Exercice 1 : (8 points) extrait du bac (36min) Exercice 2 : (6 points) On considère la suite (

www.enneagone.jimdo.com Lycée Jules Supervielle 2021 M. Darnaudet Tle_Spécialité

DS_1H30 Suites et Récurrence

Exercice 1 : (8 points) extrait du bac (36min)

Exercice 2 : (6 points)

On considère la suite (𝑣_𝑛) définie par 𝑣₀ = 120 et pour tout entier naturel 𝑛 : 𝑣_𝑛+1 = 0,9𝑣_𝑛+ 4

1. Calculer 𝑣₁ , 𝑣₂ et 𝑣₃.

2. On pose, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑤_𝑛 = 𝑣_𝑛− 40.

Démontrer que la suite (𝑤_𝑛) est géométrique de raison 0,9.

3. En déduire l’expression de 𝑤_𝑛 en fonction de 𝑛, puis celle de 𝑣_𝑛 en fonction de 𝑛, pour tout entier naturel 𝑛.

4. Établir la valeur exacte de la somme des 100 premiers termes de la suite (𝑣_𝑛)

Suite au verso

www.enneagone.jimdo.com Lycée Jules Supervielle 2021 M. Darnaudet

Exercice 3 : (6 points)

On considère la suite (𝜑_𝑛) définie pour tout entier naturel strictement positif par 𝜑_𝑛 = 𝑒^𝑛

𝑛(𝑛 + 1) 1. On considère la fonction 𝑓 définie sur [1; +∞[ par

𝑓(𝑥) = 𝑒^𝑥 𝑥(𝑥 + 1) Justifier que pour tout nombre réel 𝑥 supérieur ou égal à 1

𝑓′(𝑥) =𝑒^𝑥(𝑥²− 𝑥 − 1) (𝑥² + 𝑥)²

2. Résoudre l’équation du second degré 𝑥²− 𝑥 − 1 = 0 En déduire les variations de la fonction 𝑓 sur [1; +∞[

3. Conclure sur les variations de la suite (𝜑_𝑛) pour tout entier 𝑛 ≥ 1

www.enneagone.jimdo.com Lycée Jules Supervielle 2021 M. Darnaudet Tle_Spécialité

DS_1H30 Suites et Récurrence _ correction

Exercice 1 : (8 points)

www.enneagone.jimdo.com Lycée Jules Supervielle 2021 M. Darnaudet

Exercice 2 : (6 points)

On considère la suite (𝑣_𝑛) définie par 𝑣₀ = 120 et pour tout entier naturel 𝑛 : 𝑣_𝑛+1 = 0,9𝑣_𝑛+ 4

1. Calculer 𝑣₁ , 𝑣₂ et 𝑣₃.

v₁ = 0,9 × v₀+ 4 = 0,9 × 120 + 4 = 𝟏𝟏𝟐 v₂ = 0,9 × 112 + 4 = 𝟏𝟎𝟒, 𝟖 v₃ = 0,9 × 104,8 + 4 = 𝟗𝟖, 𝟑𝟐

2. On pose, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑤_𝑛 = 𝑣_𝑛 − 40. Démontrer que la suite (𝑤_𝑛) est géométrique de raison 0,9.

Pour tout n ∈ IN, w_n+1= v_n+1− 40 = 0,9v_n+ 4 − 40 = 0,9v_n− 36 = 0,9(v_n− 40) = 0,9w_n On reconnaît la 𝐫𝐞𝐥𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞 𝐫é𝐜𝐮𝐫𝐞𝐧𝐜𝐞 𝐜𝐚𝐫𝐚𝐜𝐭é𝐫𝐢𝐬𝐭𝐢𝐪𝐮𝐞 𝐝^′𝐮𝐧𝐞 𝐬𝐮𝐢𝐭𝐞 𝐠é𝐨𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐪𝐮𝐞 de raison q = 0,9 3. En déduire l’expression de 𝑤_𝑛 en fonction de 𝑛, puis celle de 𝑣_𝑛 en fonction de 𝑛, pour tout

entier naturel 𝑛.

On a w₀ = v₀− 40 = 120 − 40 = 80

La relation fonctionnelle d^′une suite géométrique ∶ pour tout n ∈ IN, w_n = w₀× qⁿ donne ici 𝐩𝐨𝐮𝐫 𝐭𝐨𝐮𝐭 𝐞𝐧𝐭𝐢𝐞𝐫 𝐧𝐚𝐭𝐮𝐫𝐞𝐥 𝐧, 𝐰_𝐧= 𝟖𝟎 × 𝟎, 𝟗^𝐧

et comme v_n = w_n+ 40, il s^′en suit 𝐩𝐨𝐮𝐫 𝐭𝐨𝐮𝐭 𝐧 ∈ 𝐈𝐍, 𝐯_𝐧 = 𝟖𝟎 × 𝟎, 𝟗^𝐧+ 𝟒𝟎 4. Établir la valeur exacte de la somme des 100 premiers termes de la suite (𝑣_𝑛)

Il s^′agit ici de calculer ∑ v_n

𝑛=99

𝑛=0

= ∑ (w_n+ 40)

𝑛=99

𝑛=0

= ∑ w_n

𝑛=99

𝑛=0

+ ∑ 40

𝑛=99

𝑛=0

= ∑ w_n

𝑛=99

𝑛=0

+ 100 × 40 Or (w_n) est une suite géométrique de premier terme 80 et de raison 0,9

donc ∑ w_n

𝑛=99

𝑛=0

= 80 ×1 − 0,9¹⁰⁰

1 − 0,9 = 80 ×1 − 0,9¹⁰⁰ 0,1 = 80

0,1(1 − 0,9¹⁰⁰) = 800(1 − 0,9¹⁰⁰) et finalement, ∑ 𝐯_𝐧

𝒏=𝟗𝟗

𝒏=𝟎

= 𝟖𝟎𝟎(𝟏 − 𝟎, 𝟗^𝟏𝟎𝟎) + 𝟒𝟎𝟎𝟎 (proche de 4800)

www.enneagone.jimdo.com Lycée Jules Supervielle 2021 M. Darnaudet

Exercice 3 : (6 points)

On considère la suite (𝜑_𝑛) définie pour tout entier naturel strictement positif par 𝜑_𝑛 =_𝑛(𝑛+1)^𝑒𝑛 1. On considère la fonction 𝑓 définie sur [1; +∞[ par 𝑓(𝑥) = ^𝑒𝑥

𝑥(𝑥+1)

Justifier que pour tout nombre réel 𝑥 supérieur ou égal à 1, 𝑓′(𝑥) =^{𝑒𝑥(𝑥2−𝑥−1)}

(𝑥²+𝑥)²

f(x) = e^x

x(x + 1)= e^x

x²+ x est définie et dérivable sur [1; +∞[, f =u

v, avec u = e^x et v = x²+ x f^′= u^′v − uv^′

v² , avec u^′ = e^x et v^′= 2x + 1 f^′(x) =e^x(x²+ x) − e^x(2x + 1)

(x² + x)² = e^x((x²+ x) − (2x + 1))

(x²+ x)² = e^x(x²+ x − 2x − 1) (x²+ x)² et finalement, f′(x) = e^x(x²− x − 1)

(x² + x)²

2. Résoudre l’équation du second degré 𝑥²− 𝑥 − 1 = 0 En déduire les variations de la fonction 𝑓 sur [1; +∞[

∆= (−1)²− 4 × 1 × −1 = 5 > 0, donc deux solutions à l^′équation x²− x − 1 = 0 ∶ x₁= −(−1) − √5

2 × 1 = 1 − √5

2 ≈ −0,618 n^′appartient pas à l^′intervalle d^′étude [1; +∞[

x₂ = −(−1) + √5

2 × 1 =1 + √5

2 , le nombre d^′or, souvent noté φ (phi) ≈ 1,618 ∈ [1; +∞[

f^′(x) est le quotient du produit e^x × (x²− x − 1) par le carré (x² + x)²

e^x et (x²+ x)² sont strictements positifs sur [1; +∞[, donc f^′(x) est du signe de x²− x − 1

le coefficient du terme de plus haut degré du trinôme x²− x − 1 est 1 strictement positif donc la parabole représentant x²− x − 1 est tournée vers le haut

et le signe de x²− x − 1 est + 0 − 0 + Finalement sur [1; +∞[ :

𝑑é𝑡𝑎𝑖𝑙 𝑑𝑢 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑒 𝑑𝑒 f (1 + √5

2 ) 𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛

www.enneagone.jimdo.com Lycée Jules Supervielle 2021 M. Darnaudet

3. Conclure sur les variations de la suite (𝜑_𝑛) pour tout entier 𝑛 ≥ 1

Pour tout n ≥ 1, φ_n = f(n), donc φ_n est strictement croissante à partir de n = 2 puisque 1 + √5

2 ≈ 1,618 < 2 Et avant ∶ φ₁ = f(1) = e

2≈ 1,359 et φ₂= e²

6 ≈ 1,231

donc φ_n est décroissante sur ses deux premiers termes puis strictement croissante au delà de n = 2

ANNEXE

Calcul de la valeur exacte de f (1 + √5 2 ) ∶

f (1 + √5

2 ) = e^1+√52 1 + √5

2 (1 + √5 2 + 1)

= e^1+√52 1 + √5

2 (1 + √5 2 +2

2)

= e^1+√52 1 + √5

2 ×3 + √5 2

= e^1+√52

(1 + √5) × (3 + √5) 2 × 2

= e^1+√52 8 + 4√5

4

= e^1+√52

2 + √5 , 𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑗à 𝑝𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑜𝑛 𝑣𝑎 𝑎𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑝𝑙𝑢𝑠 𝑙𝑜𝑖𝑛

= e^1+√52

2 + √5×2 − √5

2 − √5 , 𝑙^′𝑖𝑛𝑡é𝑟ê𝑡 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑎î𝑡𝑟𝑒 𝑙^′𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑡é 𝑟𝑒𝑚𝑎𝑟𝑞𝑢𝑎𝑏𝑙𝑒 (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎² − 𝑏²

𝑎𝑢 𝑑é𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑓𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑎î𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑒 𝑠𝑦𝑚𝑏𝑜𝑙𝑒 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙 √

=(2 − √5)e^1+√52 2²− (√5)²

=(2 − √5)e^1+√52

4 − 5 =(2 − √5)e^1+√52

−1

= −(2 − √5)e^1+√52 = (√𝟓 − 𝟐)𝐞^{𝟏+√𝟓𝟐} , 𝑢𝑛𝑒 𝑗𝑜𝑙𝑖𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑒 …