A NNALES DE L ’ INSTITUT F OURIER
A LAIN D UFRESNOY
Sur l’équation de Monge-Ampère complexe dans la boule de C
nAnnales de l’institut Fourier, tome 39, no3 (1989), p. 773-775
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Ann. Inst. Fourier, Grenoble 39, 3 (1989), 773-775
SUR rEQUATION DE MONGE-AMPERE COMPLEXE DANS LA BOULE DE C
71par Alain DUFRESNOY
Dans la suite, B désigne la boule unité de C71 et QB sa frontière.
Dans [l], E. Bedford et B.A. Taylor montrent, entre autres résultats, que si ip ç C^^^QB) , et u est la solution du problème de Dirichlet
f (d^u)71 = 0 dans B
\U\9B = ^>
alors u ç. (71'1(-B) et le coefficient de Lipschitz des dérivées premières de u croît au plus comme le carré de l'inverse de la distance au bord et signalent qu'en adaptant leur démonstration, il est possible de montrer que ce coefficient croît au plus comme l'inverse de la distance au bord.
Nous nous proposons de donner ici une démonstration simple de ce dernier résultat; cette démonstration est largement inspirée d'une simplifi- cation de la démonstration de [1] que m'a communiquée J.P. Demailly.
Soit C e C71 tel que |C| = 1 et A e R avec |A| < 1 ; si on pose a = AC , on définit un automorphisme analytique Fa, de B par
r , ( . P a ^ - a + O - l a l2)1/2^ )
^aW == —————————-———-,———v—————————
l - ( ^ a )
où (•,•} désigne le produit hermitien usuel dans C71 , Pa la projection orthogonale de C71 sur C{a} et Ça = Ido - Pa (cf. [2] par exemple).
Un calcul facile montre que
F^(z)=z-a+{z,a}z+0(\a\2) Mots-clés : Monge-Ampère complexe - Problème de Dirichlet.
Classification A.M.S. : 32F05.
774 ALAIN DUFRESNOY
où 0(|a|2) est uniforme pour z appartenant à un voisinage de B\ en fait, puisque Ç, est un point fixe de Fa, , on a
Fa(z) = z - a + {z, a)z + \z - C|0(|a|2) ou encore, en remplaçant a par sa valeur,
Fa{z) = z + A [{z - C, Qz - (C - z)} + \z - C|0(A2) . On en déduit que
I ^ - ^ C ^ - C I A
\Fa(z) -z\> C^\z - Ç|A si Re (^C) > 0 .
Quitte à échanger Ç en —^ , on peut supposer que cette dernière condition est satisfaite, ce que nous ferons dans la suite.
Remarquons qu'il suffit de démontrer le résultat pour y? ç. C^ÇQB) et de passer à la limite; soit donc (p ç C<2(9B) à valeurs réelles; il existe une application R-linéaire L : C71 —>• R telle que f) = (p — L ait une différentielle nulle au point Ç et dont la norme (comme application linéaire) vérifie ||L[| < ||(^||i où [| \\k désigne la norme dans Ck .
Nous nous proposons tout d'abord de majorer l'expression
^ o Fa(z) + <? o F-a(z) - 2ip(z) pour z e ÔB .
Si on désigne par F^^(z) le point de 9B tel que z , Fa(z) et F*^) soient sur un grand cercle de 9B et z au milieu de [Fa(z),F^^(z)} , ,on a d'une part
^oF,(^)+^oF^^)-2^)<C7lA2|^-C|2||^||2
et d'autre part, du fait que la différentielle de f en Ç est nulle et que la distance de F-a(z) et F^^(z) à C est comparable à celle de z à < ,
(p 0 F,a{z) - (? 0 F^(Z) < C^a(z) - F^(Z)\ \Z - C| M\2
<C^-C|0(A2)^- Cl ll^lb
<C^\z-^\\^.
On obtient donc, en faisant la somme
^oF,^)+(?oF_,(^<2^)+(C'l4-G3)A2|^-C|2||^||2.
Désignons par u la solution du problème de Dirichlet f (dd^ = 0 dans B
1 U\QB = Ï '
EQUATION DE MONGE-AMPERE 775
Si on remarque que \z-Ç\2 est majoré sur ÔB par un multiple de 1-Re {z, <}
et que cette dernière fonction est pluriharmonique dans B , on obtient u o Fa(z) + u o F,a(z) < 2u(z) + C^(\ - Re (^ C))IMl2 , z e B .
Soit, en remarquant que u = u + L
uoFa(z)+uoF,a{z)-2u(z) < C^\\l-Re (z, OIMb + C,\z - ClA'IMIi
< - \ 2 | . ^ | 2 ^ Yl_ _ _R e( ^ 0 , _ _l^ 1 1 il
^ A | . - C | C 7 ^ ^ _ ^ + ^ j M l 2 On vérifie facilement que ^.^^ < 1 donc
o^/
U 0 Fa(z) + H 0 F,a(z) - 2u(z) < \^\Z - C|2 —————M2 . Z C B .
Si on remarque que |Fa(^)-^| est minoré, pour a petit, par un multiple de \\z — Ç\ et en utilisant que \z — Ç\ > d(z,9B) on obtient l'inégalité
u o Fa(z) + u o F,a(z) - 2u(z) < M\Fa(z) - z\2 ————\\^ , z ç B . d(z,ôB)
On en déduit qu'il existe une constante K telle que
u(z + h) -+- u(z - h) - 2u(z) < 1 pour h assez petit d[z, ÔB)
et on conclut alors comme dans [1], pp. 34-35.
BIBLIOGRAPHIE
[1] E. BEDFORD & B.A. TAYLOR, Thé Dirichlet problem for a complex Monge-Ampère équation, Invent. Math., 37(1976), 1-44.
[2] W. RUDIN, Function theory in thé unit Bail of C", Grundiehren der mathemati- schen Wissenschaften, 241, Springer-Verlag.
Manuscrit reçu le 10 octobre 1988.
Alain DUFRESNOY, Institut Fourier
Laboratoire de Mathématiques associé au CNRS
Université de Grenoble 1 B.P. 74
38402 St-Martin d'Hères Cedex (France).
