Moto dei fluidi
Lezione 10
Caratterizzazione del moto
Consideriamo soltanto il caso di liquidi in moto nei condotti.
Parametri descrittivi del moto:
Portata Q di un condotto: è il volume di liquido che attraversa una sezione del condotto in 1 s.
In pratica: Q misura la quantità di liquido che fluisce attraverso una qualunque sezione del condotto in un
Leggi di conservazione
conservazione della massa costanza della portata In un condotto senza ingressi né uscite la portata si mantiene costante:
Q = S v = S’ v’
Dimensioni fisiche: [Q]=[L3 T-1]
Portata cardiaca
Qc = è il volume di sangue che attraversa in 1 secondo una sezione dell’aorta.
Tipicamente in un adulto Qc =5 litri/min=83 cm3/s.
Introducendo la frequenza cardiaca f = numero di battiti al secondo e la gittata sistolica Gs = volume di sangue
espulso dal ventricolo in ogni secondo si ha:
Qc= Gs f
Esercizio 1
Valutare la gittata sistolica in un adulto.
Assumiamo Qc =83 cm3/s e f=75 battiti/min=75/60 battiti/s=
1.25 battiti/s.
Si ha: Gs = Qc/ f =66.4 cm3/battito.
Esercizio 2
Calcolare la velocità media del sangue nell’aorta
utilizzando per la portata il valore Q=83 cm3/s e per il raggio dell’aorta r=1cm.
Si ha: v = Q/S = Q/( r2)= 83/(3.14) cm/s=26.4 cm/s.
Si noti che la velocità calcolata è una velocità media
rispetto al tempo perché il moto del sangue è pulsatile e non stazionario per cui la velocità cambia periodicamente nel tempo.
Liquidi ideali
Per un liquido ideale (incomprimibile e privo di attrito interno o viscosità) si ha:
conservazione dell’energia meccanica legge di Bernoulli.
PV+1/2 m v2+mgh= costante
P=pressione del liquido, V=volume della particella di
liquido, m=massa della particella, h=quota della particella rispetto ad un piano orizzontale di riferimento.
Conseguenze della legge di Bernoulli
In un liquido in un condotto orizzontale (h=fissata e costante) la legge di Bernoulli diventa
P (S h) +1/2 m v2 = costante V = S h
che è una relazione tra sezione del condotto, pressione e velocità del liquido.
Pertanto, se in una sezione del condotto aumenta la velocità (perché diminuisce la sezione) – in generale - diminuisce anche la pressione (effetto Venturi).
Attacco ischemico transitorio
Applicazioni biomediche
In un vaso sanguigno, un deposito alteroschelorotico sulle pareti fa aumentare la velocità per cui la pressione
dimuisce.
Viceversa nel caso di un aneurisma (dilatazione della parete arteriosa) la velocità del sangue diminuisce e la pressione aumenta, favorendo così ulteriori dilatazioni
.
Liquidi reali in moto in condotti cilindrici
Per descrivere il comportamento dei liquidi reali si
introduce il coefficiente di viscosità: che praticamente è una misura dell’attrito interno del liquido.
.
Legge di Hagen-Poiseuille
Consideriamo un liquido viscoso in moto in un condotto cilindrico di sezione costante di raggio R. Siano S0 ed S1 due sezioni distanti L tra loro e siano P0 la pressione nel liquido su S0 e P1 la pressione nel liquido su S1. La
portata del condotto è data dalla legge di Hagen- Poiseuille:
Q= R4 (P0-P1) / (8 L)
La portata è maggiore quanto maggiori sono la differenza di pressione tra gli estremi del condotto ed il raggio; si
riduce se aumenta la lunghezza tra gli estremi o la viscosità. Se P =P il liquido non fluisce.
Unità di misura della viscosità
Dalla legge di Hagen-Poiseuille
Q= R4 (P0-P1) / (8 L) si ha
m3 s-1= m4 Pa /([ ] m)= m3 Pa /[ ] da cui
[ ]= Pa s
Una unità pratica spesso utilizzata è il Poise (P):
1 P= 0.1Pa s
Legge di Hagen-Poiseuille
A parità di altre condizioni la legge di Hagen-Poiseuille
dipende fortemente dal raggio R; infatti R figura alla quarta potenza e dunque piccole variazioni di R provocano
anche grandi variazioni della portata.
R R / 2 Q Q / 16.
Questo fatto ha grande importanza per la regolazione della distribuzione del sangue nelle diverse parti del corpo a
seconda del momento. Infatti il sistema arterioso è
costituito da condotti le cui pareti dispongono di uno strato muscolare: la contrazione o il rilascio di questo strato
determina una variazione del raggio del vaso e pertanto
Il sangue
Il sangue non è un liquido omogeneo ma è costituito da una componente corpuscolare (per lo più eritrociti)
immersa in una soluzione acquosa di sali e molecole
organiche detto plasma. La viscosità del sangue dipende fortemente dalla componente corpuscolare ed aumenta al crescere dell’ematocrito (volume percentuale di sangue occupato dagli eritrociti).
Per valori normali di ematocrito la viscosità del sangue è circa 4 10-3 Pa s mentre quella del plasma intorno è
circa1.5 10-3 Pa s.
Legge dei gas
Per via dell’agitazione termica, nei gas le particelle hanno distanze medie molto grandi; pertanto le forze
intermolecolari sono praticamente nulle ed ogni particella è praticamente indipendente dalle altre.
Mancando le forze intermolecolari un “corpo” (insieme di particelle) non può restare insieme.
Se si vuole che ciò avvenga occorre confinarlo in un certo volume.
Modificando questo volume poi il gas si adatta mostrando variazioni di altre grandezze che lo caratterizzano: pressione, temperatura, etc.
Gas perfetti
Nei gas molto rarefatti, cioè con densità molecolare molto bassa, le molecole sono così distanti l’una dall’altra da poter essere considerate non interagenti. In queste
condizioni il comportamento di un gas non dipende dalle molecole di cui esso è composto, ovvero caratterizza un gas perfetto o ideale.
La legge (equazione di stato) che lega P,V,T in un gas perfetto è la seguente:
P V = n R T
P = pressione, V = volume, n = numero di moli,
Esercizio
Casi particolari
L’equazione di stato dei gas perfetti nei casi particolari di pressione, volume o temperatura costante si riduce alle forme seguenti:
P=costante Legge di Charles-Gay Lussac V=V0(1+ T), =1/273,
V=costante Legge di Volta-Gay Lussac P=P0(1+ T),
T=costante Legge di Boyle
Miscele
Quanto detto finora vale per un gas costituito da una sola specie molecolare. Per una miscela (più specie molecolari) valgono considerazioni analoghe; ad esempio la pressione a livello microscopico è sempre dovuta agli urti contro le pareti del recipiente ma ogni specie molecolare dà il
proprio contributo. Si introduce pertanto il concetto di pressione parziale.
L’aria che respiriamo è una miscela di azoto (78%), ossigeno (20.9%), argon (0.9%), anidride carbonica (0.2%).
