BAC BLANC 2006SpécialitéDurée : 4 h 00

Terminale S Mathématiques

BAC BLANC 2006 Spécialité

Durée : 4 h 00

Aucun document ni formulaire n'est autorisé.

Calculatrice autorisée.

Exercice 1 : (4 points)

Le plan est rapporté à un repère orthonormal _{O ,}^i ,j : unité graphique : 4 cm.

On considère la fonction f définie sur ]0;∞[ par :

f x=lne^2x−1 .

On note   la courbe représentative de la fonction f dans le repère _{O ,}^i ,j

1. Déterminer la limite de f en 0 puis la limite de f en ∞ .

2. Déterminer la fonction dérivée de la fonction f. En déduire le sens de variation de f.

3. Démontrer que, pour tout nombre réel x > 0 :

f x=2 xln1−e^{−2 x} .

En déduire que la courbe   admet, en ∞ , une asymptote oblique notée  . 4. Étudier la position de  par rapport à  .

5. Déterminer les coordonnées du point d'intersection A de   avec l'axe des abscisses.

6. On appelle T la tangente à la courbe au point A. Déterminer une équation de T . 7. Tracer  ,  et T .

Exercice 2 : (4 points)

Dans un pays imaginaire, on admet qu'un jour donné, soit il fait beau, soit il pleut.

S'il fait beau un jour, alors il fera beau le jour suivant avec une probabilité égale à ¹ 2 . S'il pleut un jour, alors il pleuvra encore le lendemain avec une probabilité égale à ²

3 .

Aujourd'hui il pleut. On s'intéresse à la probabilité qu'il fasse beau demain, dans deux jours, dans trois jours, ..., dans n jours.

1. Pour n1 , on désigne par ^Bn l'événement « il fera beau dans n jours ».

a) Illustrer par un arbre pondéré l'évolution possible de la météo pour demain et après-demain.

Donner ^PB1 et calculer ^PB₂ .

b) Donner, pour n1 , les valeurs de P_BnB_n1 et P_BnB_n1 . Exprimer PB_n1∩B_n et PB_n1∩B_n en fonction de ^PB_n . En déduire que, pour n1 , on a : PB_n1=1

6 PB_n1 3 .

Lycée Dessaignes Page 1 sur 4

2. On pose désormais, pour n1 , ^pn=PB_n .

a) Démontrer, par récurrence, que pour tout n1 , on a p_n=−1

15×



^{1 6}



^{n−12 5 .}

b) Étudier le sens de variation de la suite p_n et démontrer que cette suite admet une limite que l'on calculera.

c) Á partir de quelle valeur de n a-t-on : 0,3999 p_n ?

Exercice 3 : (5 points)

Partie A

Le plan complexe (

P

) est rapporté à un repère orthonormal direct O ,u ,v . On considère les points A, B C et D d'affixes respectives

z_A=2i , z_B=12 i , z_C=63 i et z_D=−16 i 1. Représenter graphiquement A, B, C et D.

2. Démontrer qu'il existe une similitude directe f telle que : f A=B et f C=D .

Démontrer que cette similitude est une rotation d'angle ^

2 dont on précisera le centre.

3. Soit J le point d'affixe 35 i .

Démontrer que la rotation

R

de centre J et d'angle −

2 transforme A en D et C en B.

4. Soit I le point d'affixe 1i , soient M et N les milieux respectifs des segments [AC] et [BD].

Démontrer, en utilisant les résultats précédents, que IMJN est un carré.

Partie B

Soit f la similitude directe d'écriture complexe z '=i z2 . A tout point M (x , y ), elle associe le point M' (x' , y' ).

1. Démontrer que l'on a :

{

^{x 'y '=−y=x 2}

2. Soit la droite  d'équation cartésienne : 4x−3y1=0 .

a ) Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs (x, y) vérifiant 3y−4x=1 . En déduire l'ensemble ( E ) des points de  à coordonnées dans ℤ .

b ) Déterminer une équation de ' image de  par f.

c ) Déterminer l'ensemble ( F )des points de ' à coordonnées dans ℤ . d ) Soit M un point de ( E ) : f( M ) est-il un élément de ( F )?

?

Exercice 4 : (4 points)

Partie A

Démonstration de cours.

Soit (E) l'équation différentielle z '=a z avec a réel fixé.

Prérequis : La fonction xe^{a x} est solution de (E).

On considère la fonction g définie sur ℝ par gx=fxe^{−a x} . Démontrer que f est solution de (E) si et seulement si g est constante.

En déduire l'ensemble des solutions de (E).

Lycée Dessaignes Page 2 sur 4

Partie B

Le tableau suivant indique l'évolution de la masse corporelle d'un jeune goéland. L'âge est exprimé en jours après l'éclosion. La masse est exprimée en grammes.

âge 0 5 10 15 20 25 30 35 40

masse 97 150 273 455 631 796 900 935 970

1. Un biologiste propose de modéliser la croissance du goéland par la fonction ^m1 vérifiant l'équation différentielle suivante y 't=0,084 yt avec y0=97 .

Déterminer la solution ^m1 .

2. Un autre biologiste propose de modéliser la croissance du goéland par la fonction ^m2 vérifiant l'équation différentielle suivante E₀ : y 't=0,155 yt−155 ×10⁻⁶y²t avec

y5=150 . On pose z=1000

y .

a) Démontrer que y est solution de E₀ si et seulement si z est solution de E₁ : z 't=−0,155 zt0,155 .

b) Résoudre E₁ . En déduire la solution ^m2 .

c) Étudier les variations de la fonction ^m2 sur [0;∞[ .

d) Démontrer que la courbe représentative de la fonction ^m2 admet une asymptote en ∞ . 3. Sur l'annexe jointe sont représentés le nuage de points correspondant aux données du tableau et

les courbes représentatives des fonctions ^m1 et ^m2 . Quel est le meilleur modèle mathématique?

Exercice 5: (3 points)

1. Démontrer que, quels que soient les deux réels a et b distincts et strictement positifs, on a : ab

2 



^{ab .}

2. La courbe (

C

) est la courbe représentative de la fonction : xlnx .

On considère les points A et B de (

C

) d'abscisses respectives a et b.

On désigne par D le milieu de [AB] et par E le point de (

C

) d'abscisse ^ab 2 . Démontrer que le point E est au-dessus du point D quels que soient a et b.

On traduit cette propriété en disant que cette courbe est concave.

Lycée Dessaignes Page 3 sur 4

Annexe Exercice 4

Représentation du nuage de points, de ^m1 et de ^m2 .

Lycée Dessaignes Page 4 sur 4

âge masse