STG Mercatique – Comptabilité Finance Polynésie 2007 - CORRIGE
Exercice 1
On rappelle que le montant a en euros, de chacune des n annuités dans le cas d’un emprunt à annuités constantes de E euros, avec un intérêt annuel de i est
( )
1 1 n
a E i
i −
= × − + .
Mais que signifie cette phrase !!!!
• Quand on fait un prêt, on paye, à la fin de chaque année : une part d’intérêt et une part de remboursement du capital emprunté.
Les annuités sont dites constantes lorsque la somme de ces deux parts est la même chaque année.
• L’énoncé ci-dessus signifie que si le montant emprunté est de E euros pendant n années, si le taux d’emprunt annuel est de i, alors le montant de chaque annuité est
( )
1 1 n
a E i
i −
= × − + .
Le montant de l’emprunt est ici E = 150.000 euros.
1. a. Durand choisit le taux A sur 15 ans : cad n = 15, i = 3.65%, E = 150000.
Le montant des annuités est donc
( )15
0.0365
15000 13163.1
1 1 0.0365
a= × − ≈
− + : les mensualités sont donc de
1096.92 12
a ≈ .
A la fin des 15 ans, Durand aura donc payé 15a≈197446 donc le coût du crédit est de 47446.2 . b. Feux choisit le taux B sur 20 ans : cad n = 20, i = 3.90%, E = 150000.
Le montant des annuités est donc
( )20
0.039
15000 10939.7
1 1 0.039
a= × − ≈
− + : les mensualités sont donc de
911.6 12
a ≈ .
A la fin des 20 ans, Durand aura donc payé 20a=218795 donc le coût du crédit est de 68795 .
2. Le taux d’endettement étant de 30%, le montant des mensualités du crédit ne doivent pas être supérieur à 30% du salaire de chacun.
a. Durand touche 3400 par mois : 30% de 3400 vaut 1020. Or ses mensualités devraient être de 1096 environ. Son dossier est donc refusé.
Feux touche 3100 par mois : 30% de 3100 vaut 930. Ses mensualités devraient être de 912 environ. Son dossier est donc accepté.
b. Vu que Durand touche plus que Feux, en choisissant les mêmes conditions de prêt que Feux, son dossier sera accepté, soit le taux B sur 20 ans.
Exercice 2
1. Entre 2003 et 2004, en Asie il y a une progression de 26%. On a donc P2004 =1.26P2003 =1.26 298 375.5× ≈
millions d’internautes.
2. Résumons la situation :
Il y a donc une hausse de 33.2% entre 2001 et 2002 : en 2002, il y a par conséquent
1.332 143.3 190.9× ≈ millions d’internautes.
3. Entre 2001 et 2004, en Amérique du Nord, il y a une hausse globale de 243 166.7 45.8%
166.7
t= − ≈ .
Vu qu’il y a 3 évolutions entre ces 4 années, le taux d’évolution annuel moyen T vérifie (1+T)3 = + ⇔ = +1 t T ( )1 t 13 − ⇔ ≈1 T 0.13 : il y a une hausse moyenne annuelle de 13% environ.
Entre 2001 et 2004, en Afrique, il y a une hausse globale de ' 31.2 8.4 271.4%
t = 8.4− ≈ . Vu qu’il y a 3 évolutions entre ces 4 années, le taux d’évolution annuel moyen T’ vérifie
(1+T' 1)3 = + ⇔t' T' 1= +( t' 1)13− ⇔T' 0.55≈ : il y a une hausse moyenne annuelle de 55% environ.
Nbre 143.3 Indice 100 133.2
1– Amérique Latine 2- Amérique du Nord 3- Europe 4- Asie 5- Afrique 4. Si l’évolution se poursuit dans chaque, P2005 = +(1 T Pm) 2004 :
En Amérique Latine : 47.3 1 2.4 48.4
× +100 ≈ millions.
En Amérique du Nord : 243 1 13 274.6
× +100 ≈ millions.
En Europe : 252.5 1 21 305.5
× +100 ≈ millions.
En Asie : 375.5 1 44 540.7
× +100 ≈ millions.
En Afrique : 31.2 1 55 48.4
× +100 ≈ millions.
La méthode choisie est peut être fiable pour des estimations proches (2005 par exemple) mais elle semble discutable pour des évolutions à plus long terme.
En effet, internet est une nouvelle technologie, avec de grandes fluctuations d’évolutions, et il semble délicat d’établir des prévisions fiables avec seulement 4 années de référence.
Exercice 3 1. Voici le tableau cherché :
2.
a. On a ( ) ( ) 294 42 0.894
329 47
C
nbre de B C p B nbre de C
= ∩ = = ≈ et ( ) ( ) 665 19 0.95
700 20
I
nbre de E I p E nbre de I
= ∩ = = = .
b. De même, ( ) ( ) 6
0.006 1000
nbre de B E p B E
total
∩ = ∩ = = et ( ) ( ) 665
0.665 1000 nbre de E I
p E I
total
∩ = ∩ = = .
c. La probabilité que le message soit indésirable sachant qu’il est éliminé est :
( ) ( ) 665 0.991
E 671
nbre de E I p I nbre de E
= ∩ = ≈ .
d. La probabilité que le message soit conservé et indésirable est :
( ) ( ) 35 0.035
1000 nbre de C I
p C I
total
∩ = ∩ = = .
665 35
700 300
294
6 671
329
Exercice 4 Partie I
1. On fabrique 10 montres au maximum en une journée (axe des abscisses).
2. Le coût de production de 3 montres est de 6 milliers d’euros.
Celui de 8 montres est d’environ 6500 .
3. Une recette de 6000 est obtenue pour la vente de 6 montres.
4. L’entreprise réalise des bénéfices lorsque la recette est supérieure au coût, cad lorsque la courbe des recettes est au dessus de la courbe coût, soit pour plus de 7 montres fabriquées et vendues (pour 6 montres, le bénéfice est nul).
Partie II
1. Le coût de production de 5 montres est de 5875 , celui de 14 montres est de 15280 . 2. Pour 12 montres, la recette est de 10 milliers d’euros.
3. Avec 6215 de coût de fabrication ,on fabrique 7 montres.
4. Pour que l’entreprise reste bénéficiaire, il faut que la recette reste supérieure au coût : cela a lieu lorsque la production de montre appartient à [7 ;12].
5. Dans la cellule B2, on rentre la formule « = 0.01*A2^3-0.135*A2^2+0.7*A2+4.2 » donc en copiant la formule :
en B18, il y a aura « = 0.01*A18^3-0.135*A18^2+0.7*A18+4.2 » en B19, il y a aura « = 0.01*A19^3-0.135*A19^2+0.7*A19+4.2 »
qui correspondent respectivement aux coûts de production de 16 et 17 montres.
Partie III Admettons que C x( ) 0.01= x3−0.135x2 +0.7x+4.5 et que R(x) = x.
1. Alors B x( )=R x( )−C x( )= −x
(
0.01x3−0.135x2 +0.7x+4.5)
= −0.01x3+0.135x2+0.3x−4.5.2. Par conséquent, B x'( )= −0.03x2 +0.27x+0.3.
Développons alors −0.03(x−10)(x+ = −1) 0.03
(
x2 −9x−10)
= −0.03x2+0.27x+0.3=B x'( ) !Donc on a bien B x'( )= −0.03(x−10)(x+1).
3. Dressons le tableau de variations de B :
4. Pour réaliser un bénéfice maximum, l’entreprise doit donc réaliser et vendre 10 montres.
x 0 10 17
-0.03 - - x+1 + + x-10 - 0 + B’(x) + 0 - B(x)
-4.5
2
-9.515
