EFFETS D'UN OBSTACLE PARALLÉLÉPIPÉDIQUE SUR LA PROPAGATION DE LA HOULE

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M A I 1960 -IM" 3

LA HOUILLE BLANCHE

²⁴⁷

Effets d'un obstacle parailélépipédique sur la propagation de la houle

The effects of a rectangular obstacle on w a v e propagation

PAR Iv. T A K A N O

A T T A C H É D E R E C H E R C H E S D U C.N.H.S.

LARORATOIRES D E M É C A N I Q U E DES FLUIDES D E I.'E.N.S.E.H.R. D E G R E N O B L E

Le présent mémoire est consacré à l'étude théo- rique, dans le cadre de l'approximation linéaire, de deux phénomènes, voisins au point de vue analytique, mais distincts au point de vue phy- sique. Considérons un canal à houle ouvert, à fond horizontal, à section rectangulaire. Un obstacle parallélépipédique S de largeur égale à celle du canal, à hases horizontales, peut être utilisé de deux manières pour troubler la propagation de la houle plane.

1" S est partiellement immergé dans le liquide.

La houle incidente subit une réflexion partielle sur la face amont de S, traverse en charge l'es- pace compris entre le fond du canal et la base

intérieure de S, puis réapparaît à l'aval de S sous forme de houle transmise.

2° S est complètement immergé : la houle incidente passe par dessus le seuil ainsi cons- titué, engendrant au-dessus de S et à l'aval, une agitation périodique de liquide qui peut être fort complexe.

Notre travail se trouve ainsi naturellement divisé en deux parties. Pour la commodité du lecteur, nous les avons rédigées d'une manière indépendante l'une de l'autre.

This article is devoted to a theoretical treat- ment by means of linear approximations of two analytically similar but physically distinct phenomena. Consider an open wave flume with a horizontal bottom. A rectangular ob- stacle S, the top and bottom of which are parallel, and whose width is the same as that of the flume, can disturb two-dimensional wave propagation in two ways :

1° S is partially immersed in the liquid. The incident waves are partially reflected by the upstream face of S, pass between the lower face of S and the bottom of the flume under pressure, and reappear downstream as trans- mitted waves.

2° S is completely submerged. The incident waves pass over the sill formed by S and set up a periodic disturbance, which may be very complex, over and downstream of S.

It is thus seen that the work had to be done in two phases and the author has presented these parts separately for the reader's convenience.

P R E M I È R E P A R T I E

E F F E T D E P A S S A G E D ' U N E H O U L E S O U S L ' O B S T A C L E

C H A P I T R E I. — N A T U R E D U P R O B L È M E

I. — D É F I N I T I O N S E T H Y P O T H È S E S

Considérons un canal indéfini ouvert, à fond lisse et horizontal, à section droite rectangulaire. U n e couche de liquide parfait, pesant, de hauteur h, au repos, emplit ce canal. Imaginons maintenant qu'on dispose dans le liquide u n obstacle S en forme de parallélépipède rectangle, de longueur /, de largeur égale à celle du canal et dont la base, supposée horizontale, soit pla- cée à la cote 7i⁰ par rapport au fond. L e schéma

de l'installation ainsi que les axes de coordon- nées, qui permettent de repérer les éléments que l'on vient de définir, sont représentés par la fi- gure 1, qui donne la coupe de l'ensemble par le plan de symétrie vertical.

Ceci étant, supposons qu'une houle irrotalion- nelle, venant de l'infini négatif, agite le liquide.

Nous nous proposons d'étudier l'ensemble du mouvement dans le canal, de préciser, notam-

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1960037

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L A H O U I L L E B L A N C H E № 3 - M A I 1960

FlG. 1

ment, les effets de réflexion de la houle incidente, de déterminer le m o u v e m e n t du liquide sous l'obstacle et à l'aval de celui-ci. C'est le problème étudié par E.O. Macagno dans [1].

Les mouvements du fluide étant supposés de faible amplitude, les équations de l'hydrodynamique sont linéarisées. Cette approximation ne semble pas trop restrictive. O n admet généra- lement, en effet, que l'influence des termes d'ordre supérieur au premier (par rapport à l'ampli- tude a), est assez faible tant que la cambrure de l'onde ne dépasse pas 0,05 et tant que la profondeur relative 7i/L est assez grande — supérieure à 0,1. Toutes les expériences de Macagno ne rem- plissent pas ces conditions de validité. Il est dès lors très remarquable que la théorie linéarisée suffise encore à donner une interprétation cor- recte des expériences. Nous reviendrons sur ce point.

Toutefois, le phénomène se complique, par- fois, du fait de la naissance des cavitations dans le voisinage des arêtes immergées de S. Les conditions de naissance de ces décollements sont encore mal élucidées, à notre connaissance, d u moins. Elles semblent lices à l'existence d'une amplitude critique, au-delà de laquelle la théo- rie cadre moins bien avec l'expérience.

E n tout état de cause, ces limites de la vali- dité du calcul ne sont mentionnées qu'à titre hypothétique, faute d'avoir une théorie plus satisfaisante du phénomène.

Notre seconde hypothèse fondamentale revient à postuler l'irrotationnalité du mouvement.

D'après cela, tout revient à expliciter le potentiel y des vitesses dans le domaine D occupé par le liquide à l'état de repos, c'est-à-dire dans un domaine connu a priori. Enfin, nous suppo- serons que 4' est de la forme (complexe) :

*' (X, Z, 0 = * (X, Z) C<2^'VT)t

T étant la période unique du phénomène. Au- trement dit, nous nous limitons à l'examen du phénomène fondamental. A u reste, le problème étant, c o m m e nous le verrons, non seulement li- néaire, mais aussi homogène, la prise en compte des harmoniques serait aisée.

II. — M É T H O D E S E M P L O Y É E S Nous avons, en définitive, à déterminer dans

le domaine D une fonction harmonique <I- Or, z), dont il y aura lieu de préciser l'allure à l'infini, satisfaisant aux conditions aux limites suivan-

—»

tes, /i étant le vecteur unitaire porté par la nor- male extérieure à D :

an

et : d<\>

g

"AT

pour

— 0 0 Sa X Si co, Z

x = 0,

X = 1, 0 g x Si /,

0

/i„ si z sS /i

h⁰ £z:£h z =^/i⁰

4 7t2

pour z

1 < X :

0 ce O n a donc bien affaire à u n problème harmonique linéaire et homogène du type mixte. Plu- sieurs méthodes résolutives sont théoriquement possibles. Voici, à titre indicatif, le principe de l'une d'entre elles, qui nous a été indiqué par M . Kravtchenko.

Représentons conformément D sur le cercle unité |Ç| Si 1 du plan de la variable complexe;

Ç = \ 4- ii\ — gew; on peut choisir la correspon- dance Ç == Ç (Z), Z = x 4- iz, de manière que les points ci-après soient homologues :

Ç = — 1 Ç = l

Z = — co 4- iz Z =

4"

^oo 4- iz Z = (1/2)

Z = (1/2) + i/io

L a fonction Ç (Z) peut, d'ailleurs, être explicitée au m o y e n des formules classiques de Schwarz- Christoffel. Posons :

^ =^e<«, = Ç a + ih), Ç² = e*«² == ç a + ih⁰) ; 0 Si^{a i} Si a² g 7t/2.

E n raison de la symétrie de D par rapport à la droite x = 1/2, les arguments des images des points singuliers Z = ih0 et Z = ih du contour de

D seront respectivement n - - a.., et % — a,. Mais on notera que le calcul explicite des paramètres a^t et a² en fonction des données h et / i⁰ — quoi- que du type classique — est déjà assez lourd.

218 -

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MAI

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K. T A R A N O 249

Cela posé, la correspondance Ç = Ç (Z) ramène la question à la détermination d'une fonction : f (Ç, T.) = 4? [? (x, z ) ,-ri (x, z ) ] = (x, z )

harmonique dans |Ç| g 1 et assujettie à vérifier les conditions limites suivantes :

et :

1EF

= 0 pour

— % ^ 8 g 0

a-, < 6 < it — a.

tfZ

pour p = l, 0 g D S *i, tc — a3 :S 6 Si tc Cette méthode de mise en équation du pro- blème offre l'avantage de bien situer la nature analytique de la question et d'en dégager la dif- ficulté, Car tout se trouve être ramené à la déter- mination dans o ^ 1, de la fonction harmonique tp (X, 7)), assujettie à vérifier la condition aux li- mites :

dtp

dn

^{+ / (6)}⁹^{= 0,} ^1,

où / (9) est une fonction donnée a priori pour 0 g 0 s£ 2 •K, nulle, d'ailleurs, sur une portion de o = l . U n tel problème aux limites est connu dans la littérature sous le n o m de problème de Poincaré; la solution en est bien étudiée dans le cas du cercle, lorsque / (8) est une fonction assez régulière de 6 pour 0 g 6 :£ 2 n, par exemple, suffi-

s a m m e n t continue et périodique de période 2 7t.

Or, dans notre cas, /' (0) présente, entre autres, des singularités pour 6 = ± w. A notre connais- sance, une théorie rigoureuse du problème de Poincaré reste encore à faire pour les fonctions / (6) du type qui correspond à nos données. Ce- pendant, il y a là le principe d'une méthode de calcul de la solution au m o y e n des développe- ments en série, valable après avoir opéré la dé- falcation des singularités; j'espère y revenir avec M . Kravtchenko ultérieurement. L a question est d'autant plus intéressante que, c o m m e m e l'a fait remarquer M . Kravtchenko, les problèmes des plages inclinées étudiés par M M . Roseau et Brillouet (cf. [10] et [11]) relèvent de la m é - thode que l'on vient de décrire. Plus générale- ment, l'étude des petites oscillations planes du liquide pesant, limité par u n fond de forme quelconque, et la surface libre, se ramène à un problème de Poincaré dans le cercle, chaque fois que l'on sait représenter sur ce domaine canoni- que le domaine occupé par le liquide au repos.

Toutefois, il est douteux que le procédé pré- cédent puisse être perfectionné au point de pouvoir être utilisé en vue du calcul simple et effec- tif d'une solution. Or, notre objectif est moins

l'étude théorique de notre problème que la re- cherche d'une solution approchée, numérique- ment calculable. C'est pourquoi nous allons em- ployer la méthode suivante qui conduit assez facilement au but poursuivi, quoiqu'au prix de simplifications non encore justifiées.

Nous décomposons le domaine D en trois domaines : D, 2, D0, D3 définis respectivement c o m m e suit :

O ^ x ^ Z l < x < 00

0 g z g 7j 0 g z h0

0 g z g 7i E n nous inspirant d'une méthode, introduite par A. Apte [2], à la suite d'une suggestion de .1. Kravtchenko, nous prenons :

$ = ¹ -f- 2

$ = 0

$ = <I)3

dans D1 2

dans D0

dans D3,

où <]>! est le potentiel créé par la houle incidente; sous forme complexe, on peut donc poser:

$x = A], cosh m z <"-»"<»

où m = 2 7t/L, L étant la longueur d'onde liée à la période T de la houle, à l'accélération g de la pesanteur et à 7i par la relation d'Airy :

7c2 = (2 7t/T)2 = gm tanh mh

L'onde en cause étant supposée connue, A,, m, et Te sont des données.

Le problème consiste maintenant à déterminer les trois fonctions 0, 2, a harmoniques dans leurs domaines de définition respectifs, astrein- tes à satisfaire les conditions à la surface libre et de paroi, de manière que n soit le prolonge- ment analytique de j -j- 2 (ou de <ï>3) à travers le segment de droite c o m m u n à leurs do- maines de définition : x = 0 (ou x --- /), hlt^z^h.

D'après la remarque d'Apte, il suffit d'expri- m e r à cet effet que les expressions considérées de , ainsi que leurs dérivées partielles en x, sont identiques le long des segments en cause.

N o u s verrons que la question se ramène, en dernière analyse, à la résolution d'un système linéaire à une infinité d'inconnues, que nous nous proposons de discuter ailleurs en toute rigueur. Mais, nous avons formé une solution ap- prochée, en bon accord avec les résultats expéri- mentaux; et ce sont ces résultats de notre calcul que nous exposons ci-après.

R E M A R Q U E : Ce mémoire était déjà rédigé lors- que nous avons pu prendre connaissance — grâce à une aimable communication de M . Lattes

— du manuscrit d'un travail de M M . Lattes et

Dl.2 D o D8

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250 LA. H O U I L L E B L A N C H E N " 3 - M A I 1 9 0 0

Lions, consacre à des problèmes analogues au nôtre. O n trouve dans cette étude une démons- tration de la convergence du procédé d'approximations successives d'Apte, problème que nous

n'avons pu aborder nous-mêmes ici. Nous espé- rons revenir sur les conclusions des auteurs pré- cités que nous n'avons pu, faute de temps, ex- ploiter davantage.

IH. — A P E R Ç U D E S R É S U L T A T S O B T E N U S

O n constatera que, sauf dans une zone tran- sitoire, de faible longueur horizontale, voisine de la face amont (ou aval) de S, le potentiel ² (ou $³) se réduit à celui d'une houle réfléchie (ou transmise) par l'obstacle. Ainsi donc, se trouve confirmés qualitativement et quantitati- vement les résultats de [1] obtenus au moyen des hypothèses n priori et des raisonnements glo- baux. Rappelons pour plus de précision les hy- pothèses de départ de Macagno.

E n premier lieu, cet auteur admet que le m o u - vement dans Dn se réduit à une oscillation sinu- soïdale en masse; il postule ensuite que les zones transitoires ont une très faible épaisseur, que l'on peut négliger lors de la mise en équation du problème. Macagno suppose enfin que <D2 et

;) se réduisent aux potentiels des houles linéai- res simples. Ceci posé, l'auteur précité écrit l'équation de continuité pour le débit global à travers les bords verticaux de Dⁿ et l'équation des quantités de mouvement pour la masse liquide enfermée dans ce domaine. Il trouve ainsi les expressions, en fonction de <ï>], des amplitudes des houles réfléchies et transmises ainsi que l'amplitude du m o u v e m e n t dans D⁰.

Notre analyse est plus précise; elle repose uniquement sur l'hypothèse d'existence et d'unicité de la solution en <I», astreinte à vérifier quelques conditions à l'infini. Alors les hypothèses a priori de Macagno, relatives à l'allure générale de la solution, apparaissent c o m m e conséquences de nos formules résolutives — qui permettent, par surcroît, d'analyser le mouvement dans les zones transitoires, dont l'étude a été négligée par l'auteur précité.

Il est très remarquable que le calcul de Maca- gno, si simple et si schématique, conduise à des résultats en bon accord avec l'expérience. Notre théorie, tout en étant plus satisfaisante au point de vue de la rigueur, améliore, de plus, sur bien des points, cette concordance. Toutefois, ce résul- tat n'a p u être atteint qu'au prix d'une grande complication des formules résolutives. L'ingé- nieur continuera donc à se servir de la méthode de Macagno. Mais, il nous a paru instructif de

justifier, par une analyse un peu plus rigoureuse, les vues rapides de notre prédécesseur.

Insistons encore une fois sur les limites de la validité de la théorie linéaire. Le postulat es- sentiel en est le suivant : la solution exacte est développable en séries entières, suivant les puis- sances de la cambrure Aj/L de la houle incidente; les séries étant convergentes, pour des valeurs suffisamment petites de ce paramètre.

Il s'ensuit que pour Ax/ L assez petit, la théorie linéaire est valable. A notre connaissance, le postulat n'a été établi jusqu'ici en toute rigueur que dans le cas des ondes progressives, perma- nentes et périodiques, se progageant en profon- deur uniforme h; citons les travaux classiques de Levi-Civita, Struick, M m e Dubreil et ceux, plus récents, de R. Gouyon [14]. Ce dernier auteur a montré, de plus, que le rayon de convergence des séries-solutions tend vers zéro avec la profondeur relative, égale au quotient 7i/L.

A u surplus, sur cet exemple simple, on voit explicitement que les termes d'ordres supérieurs au premier, — ce dernier étant le seul pris en compte par les théories linéaires — , tendent vers l'infini pour une cambrure donnée, lorsque /i/L —> 0. O n conclut de là que la théorie des ondes progressives ne peut être en bon accord avec l'expérience que si ce dernier paramètre est assez grand. Les mesures faites en labora- toire confirment ces prévisions.

Ainsi donc, l'approximation linéaire de la houle n'est valable, pour les cambrures couran- tes, que si la longueur d'onde est assez petite vis-à-vis de la profondeur. Il est très probable que cette conclusion vaut encore pour notre phé- nomène, où la profondeur n'est plus uniforme.

Dans l'étal actuel de nos connaissances, 011 ne peut préciser davantage et indiquer les limites numériques de validité à la théorie linéaire. Mais, dans les applications, ce point ne doit jamais être perdu de vue.

Cette remarque est surtout importante dans le cas du schéma étudié dans la deuxième partie de ce travail.

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IV. — I N D I C A T I O N S H I S T O R I Q U E S

Le problème abordé ici nous a été posé par M . Kravtchenko et l'étude ci-après a été faite sous sa direction.

Signalons qu'en profondeur infinie, les problè- m e s de ce genre ont été abordés par W . R. D e a n

[3] et F. Ursell [ 4 ] par d'autres méthodes et sous réserve que l'épaisseur I de S est nulle et la profondeur infinie. Plus récemment, D m i - triev [15J a utilisé, en profondeur finie, une méthode analogue à la nôtre, mais toujours dans le cas particulier où 1 = 0.

Le mémoire de Macagno est à l'origine de ce travail. Nous nous en s o m m e s constamment servi

tant pour imaginer le schéma de la solution analytique que pour le contrôle expérimental de nos calculs.

Enfin, rappelons une fois encore que la thèse d'Apte nous a été plus d'une fois utile. Nous nous s o m m e s inspirés des procédés de cet auteur pour la mise en équation du problème et pour l'étude des singularités. Des essais de contrôle de la théorie ont été entrepris aux Laboratoires de Mécanique des Fluides de Grenoble par P. Jolas.

Signalons enfin que la matière du présent m é - moire a été résumée dans deux notes aux C.R.A.S. [5] et [6].

C H A P I T R E IL — MISE E N É Q U A T I O N D U P R O B L È M E

I. — D I V E R S E S F O R M E S D E <!•

Les hypothèses faites entraînent A * = 0 dans D. Nous postulerons essentiellement que la solution du problème harmonique aux limites, que nous allons énoncer, existe et est unique : répé- tons que nous reviendrons ultérieurement sur ce point. Dans ces conditions, il nous suffira de trouver une solution satisfaisant à l'ensemble des conditions frontières pour affirmer avoir trouvé la solution.

U n e des difficultés du sujet tient à la cause suivante : les domaines D,² et D^s ne sont pas bornés et il subsiste u n certain arbitraire quant au choix a priori de l'allure de pour |x| = oo.

Nous admettons que :

2 (x, z) = A2 cosh mz eimx -f 0 (1/x2)

pour X = CO où A² est une constante proportionnelle à l'amplitude de la houle incidente. Il résulte alors des travaux de Havelock [7], Biesel [8], Kravtchenko

[9], que 2 admet dans D12 u n développement en série généralisée de Bessel-Fourier; le déve- loppement formel suivant les termes d'une fa- mille complète de fonctions propres est du type :

O = A2 cosh m z eimT -j- ^ B„ cos a„z e"»3' (3)

Î

où A² et les B„ sont des constantes complexes à déterminer, les <sⁿ étant les racines réelles et po- sitives de l'équation transcendante :

k2 = — gin tang <snh

D'après cela, chaque terme du développement formel (3) est une fonction harmonique, qui vé- rifie les conditions de fond di>2/dz = 0 et de surface libre :

32<I>2 32 di2 ~~~ 9

~aT

Nous laissons de côté pour le m o m e n t la con- dition frontière le long de x = 0, O g z g h.

Pour la m ê m e raison (et moyennant les m ê m e s hypothèses quant à l'allure du m o u v e m e n t pour x = oo), on définira ^;ⁱ par le développement :

, = As cosh mz e—•'m0r-o -f Y Gn cos anz e~ »«<•*-»

4

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252 L A H O U I L L E B L A N C H E № 3 - M A I I960

où A3 et les G„ sont des constantes complexes à déterminer. Cette expression de ³ satisfait encore formellement à toutes les conditions impo- sées, sauf le long de .r = /, 0 si z si h.

Enfin, dans D⁰, on cherchera ï>⁰ sous la forme :

* o = U.T + V + ^ j C«e " + D» ex»(« - D j cos À„z

1 ' (5)

où on a posé :

lⁿ=nr,/h⁰, /1 = 1,2,...« (5¹) et où U, V, C„ et Dn sont des constantes, a priori inconnues.

Pour justifier ce m o d e de représentation de $0>

il suffit de rappeler que d'après u n résultat classique (cf. par exemple [12]), toute fonction harmonique dans le rectangle D⁰, admettant des dérivées normales nulles le long de z = h⁰ et assez régulières le long de x = 0 et x—l, admet u n développement en série généralisée de Bessel-Fourier de la forme :

í>⁰ = U x + V -f- ^ (E„ cosh X„z -j- F„ sinh X„z) cos l„z

i

où les quantités E„, F„ sont encore des constantes. L'identification de la formule précédente avec (5) est immédiate.

L a simple inspection des formules (3) et (4) montre déjà que si ces séries convergent pour x = 0 et x — l respectivement, la s o m m e des séries :

^ B„ cos <rⁿz e v et ^ G„ cos aⁿz o

i

tendent très rapidement vers zéro lorsque

,r — > • — co et x • — / — > o o respectivement. Pratique-

ment, la s o m m e de la première est négligeable pour x si —- 2 h; (3) montre alors que le mouve- ment à l'amont se réduit à une faible distance de l'obstacle au clapotis linéaire partiel, engen- dré par la superposition linéaire des houles de potentiels A¹ cosh mz e~^mix et A² cosh mz e^mi!C. L a m ê m e remarque vaut pour l'aval. Enfin, dans le passage en charge et à une faible distance des extrémités, nous aurons seulement (Cf. [5]) une oscillation sinusoïdale et horizontale en masse, définie par le potentiel U X -j- V. Ainsi se trou- vent justifiées a posteriori les hypothèses de Macagno.

IL — D I G R E S S I O N A N A L Y T I Q U E <*>

Ainsi donc, le problème posé sera entièrement résolu sous forme de séries infinies dès que l'on aura explicité les constantes A², A³, U, V, B^B, G„, C,„ D„, 77 = 1, 2 ... a,.

U n e question de principe se pose : est-il légi-

time de représenter ,„ 2 et 3 au m o y e n des

développements du type précédent. Autrement dit, ces fonctions sont-elles suffisamment régu- lières à la frontière (elles le sont, par hypothèse, à l'intérieur de U ) pour qu'on puisse être sûr, a priori, de la convergence de nos séries à la

surface libre et le long des parois solides. L a réponse est affirmative; elle résulte de quelques remarques d'Apte (Cf. [2], pp. 75-78), que nous allons rappeler brièvement.

Supposons tout d'abord démontré que les coefficients B„, G,„ G„ et D „ tendent vers zéro avec 1//7. O n voit que pour x < — s < 0, e > 0 étant aussi petit qu'on le veut, la série (3) con- verge absolument pour 0 si z Si h, puisqu'elle est majorée par la série :

|B„| e-°*

(1) U n lecteur qui n'aurait en vue que les applications peut passer ce paragraphe sans inconvénient.

visiblement convergente, puisque <-~ TZÎI//I. Bien plus, on vérifie qu'il en est de m ê m e des séries obtenues en dérivant formellement le second m e m b r e de (3) en x et z autant de fois qu'on le veut. Ainsi, nous pourrons affirmer que :

1. L e développement (3) représente une fonc- tion harmonique dans et sur la frontière du domaine Dx 2, e :

0 si z s? /< ; — oo g a; si e

aussi petit que soit s > 0.

2. L e second m e m b r e de (3) vérifie les condi- tions frontières au fond et à la surface libre.

Il est clair que le second m e m b r e de (4) pos- sède les m ê m e s propriétés dans le domaine D ³^e défini par :

x ^ Z + s, 0 5 z g / i

et sur la frontière; la m ê m e remarque vaut aussi pour le développement (5) dans le domaine D^{0 i E} :

e SS x Si l — % 0 Si z si h⁰.

Il nous reste donc à examiner ce qui se passe lorsque e —» 0. L a convergence des séries de Bes-

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M A I 1 9 6 0 - № 3 K. T A R A N O 253

sel-Fourier (3), (4) et (5) sur les bords verticaux de leurs domaines de définition respectifs, est essentiellement liée à l'ordre des coefficients B„, G„, C,„ D „ en fonction de n. Ici deux voies sont possibles. O n peut d'abord chercher à étudier les systèmes linéaires infinis que nous allons expliciter ci-après et que vérifient ces constantes. Il faudrait alors déterminer, d'après ces équations de définitions, l'ordre de décroissance de ces in- connues avec 1/n et déduire du résultat une démonstration de la convergence de nos séries pour s==0. C'est nous semble-t-il, la méthode la plus directe c o m m e la plus naturelle de discus- sion de notre problème. Malheureusement, sa mise en œuvre est difficile. D a n s une prochaine publication, M . Kravtchenko et m o i - m ê m e éta- blirons seulement les points suivants :

1. L a solution du système infini d'équations linéaires est unique.

2. Les séries de ternies généraux B„2, G,,2, C,,2, D „2 convergent. Diverses conséquences en résul- tent, concernant l'allure des seconds m e m b r e s de (3), (4), et (5) pour x = 0 et x—l respective- ment. Mais, nous n'avons pas réussi encore à fixer l'ordre des coefficients en cause en fonction de n, par cette méthode tout au moins.

Nous utiliserons donc une méthode indirecte.

O n sait, en effet, que si la solution $ (x, z) de notre problème existe, elle possède les propriétés suivantes :

L a fonction $ (x, z) est prolongeable analyti- quement à travers les segments 7i0 < z ^ h x = 0, x = /; elle est donc régulière sur ces seg- ments, sauf pour z = Zi0, où ses dérivées premiè- res sont infinies c o m m e [x2 + (z — ZIQ)2]-1/3 et

f(x — • Z )2 -f- (z — h0)2] _ 1/ 3 respectivement. Nous nous dispensons de justifier en détail ces résul- tats, absolument classiques. 11 en résulte que tf1

est fini en les points singuliers, et possède dans chacun de leur voisinage une continuité hôlde- rienne (Cf. Apte, loc. cit.). D'une manière plus précise, on a :

I* (x, z) — <ï> (0, /i0) | g O [x2 + (z — 7i„) = 12/3 Il suit de là que :

¡2 (0,z) - .!>., (0, h0) | g Cl e |z — /!„|2/:î

i*0 (0, z) — <I»0 (0, h0) | g C<« |z — /loi2/*

les inégalités analogues étant valables pour 0

et <1>3 au point x - - Z et z = hn. Plusieurs corol- laires, fondamentaux pour notre objet, en ré- sultent :

1) Les séries (3) et (4) sont absolument et uniformément convergentes pour x = 0 et x = Z respectivement, 0 g z g /i; il en est de m ê m e de la série (5) pour x = 0 et x = Z; 0 g z g 7j0.

2) Les dérivées premières formelles des sé- ries (3) et (4), c'est-à-dire des séries obtenues en dérivant les seconds m e m b r e s de (3) et (4) terme à terme, par rapport à x, convergent uniformé- ment pour x = 0 et x = I, O S z á hf, — &, hu -f- s z g h, aussi petit que soit & > 0; ces séries sont integrables terme à terme sur O g z g / i ; il en est de m ê m e des séries obtenues en dérivant en x, terme à terme, le second m e m b r e de (5) pour x = 0, x = /; les séries en cause convergent uniformément pour :

0 g z g ho — £,

quel que soit s > 0, et sont integrables terme à terme, pour 0 g z g /i0.

3) L'ordre de grandeur des coefficients B,„ G,„

C„ et D„ est n-2/3, au moins pour n grand.

Ce n'est pas ici le lieu de justifier ces pro- priétés en toute rigueur et en détail. Nous nous bornerons à de brèves indications, qui seront développées ailleurs.

Tout d'abord, on observera que pour x = 0 et x = l les expressions de 4>0 (0, z) et <£0 (Z, z) se présentent sous forme d'une série de Fourier en cosinus en z (Cf. [5]); or, on a vu ei-dessus que i>0 (0, z) et $0 (Z, z) vérifient une condition de Hôlder d'exposant 2/3 > 1/2; d'après le théorème classique de S. Bernstein, les séries de Fourier correspondantes convergent absolument, donc uniformément, pour 0 g z g h0. N o u s ren- verrons à [13] pour la justification du résultat annoncé relatif à l'expression de d^o/dn, déduite de (5) pour x = 0 et x = 1, ainsi que pour l'or- dre des coefficients; au reste, ces points peuvent être considérés c o m m e classiques.

Il reste à étendre ces conclusions aux séries (3) et (4) qui ne se réduisent pas pour x = 0 et x = Z à des séries ordinaires de Fourier, en cosi- nus, puisque les <r„ ^ mt/h; mais on a :

«, = (»*//!) + 0(l//72)

0(1 /n2) désignant, suivant l'usage, une quantité d'ordre 1/n2. Il s'ensuit que les séries considérées ne diffèrent d'une série de Fourier en cosinus que par une série absolument et uniformément convergente, pour 0 g z g h0, dérivable une fois en .r terme à terme. O n justifie alors aisément

— quoiqu'au prix de raisonnements u n peu fas- tidieux — les résultats annoncés.

Ainsi donc, nous s o m m e s assurés a priori de la légitimité des opérations que nous avons à effec- tuer ci-après. Mais plusieurs points de rigueur restent encore en suspens. Par exemple, il fau- drait pouvoir vérifier a posteriori que la solution que nous allons construire répond à toutes les conditions qui lui sont imposées. Mais, nous ne saurions insister davantage.

(8)

254 L A H O U I L L E B L A N C H E № 3 - M A I 1 9 6 0

III. — M I S E E N É Q U A T I O N D U P R O B L È M E

C o m m e nous l'avons indiqué au paragraphe 3 du chapitre I, il suffit maintenant de détermi- ner les constantes

A

2

, A

3

, U, V, B„, G„,

C„ et D„, n = 1 ... co. D'après la remarque

d'Apte

il faut et il suffit de disposer de ces constantes de manière à satisfaire les relations suivantes :

et

Э ('!>! + Ф2) \ =

Ъх ^ = о ) Ф о |ж= о

Ъх х=о

= 0

3*3 3.x

3x ( = 0

pour 0 si z Si h0

pour h0 Si z si h

pour 0 si z Si fto pour 0 Si z si h0

pour ho Si z si Ti

(6)

(7)

(8) Toujours d'après l'auteur précité, les conditions nécessaires et suffisantes pour satisfaire (6) peuvent s'écrire :

fK [*i + $ 2 ] * = o cos \„ zdz = [*0]3;=fl cos AB 2 dz n = 0, 1,2,. ..

/"* ft / * 7(

/ [3/3x ($x 4- *2]»=o cosh mz dz = J " [3$0/3x],,,=0 cosh mz dz

j [3/3x (<I'x + #2)] a ; = 0 cos <sn z dz = / 0 [3$0/3x],,,=0 cos c„z dz n = 1,2, . ..

D e m ê m e , les conditions (7) seront vérifiées si :

[ $ 3 ] * = Z C O S \nzdz

= y^""

⁰

[ « V J ^ c o s

A,(zdz n = 0, 1, 2 . . .

^/*" [3$3/3x],,,=î cosh mz dz = ^/^'° [9$o/3z],s=o cosh mz dz

Jh [33/3x]^ cos on z dz = J~*° [ 3 #0/ 9 x ]f c î cos «„ z dz n == 1, 2,.

Pour expliciter (8) et (9) sous une forme plus condensée, nous poserons :

I0 = / cos2 \nzdz = h0/2

I 1 = r cosh2 m z dz = 1/2 f h 4- s i n? 2 m'

(9)

Фз!^г

^{= Ф о}

U- = г

(9)

M A I 1960 - N » 3 K. T A R A N O 255

I-C-0

I⁴(»,v)

cos2 nn z dz = 1/2 (h + s i n 2 "» h

cosh m z cos X„ z dz :

2 <r„

(— D "

m2 + X,,2

m sinh /N/Î„

C O S rss Z C O S A„ Z

(ZZ = . „ —

(7, S I N G, /L„

Ir/

») = / cos <snzdz= 2L-i

o

<T„

T rh<> i J sinh m/i0

I6 = / cosh m z dz = —

y o m

T0 = m i Ix Kl + 2 (I6)2 + 2 m z IX £ ( Is ° 'J ) 2

T(») = h0l I8<»> + 2

S

I5w [i8w iBw

—1

⁰

1

⁴

(».«)] [„

^B I2<0] -1

s

I7i»-«> = [la]-1 [ T0 (I8C») Ib(«) _ i6 l4(»-«)) — mi IX T<»> I5C«>]

Alors, les conditions (8) et (9) seront respectivement : VAo = (A± + A2) I, +

i

B„ I5(«)

(10)

( C + D» e-Ki) i

⁰

= (A

^x

+ Aj) I

⁸

<») + I B

^s

I

⁴ ^{n =}^{1, 2,}

— m i (Ai — A

²

) h - U I

⁹

— S A„ (C„ - D„ e-A„o y » )

,1=1

B„ a» I²(") = — £ A^s (C^s — D, e~Vj I⁴(«.«) + U I,<"> n = 1, 2 oo ^r

(UZ + V ) h⁰ = A³ i⁶ + S G^M I⁵<»> (11)

(C„ e - V 4- D„) I0 = A„ I3c») +

S

G.,

1

⁴

<».«)

8 = 1

— m i A: J Ij = U IG — £ X„ ( C e-*-' — DB) I8c»)

n = l

n = 1, 2,

. G„ <T„ I2(») = UIB(») - E l , (Cs e - V — D.) I4(s'"> n = 1,2 co

8 = 1

Cet ensemble de relations s'écrit encore

mi I⁰1! (1 + e - V ) X„ + i l^s X^s (1 — e - V ) I l⁸(») l⁸(«> + m i ^ £ U^sj)h'ⁿ'^})

8 = 1

L , =

1

» A

^W

2 A

t

m i I

x

I„<»> ( 1 2 )

n = 1, 2,

co

(10)

-'56 L A H O U I L L E B L A N C H E № ä - M A I 1960

T„ I„ (1 —

e-V)

Y„ +

S

X, Y.

(1

-f

i

³

(») (») — i/i„ E

^T ^{1 4}^{' 7 .} - 2 Ax /ni Ii T<»>

n = l, 2, co (13)

V = ( 1 / T⁰) [ — 2 Ai mi Ii I„ + I„S W > Y„ (1 + e - V ) -}- m i L S V V » , I⁸<»> 2 )⁴I⁴C»> (1 4- e~V) Y^s (14)

A³ = {I/mi LJ [ — U I« + î 1, ( C E~V — D J I⁸<«) (15)

B„ = (l/«„ I²<»>) [U I^s<»> _ X x^s ( C — D . e - M ) Ii»--'»J (16) ¹

G, = ( 1 / « , V » ) [ - U V ' ) - £ XS(CS — e - V _ Ds) L>»> (17)

s = l

Aa = Ai + (l)mi LJ [U I6 — £ X„ (C„ - e - ^ ) I8<»> ] (18)

V = (1/Ao)

[(At + A2) Ic + £ B„ IB(»>], (19)

ou on a pose :

X„ — C„ 4- D„

Y — r

1-)

⁽²⁰⁾

Ainsi donc, les équations (11) constituent le système infini d'équations linéaires relativement aux inconnues A„ (n > 1 ) , B,„ G„, U, V, X„, Y,„ n = 1, ... 00.

O n observera d'ailleurs que tout revient à déterminer en fait les inconnues X„ et Y„ qui figurent seules dans le système (12) et (13). Cette étape franchie, C„ et D„ sont donnés par (20); les rela-

tions (14) à (19) permettent alors d'exprimer U, V, A2, A3, B,„ G„ au m o y e n de ces quantités.

Ce n'est pas ici le lieu d'étudier le problème de la résolubilité du système en X „ et Y„. O n se bornera à observer qu'il se ramène immédiatement à la forme classique, étudiée par Poincaré, H. von Koch, F. Riesz, etc.. E n sorte que cette question revient à discuter la convergence de certaines séries, formées avec les éléments de la matrice du système linéaire en cause. A u reste, les résultats de ces auteurs ne donnent que des théorèmes d'existence et d'unicité de la solution et permettent de justifier certains processus d'approximations successives de celle-ci. Malheureusement, il n'existe pas — à notre connaissance du moins — de méthode assez bien adaptée à notre cas pour évaluer avec assez de précision l'erreur commise en s'arrêtant à la n^t,me approximation.

(11)

M A I 1960 - N * 3 K. T A R A N O 257

IV. — R É S O L U T I O N N U M É R I Q U E D E S Y S T È M E E N X„ E T Y „ C O M P A R A I S O N A V E C L E S E X P É R I E N C E S D E M A C A G N O

D'après ce que nous venons de voir, nous renonçons à utiliser l'appareil théorique de V o n Koch pour discuter, au point de vue numéri- que, le système infini (12) et (13) d'équations en X„ et Y„, auquel nous venons de ramener notre problème. Dans ces conditions, nous opére- rons d'une manière très élémentaire, pour ne pas dire brutale : nous remplacerons dans chaque équation en X„, et Y„ les S par la s o m m e du premier ternie et du terme diagonal. C m verra que dans la gamine des données numériques de Macagno, cette approximation est très suffisante.

Mais, on ne saurait trop insister sur le fait que cette manière de faire doit, dans chaque cas particulier, être contrôlée par l'expérience. Il est, en effet, très probable que pour d'autres données

numériques, les séries utilisées convergent beaucoup plus lentement et l'approximation qu'on vient d'adopter serait alors médiocre. A u reste, on verra des exemples frappants de ce fait dans la deuxième partie de ce travail.

Rappelons que nous nous bornons dans ce travail uniquement à l'approximation linéaire des équations de l'hydrodynamique; lors m ê m e que les ternies non linéaires seraient importants, la méthode que nous présentons serait susceptible de donner les lois approchées de passage en charge pour les oscillations fondamentales, de période T. Mais alors, les termes inexplicités ici ne seraient pas négligeables et le phénomène global n'est plus susceptible d'être décrit au m o y e n de la seule approximation linéaire.

Ceci étant, les équations (12), (13) donnent, si l'on n'y conserve que le premier terme et le terme diagonal :

X„ = 2A, mi lx I3

Y„ = 2 A^t mi h TCO

c») ^I⁴( M ) ) 2 ,

mi I0 ît (1 + + X,

(1 —

e~ V ) + mi It £

I0 T0 (1 — e - V ) + Xn (1 + e-Ki) (I3<»>) T(»>

; = 1 3 -

(21)

- 1

Ces relations expriment les X„ et Y„ en fonction des données. Les autres inconnues, déter-

minées par (14) à (19), sont alors données par les formules :

U = (To)-i [— 2 Ax mi h I6 + I6 I X„ I8W Y„ (1 + e V ) ] , ,i=i

A² = A^x + (mi I^k) -i [U I⁰ — £ X„ (C,^t — D„ e-W) I³<»>],

N = L

A8 = (mil1)-i [— U I6+ £ X„((L,e-M — D J I8(«)],

N = L

G . = ['« I2 ( n )]- 1 [•— U I5(") + £ X.F.C. C-M — D . )

V'»>],

8 = 1

B„ = [«. I2W ] - i [U I5(») — £ X.(C, — D s e - M ) L > " ) ] ,

s = L

V = ho"1 [(Ai + A2) I6 + £ B„ I5<«>

/(22)

(12)

258 L A H O U I L L E B L A N C H E № 3 - M A I 1 9 6 0

Dans les applications numériques, nous avons partout remplacé dans les seconds m e m b r e s des

OO 3

relations précédentes S par S . Il est bon de dire î i

dès maintenant que cette approximation s'est trouvée être excessive : dans la majorité des cas concrets, la prise en compte du seul premier terme de S donne, déjà, c o m m e on le verra, une précision très suffisante pour les besoins de la pratique. O n trouve dans [1] des données expé- rimentales relatives aux valeurs des coefficients de transmission Ct et de réflexion Cr, définis par :

Ct=\A3/A1\, C,.=

IAO/AJI,

Ces nombres seuls, au fond, intéressent le technicien. Le tableau ci-après donne les valeurs expérimentales de C⁽, C,., empruntées à Macagno et les A^aleurs théoriques, calculées par le pro- cédé que nous venons de décrire. Nous avons placé entre parenthèses les résultats obtenus en remplaçant les séries des seconds m e m b r e s de

2

(21) par S et affecté d'un astérisque les résul- î

3

tats obtenus en prenant en compte 2 ; les n o m - bres qui ne sont affectés d'aucun signe résultent simplement du calcul fait en ne gardant dans (21) que le premier terme des séries qui y figurent.

/1 (cm)

ho

(cm)

l

(cm) T (s)

Ct = (lAjIAil) C,. = (JAalA^I)

/1 (cm)

ho

(cm)

l

(cm) T

(s) M a c a g n o exp.

M a c a g n o

théorie T a k a n o Ursell M a c a g n o exp.

M a c a g n o

théorie T a k a n o Ursell

30 15 175 1 0,067

0,06 0,098 0,067* 0,80 0,995

0,91 0,995 1,0* 0,65 30 15 175

1,4 0,134 0,133 0,136

0,173 0,14*

(0,15)

0.98

0,98 0,97 0,935

0,985 0,98*

(0,98)

0,15 30 15 175

1,8 0,202

0,178 0,239 0,20* 1,0 0,90

0,90 0,97 0,92* 0,05 30 8,5 175 1 0,0406

0,036 0,0403

0,054 (0,043) 0,04

0,48

1,00 0,985 0,935

0,998

(0,99) 1

0,86

30 4,4 58,3 1,3 0,476 0,635

0,59*

(0,59) 1 0,74 0,77

0,78*

(0,79) 0 30 4,4 58,3

1,0 0,372 0,484 0,4 0,79 0,76 0,875 0,9 0,06

A litre indicatif, nous donnons les valeurs de C,.

et d, calculées à partir de la formule de F. Ur- sell (Cf. [4J valable, rappelons-le, pour ? = 0.

D'un usage très c o m m o d e dans la pratique, à cause de sa simplicité, elle donne systématique- ment les valeurs de C, par excès et celles de C,.

par défaut. L a théorie varialionnelle de la repré- sentation conforme de Lavrentiev permet de pré- voir ce fait a priori.

Voici les remarques que nous a inspirées l'exa- m e n du tableau précédent. Dans l'ensemble, nos résultats théoriques cadrent bien avec l'expé- rience et la concordance du calcul avec les m e - sures en canal, est très supérieure à celle que donne, la théorie approchée globale de Macagno.

O n notera pourtant l'écart sensible qu'on ob- serve entre la théorie et l'expérience pour la

période T = l , 3 0 . Mais, m ê m e dans ce cas, la valeur théorique de C⁽, évaluée au m o y e n de notre méthode, est beaucoup plus rapprochée de la valeur expérimentale que ne l'est la valeur de Ct obtenue à partir des formules de Maca- gno. Par contre, notre valeur du coefficient C, cadre moins bien avec les mesures que celle de l'auteur précité.

O n notera que cette divergence entre la théorie et l'expérience n'a lieu que pour la plus grande période de la g a m m e explorée par Maca- gno. Autrement dit, lors de l'essai correspon- dant, la hauteur relative du liquide dans le canal est la plus faible. Les remarques antérieures montrent alors que, dans de telles conditions, la convergence de nos séries peut devenir médiocre.

(13)

M A I 1960 - № 3 K. T A R A N O 259

B I B L I O G R A P H I E

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(14)

2 6 0 L A H O U I L L E B L A N C H E N « 3 - M A I 1 9 6 0

D E U X I È M E P A R T I E

EFFET DE PASSAGE D E LA H O U L E SUR U N SEUIL

C H A P I T R E I

P O S I T I O N E T M I S E E N É Q U A T I O N D U P R O B L È M E 1. Position du problème.

Les résultats essentiels de cette partie ont déjà été résumés dans [1].

Les développements de la première partie permettent de simplifier l'exposé de la théorie dont nous allons nous occuper. Les difficultés analytiques sont du m ê m e ordre; les énoncés des deux pro- blèmes aux limites sont connus. O n verra qu'au point de vue calcul, la différence ne porte que sur la rapidité de convergence des développements en série que nous aurons à utiliser; ce point est d'ailleurs important dans les applications.

Rappelons maintenant le schéma du mouvement. Il s'agit encore de déterminer, dans le cadre de l'approximation linéaire, dans le canal ouvert, comportant u n obstacle parallélépipédique S, le mouvement plan irrotationnel et périodique du liquide pesant, se réduisant à l'infini amont à la superposition de deux houles progressives, l'incidente et la réfléchie, et à l'infini aval à la houle transmise, se propageant dans le m ê m e sens que la houle incidente. Mais on suppose maintenant que S, ayant toujours la forme décrite dans la première partie, repose par une de ses faces sur le fond du canal et demeure constamment immergé.

FIE.

2

Presque toutes les notations de la première partie demeurent encore valables. Notons, toute- fois, que hn désigne ici (Cf. fig. 2) la cote de la face horizontale de S; D0 est maintenant le domaine : 0 g -v g h h» g z g h, situé au-dessus du seuil S. Pour I = 0, on obtient la configuration étudiée par Dean [Cf. (7)]. Nous nous proposons encore de définir dans le domaine D — D12 4- D0 4- D2, le potentiel des vitesses complexes du type :

<P= (x, z) eWirm*,

où * = $j 4- 2 dans D, 2, à $0 dans D0, à 3 dans D3. Les conditions à l'infini et aux limites le long de z = 0 et z — h comprises à 9 dans D12 et D3 étant identiques à celles de la première partie, on peut encore écrire :

4»! = A1 cosh mz e -m«

<K = A2 cosh mz emi:r 4- £ B„ cos <r„z c"«-x

(D (ï>3 == A3 cosh mz e»»'O-0 _|_ £ Gn cos <jnz E- « „ < » - 0

1

(I pian

en reprenant, pour la commodité du lecteur, les formules (3) et (4). L e potentiel ^ sera supposé donné a priori; rappelons que, c o m m e ci-dessus, on a posé :

4 , t 7 T2 = A2 = — g<sn tang «nh = — gV tang l'n (h — h0)

(15)

M A I 1960 - N " 3 K. T A K A N O 261

O n saiL d'autre part (point facile à vérifier directement au moyen de la méthode classique de séparation des variables de Fourier) que toute fonction harmonique assez régulière dans D0, véri- fiant les conditions de surface libre pour Z = h et de fond pour Z = h⁰, admet le développement de la forme :

il>0 = A4 cosh JA (z — h„) + A5 cosh y. (z — 7i0) t—i"-T + f {C„, e-y^ -+- D„ e^'^-V \ cos X'„ (z — 7i0), (2) î

où 2TC/;J. désigne la longueur d'onde de la houle linéaire, de la période T, se propageant en profondeur uniforme, égale à 7i — 7i0. Le problème consiste maintenant à exprimer, par la méthode d'Apte, que ces différentes formes de ? sont des prolongements analytiques l'une de l'autre à travers les segments x = 0, x=l, h⁰ = -z Si 7i. O n aura ainsi les conditions propres à déterminer les coefficients des développements de <t>², ³, ⁰ en fonction de <b^lm O n voit encore a priori que les coefficients inconnus An (n g: 2), B,„ C,„ D„(n = l, .. . oo) seront encore assujettis à vérifier des systèmes d'équations linéaires et homogènes.

Avant de passer aux calculs, notons la parenté de notre régime avec celui de Macagno : les expressions (1) et (2) de <p montrent qu'à une faible distance des bords verticaux de S le m o u v e m e n t dans D j o se réduit à u n clapotis partiel, résultant de la superposition de la houle incidente et réflé- chie et dans D³ à la houle transmise.

Enfin, signalons que les singularités du potentiel 9 le long des arêtes de S de cote z = 7i⁰ sont identiques à celles étudiées à propos du schéma de Macagno. Le présence de ces points singuliers n'empêche donc pas notre calcul d'être valable. Enfin, les points x = 0, z = 0 et x = 7, z = 0, en les- quels le fond présente des points anguleux, n'introduisent aucune difficulté, le potentiel y étant holo- morphe.

2. Mise en équation d u problème.

Ecrivons maintenant les conditions de raccordement des différentes expressions du potentiel le long des portions c o m m u n e s aux frontières de Dx 2, D0 e t 1)3» D0.

+ $2 = $ 0 x = 0, h⁰ Si z Ss h \ ( = 0 x = 0, 0 g ; z ^ / i^o 3

— (<i\ + *a) m

<~>x I = -—JL x = 0, h0 Si z si h [ dx

<l>⁽⁾ = ⁸ x = 1, 7i⁰ Si z si h 0 x = l, 0 si z Si 7i0

d

dx ) = - ^ s . x = [, /,„ £z^h

(3)

dx

D e la m ê m e manière que dans la première partie, les relations (1) à (3) donnent :

(A, + A

3

) l

7

= (Ai + A

2

) 1« + S B„ I

B

<»>, \

1

(C„ + D» e-*V) I0c») = (Ax + A2) I3(») + f Bs l4i».«>, (/1 = 1, 0 0 ) j

00 f

— mi (A¹ — A².) I^t = pu' (A⁴ — A^B) I„ — E K (Q — D„ e-*'„«) i³(«)^{( 4 )}

1

B»»» I2 ( , 1 ) = v-i (A4 — AB)

I <">

B — f X',, (C, — D , c-v.«) l4c. ») (n = 1, 0 0 ) 8=1

(A⁴ ev«

+ A

⁵ e-/"0

I

⁷

=

A31 , + f G„ V»>

1

(C„ e-*V + D.) I0W = A3 I8(») + S Gs L > » > (« = 1, , «»)

« = 1

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