors la série de terme général(βˆn)n1 converge. Si F vérifie(H^∞_τ ), alors pour toutp >0 la série de terme général(n^pβˆn)n1converge.

Démonstration. – CommeF vérifie l’hypothèse(Hτ), doncH est une fonction deEτ

et vérifie :

mn,τ(H )βn

G

η(g) µ(dg) ∀n1.

D’après le lemme 3 :

PⁿH−e_δτ Cmn,τ(H )+εⁿ|H|τ

∀n1 et mk,τ

PⁿH−eCmn+k(H )+εⁿmk,τ(H ) ∀n, k1.

D’après le point (iii) de l’hypothèse(Hτ), la série de terme généralβnconverge. Donc la série_n₁(Pⁿ(H )−e)converge normalement dansEδτ vers une fonctionhvérifiant :

|h|δτL

n1

βn+εⁿ

et mk,τ(h)K

n1

βn+k+βk

n1

εⁿ

, pour des constantesLetK convenables.

Remarquons que :

n1

RⁿF (g, x)−e=

n0

PⁿH (g·x)−e.

Posons donc :

f (g, x)=F (g, x)−e+h(g·x).

(12)

D’après la continuité deP surEδβ,f vérifie les conditions du lemme.

Nous terminons par un lemme garantissant que la loi normale limite de(Sn)n1n’est pas dégénérée. Posonsσ²=g×R^dR(f²(g, x))−(Rf (g, x))²µ(dg) ν(dx).

LEMME 5. – Lorsque F vérifie le point v) de l’hypothèse (Hτ), σ est strictement positif.

Démonstration. – Supposons donc queσ soit nul. Commeµ∗ν=νdonc : σ²=

G×R^d

f²(g, x) µ(dg) ν(dx)−

R^d

ν(dx)

G

f (g, x) µ(dg) 2

=

G×R^d

f (g, x)−

G

f (g, x) µ(dg) 2

µ(dg) ν(dx).

Commeσ est nul, donc, pourµ⊗ν-presque tout(g, x), nous avons : f (g, x)=

G

f (g, x) µ(dg).

D’où, si nous posons ψ(.)=Gf (g, .) µ(dg), nous avons, pourµ⊗ν-presque tout (g, x):

F (g, x)−e=(I−R)f (g, x)

=f (g, x)−

G

f (g, g·x) µ(dg)

=ψ(x)−ψ(g·x).

Ce qui ne peut être par hypothèse. ✷

4. Preuve des théorèmes 1 et 2

Pour alléger les calculs, nous supposons dorénavant vérifiées les conditions de centrage et de normalisation suivantes :

e=0 et σ=1.

La deuxième condition est légitime puisque, d’après le lemme 5, σ est strictement positif.

4.1. Réduction à l’étude d’une martingale

Rappelons que R désigne la probabilité de transition de la chaîne de Markov (Yn, Xn−1(x))n1 et que, d’après le lemme 4, il existe une fonction continue f sur G×R^d telle que :

F (g, x)=(I−R)f (g, x) ∀(g, x)∈G×R^d.

(13)

Nous avons alors, pour toutn1 et toutx∈R^d: Sn(x)=

n

k=1

FYk, Xk−1(x)

= n

k=1

fYk, Xk−1(x)−RfYk, Xk−1(x)

=f (Y1, x)−fYn, Xn−1(x)+

n−1

k=1

fYk+1, Xk(x)−RfYk, Xk−1(x)

=Un(x)+Tn(x).

Par définition de R, nous constatons que (Tn(x))n1 est une(Fn)n1-martingale pour tout x de R^d. Nous ne pouvons cependant pas appliquer directement les théorèmes 3 et 4 car nous n’avons pas un processus stationnaire (hypothèse du théorème 3) et nous ne pouvons pas estimer directement les quantités ϕp(l)intervenant dans les hypothèses du théorème 4. Nous allons donc nous placer dans un premier temps sous la probabilité stationnaireνet nous utiliserons le pointiv)du lemme 3 pour conclure.

Considérons donc l’espace de probabilité suivant :

(, F, P) =R^d×, BR^d⊗F, ν⊗P. Nous choisissons comme processus (Xn)n1, le processus :

Xn=fYn+1, Xn(.)−RfYn, Xn−1(.) ∀n1.

Nous prenons(Fn=σ (X0, . . . , Xn+1))n1comme filtration.

Nous allons établir que sous l’hypothèse (Hτ)(resp. sous l’hypothèse (H^∞_τ )) le proces- sus (Xn)n1 vérifie les conditons d’application du théorème 3 (resp. du théorème 4).

Remarquons que le processus(Yn+1, Yn, Xn−1(.))n1 est une chaîne de Markov de pro- babilité de transitionQdéfinie par :

Qψ(g, g, x)=

G

ψ(y, g, g·x) µ(dy) ∀(g, g, x)∈G²×R^d.

Remarquons aussi que, si φ est la fonction définie sur G²×R^d par φ(g, g, x)= f (g, g·x)−Rf (g, x), pour tout(g, g, x)deG²×R^d, alorsXn=φ(Yn+1, Yn, Xn−1(.)) pour toutn1.

4.2. Preuve du théorème 1

SoitF définie surG×R^d, vérifiant(Hτ)pour un réelτ >0. Supposons queµadmet un moment d’ordre 3δ²τ pour un réelδ >1.

D’après le lemme 4 (et commeµadmet un moment d’ordreδτ), il existe une constante C telle que :

(14)

φY2, Y1, X0(.)Cη(Y2)+ b(Y2)^δτ1+ X1(.)^δτ +1+ X1(.)^δτ∈L³(, P)

d’après l’hypothèse(Hτ).

Le processus(Xn)n1est clairement stationnaire et vérifie : E X2|F1

=0 et E X²₁=1 d’après nos hypothèses de centrage et de normalisation.

Montrons la convergence de la série :

p1

E X²_p|F1

−13

2 <+∞. (8)

Soitχ la fonction définie sur R^dpar : χ (.)=

G²

φ²(g, g, .) µ(dg) µ(dg).

D’après le lemme 4,χ est dansE2δτ et il existe une constanteC telle que :

x−supyρⁿ

χ (x)−χ (y) 1+ x^2δτ Cβˆn

où(βˆn)n1est la suite définie au point (iii) du théorème 4.

D’après le lemme 3 et comme µ admet un moment d’ordre 2δ²τ, il existe une constanteCtelle que pour toutp1 :

P^pχ−ν(χ )_2δ2τ Cβˆp+ε^p.

De plus, d’après notre hypothèse de normalisation et comme ν estµ-invariante, nous avonsν(χ )=1.

D’autre part, pour tout entierp3, nous avons : E X_p²|F1

=Q^p⁻¹φ²(Y2, Y1, .)=P^p⁻³χ (X2).

Donc, pour tout entierp3 E X_p²|F1

−13

2 Cβˆp−3+ε^p⁻³1+ X2^2δ²^τ_3/2.

Commeµadmet un moment d’ordre 3δ²τ et comme la série(βˆp)p1converge donc la série (8) converge.

D’après le théorème 3, nous obtenons alors

sup

t∈R

Pν

1

√nTn(.)t

− 1

√2π t

−∞

e⁻^u

2

2 du

Cn⁻^1/4. (9)