UNIVERSITE MOHAMMED V Faculté des sciences, Rabat Année 2019–2020: SMA4/M21 Calcul intégrales et formes di¤érentielles.
DEVOIR 5
RATTRAPGE-2017-2018 . (Rendre avant 03 juin 2020)
Exercice 1.
Démontrer que:R1 0
ln(t) 1+t2dt=
X1 n=0
( 1)n+1 (2n+1)2:
Exercice 2 .
On considère la fonctionF dé…nie sur] 1;1[;par : F(x) =R1
0 t 1 ln(t)txdt:
1) Montrer queF est dé…nie et de classeC1 sur] 1;1[ 2)CalculerF0(x);pour toutx > 1:
3)Montrer quelimx!1F(x) = 0:
4)Donner l’expression de F(x)pour toutx > 1 et en déduire queR1
0 t 1
ln(t)dt= ln(2):
Exercice 3.
1)
Soient <2 etD le domaine dé…ni par:D= (x; y; z)2R3= 0< x2+y2 z 1 :
Calculer :
ZZZ
D x2
(x2+y2) dxdydz:
2)Soit
V = (x; y; z)2R3= x 0; y 0; x+y z 1 :
DessinerV et calculer son volume.
Exercice 4 .
Soit! la forme di¤érentielle dé…nie surR2par :
!(x; y) = (y2 x2)dx 2xydy:
1
1)
!est-elle fermée? exacte?2
) On considère les deux pointsO(0;0)et A( ;0):a)CalculerI=R
1! et J=R
2! où 1 est le segmentOA
et où 2 est le chemin allant deA àO et d’équationy= sin(x);0 x : ComparerI etJ:Conclure:
b)Retrouver la valeur deI+J par la formule de Green-Riemann.
3)Véri…er quef(x; y) =(x2+y12)2 est un facteur intégrant de!surR2n f(0;0)g et trouver une primitive de =f !surR2n f(0;0)g:
4)SoitC le cercle de rayonR et de centreO(0;0):
DéterminerR
C :
2
