APPRIVOISER L’ESPACE ET LE MONDE DES FORMES
Math & Sens
Mathématiques sur le terrain
INTRODUCTION : PRINCIPES MÉTHODOLOGIQUES ET
LIENS AVEC LE TERRAIN
Travailler dans le vrai espace avant de travailler dans un espace restreint et sur feuille
Percevoir les notions géométriques dans
l’environnement, les mathématiser à l’école
Appréhender les notions spatiales par le corps et avec tous ses sens
Manipuler du matériel varié, le faire parler pour se construire des images mentales
Explorer longtemps et de diverses manières le monde des formes avant de l’organiser
Aborder des familles de formes,
dynamiquement, établir des liens, dégager des régularités
Anticiper, pratiquer des gestes mentaux puis vérifier par l’action
Recourir à des croquis approximatifs pour raisonner, résoudre une situation
« Intuitionner» des faits géométriques mais chercher des preuves, argumenter
Utiliser du vocabulaire, des symboles familiers et cheminer vers la rigueur mathématique
INTRODUCTION : PRINCIPES
MÉTHODOLOGIQUES
INTRODUCTION : PRINCIPES MÉTHODOLOGIQUES
FOCUS sur
Percevoir les notions géométriques dans l’environnement, les mathématiser à l’école
Exemple : notion de base et hauteur
LA NOTION DE BASE ET HAUTEUR
Pour vous, qu’est-ce qu’une hauteur ? Qu’est-ce qu’une ou des base(s) ?
Des idées très diverses surgissent -C’est le point culminant, tout en haut
- C’est une mesure de longueur qui se prend verticalement - C’est entre le point le plus bas et le point le plus haut
- C’est un axe vertical -…
- Une base c’est sur ce quoi est posé l’objet - C’est en dessous
- C’est un élément de stabilité -….
LA NOTION DE BASE ET HAUTEUR
En groupes de trois, donnez la définition mathématique et un dessin de
(1) la hauteur d’un triangle
(2) la hauteur d’un polyèdre
(3) la hauteur d’un quadrilatère
Confrontez vos écrits et dessins: sont-ils pareils, différents, est-ce compliqué, pourquoi?
Intenses discussions entre les participants…
- Certains parlent de segment, d’autres de droite, de demi-droite, d’axe…avis différents sur les mots et sur la notion derrière.
- Certains parlent de grandeurs et d’autres de géométrie.
- On n’est plus sûr de pouvoir cerner la hauteur de tout polyèdre, de tout quadrilatère.
- Que faut-il dire la hauteur, une hauteur, il y en a plusieurs possibles souvent…mais quand…
LA NOTION DE BASE ET HAUTEUR
Pensez aux situations de l’environnement
signalant des hauteurs et exprimez ce qu’est une hauteur dans la vie quotidienne.
- La plupart pense que dans le quotidien la hauteur est une verticale, ou la longueur de cette verticale, liant le point le plus haut de l’objet
considéré au sol.
ACTIVITÉ 9.1 . REPÉRONS,
MESURONS DES HAUTEURS DE SOLIDES ET DE SURFACES
Consignes 1
- Prenez un solide et un instrument, éventuellement plusieurs par groupe, repérez et mesurez sa hauteur.
Lorsque c’est fait, rapportez le solide et l’instrument et prenez-en d’autres pour réaliser cette même recherche.
- Recherche en posant l’objet sur le plan de la table puis sur un plan incliné
Consigne 2
- Par groupe, présentez votre façon de repérer et mesurer la hauteur d’un solide.
Exemples d’objets Exemples d’instruments
Les objets pris, posent quasi tous question…les instruments se multiplient…cela discute ferme! Voici quelques exemples de questions…
On peut le mettre dans sa position classique ou à l’envers. Mais si on le pose sur une face
trapèze…c’est quoi la hauteur?
Comment capturer la hauteur d’une balle?
C’est un diamètre.
Il faut une planche par- dessus parfaitement horizontale, il faut vérifier avec 2 niveaux Et sur plan oblique?
Puis comment capturer la hauteur entre 2
points diamétralement opposés?
Comment poser un octaèdre?
Envie de dire que la hauteur c’est le
segment joignant les deux sommets
pyramidaux. Mais sur ces pointes, il ne tient pas. Posé sur une face triangulaire, il tient mais a-t-on une hauteur?
ACTIVITÉ 9.1 . REPÉRONS,
MESURONS DES HAUTEURS DE SOLIDES ET DE SURFACES
Consigne 3
- Triez les objets en « solides dont il est facile de mesurer la hauteur » et « solides dont il est
difficile de mesurer la hauteur ». Justifiez.
- Par exemple les prismes droits vont dans la catégorie « facile » car la hauteur est repérable par une arête latérale, il suffit de la mesurer en y posant une latte graduée.
- ….
ACTIVITÉ 9.1 . REPÉRONS,
MESURONS DES HAUTEURS DE SOLIDES ET DE SURFACES
Démarches d’enfants
Usage de la latte uniquement
ACTIVITÉ 9.1 . REPÉRONS,
MESURONS DES HAUTEURS DE SOLIDES ET DE SURFACES
Démarches d’enfants
Usage de deux lattes puis d’un niveau et d’une latte
Plusieurs groupes trouvent la procédure suivante :
- une latte posée sur le dessus du solide et
- une autre latte placée debout.
Mais, ce n’est pas facile de bien mettre une latte à plat au-dessus!
ACTIVITÉ 9.1 . REPÉRONS,
MESURONS DES HAUTEURS DE SOLIDES ET DE SURFACES
Démarches d’enfants
Il faut utiliser un niveau!
- Peut-on placer la latte qui sert à mesurer comme on veut ?
- Non, il faut qu’elle soit « bien droite » verticale.
- Comment être certain que la latte est verticale ?
ACTIVITÉ 9.1 . REPÉRONS,
MESURONS DES HAUTEURS DE SOLIDES ET DE SURFACES
Démarches d’enfants
En utilisant une équerre!
Il en faudrait même une deuxième.
ACTIVITÉ 9.1 . REPÉRONS,
MESURONS DES HAUTEURS DE SOLIDES ET DE SURFACES
Démarches d’enfants
Et si ce n’était pas plat en dessous du solide ?
ACTIVITÉ 9.1 . REPÉRONS,
MESURONS DES HAUTEURS DE SOLIDES ET DE SURFACES
Démarches d’enfants
On met le niveau horizontal.
Mais les autres disent que ça ne va pas. On voit qu’on n’aura pas la même hauteur d’un côté de la pyramide ou de l’autre.
- Il faut que le niveau soit parallèle.
- C’est ce que j’avais fait dit Donovan.
- Oui, mais tu n’as pas besoin du niveau puisque
c’est oblique. Tu aurais pu prendre une latte.
ACTIVITÉ 9.1 . REPÉRONS,
MESURONS DES HAUTEURS DE SOLIDES ET DE SURFACES
Démarches d’enfants
Il faut placer deux lattes verticalement de chaque côté de la boite.
Puis on place une latte horizontalement sur le dessus de la boite
elle ne peut pas être horizontale sinon on n’a pas la même hauteur de chaque côté de la boite.
Il faut donc qu’elle soit oblique ! Mais oblique comment ?
Il faut que ce soit parallèle à la planche qui est oblique.
ACTIVITÉ 9.1 . REPÉRONS,
MESURONS DES HAUTEURS DE SOLIDES ET DE SURFACES
Démarches d’enfants
Placer les lattes verticalement.
Est-ce que ça ira ? Pourquoi ?
- Non on voit bien qu’il y aura un côté plus court que l’autre.
- On voit que la hauteur de ce côté-ci ne serait pas la même que de ce côté-là.
Comment auriez-vous envie de positionner les lattes ?
ACTIVITÉ 9.1 . REPÉRONS,
MESURONS DES HAUTEURS DE SOLIDES ET DE SURFACES
Démarches d’enfants
Un enfant vient les placer (à peu près perpendiculairement).
Les autres sont d’accord sauf un ou deux qui disent qu’il faut les pencher un tout petit peu plus à gauche ou à droite.
Vous avez raison, c’est à peu près comme ça que les lattes devraient être.
Regardez-les par rapport à la planche.
Voyez-vous quelque chose de particulier ?
- Oui, ça fait peut-être un angle droit.
ACTIVITÉ 9.1 . REPÉRONS,
MESURONS DES HAUTEURS DE SOLIDES ET DE SURFACES
Démarches d’enfants
D’autres situations, d’autres essais pour arriver au concept mathématique d’une perpendiculaire entre deux
parallèles.
RESTRICTION DE CETTE NOTION DE BASE ET HAUTEUR EN MATHÉMATIQUE
Notions utiles pour calculer des aires et des volumes
Conception dynamique de ces grandeurs empilements
On restreint la notion de base
RESTRICTION DE CETTE NOTION DE BASE ET HAUTEUR EN MATHÉMATIQUE
Pour les parallélogrammes, prismes et cylindres Une hauteur, au sens géométrique du terme,
est un segment de droite perpendiculaire à deux côtés ou deux faces parallèles isométriques qui sont les bases.
RESTRICTION DE CETTE NOTION DE BASE ET HAUTEUR EN MATHÉMATIQUE
Pour les triangles, les pyramides, les cônes
(empilements de mêmes tranches semblent impossibles)
Une hauteur, au sens géométrique du terme, est le segment de droite issu du sommet qui tombe
perpendiculairement sur le côté ou la face opposée qui est alors la base de ces formes.
Pour les autres formes, on décompose
RESTRICTION DE CETTE NOTION DE BASE ET HAUTEUR EN MATHÉMATIQUE
Dans tous les cas
Hauteur et base(s) en mathématique sont des
notions plus restrictives, en cohérence avec le sens large au quotidien.
La hauteur est un segment perpendiculaire entre deux parallèles (portions de plans ou droites).
ET EN CLASSE ?
Qu’est ce qui est commun à toutes ces situations ?
ET EN CLASSE ?
Bases et hauteurs avant 8 ans ?
ET EN CLASSE ?
Bases et hauteurs dans les surfaces
ET EN CLASSE ?
Bases et hauteurs dans les surfaces
ET EN CLASSE ?
Bases et hauteurs dans les surfaces
ET EN CLASSE ?
Bases et hauteurs dans les surfaces
QUELS PRINCIPES MÉTHODOLOGIQUES ONT ÉTÉ ILLUSTRÉS DANS CET ATELIER ?
Travailler dans le vrai espace avant de travailler dans un espace restreint et sur feuille
Percevoir les notions géométriques dans
l’environnement, les mathématiser à l’école
Appréhender les notions spatiales par le corps et avec tous ses sens
Manipuler du matériel varié, le faire parler pour se construire des images mentales
Explorer longtemps et de diverses manières le monde des formes avant de l’organiser
Aborder des familles de formes,
dynamiquement, établir des liens, dégager des régularités
Anticiper, pratiquer des gestes mentaux puis vérifier par l’action
Recourir à des croquis approximatifs pour raisonner, résoudre une situation
« Intuitionner» des faits géométriques mais chercher des preuves, argumenter
Utiliser du vocabulaire, des symboles familiers et cheminer vers la rigueur mathématique
