  Evaluation Evaluation Evaluation Evaluation ---- Correction Correction Correction Correction

Seconde 3

Nom : Prénom :

Evaluation Evaluation Evaluation

Evaluation ---- Correction Correction Correction Correction

Exercice 1

On considère les fonctions f et g définies sur Ë par : f(x)=(x−2)(3x+1) et g(x)=9x²+6x+1

1- Etudier le signe de f(x) en fonction des valeurs de x et en déduire la position relative de Cf par rapport à l’axe des abscisses.

┐x, f(x)=0ñx−2=0 ou 3x+1=0 ñ x=2 ou x=-1 3

x −∞ -1

3

2 +∞

x−2 - - 0 +

3x+1 - 0 + +

f(x) + 0 - 0 +

donc



 

f

 -¹

3 =f(2)=0 f(x)>0ñx☻





 -õ;-¹

3 ∟]2;+õ[

Donc C_f est strictement au dessus de l’axe des abscisses sur





 -õ;-1

3 et sur ]2;+õ[, strictement en dessous l’axe des abscisses sur





 -1 

3;2 et coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisses –1

3 et 2.

2- Etudier le signe de g(x)−1 en fonction des valeurs de x et en déduire la position relative de C_g et de la droite ^D d’équation y=1.

┐x, g(x)−1=9x²+6x=3x(3x+2)

Donc g(x)=0ñ3x=0 ou 3x+2=0 ñ x=0 ou x=-2 3

x −∞ -2

3

0 +∞

3x - - 0 +

3x+2 - 0 + +

g(x)-1 + 0 - 0 +

donc



 

g

 -²

3 =g(0)=0 g(x)<0ñx☻





 -² 

3;0

Donc C_g est strictement au dessus de ^D sur





 -õ;-2

3 et sur ]0;+õ[, C_g strictement en dessous de D sur





 -2

3;0 , et C_{g et} D se coupent aux points d’abscisses –2 3 et 0.

3- Après avoir réalisé une étude de signe, déterminer les positions relatives de courbes C_f et C_g.

┐x, f(x)−g(x)=(x−2)(3x+1)−

(

)

=(3x+1)[x−2−(3x+1)]=(3x+1)(x−2−3x−1)=(3x+1)(-2x−3) donc f(x)−g(x)=0ñ3x+1=0 ou –2x−3=0 ñ x=-1

3 ou x=-3 2

x −∞ -3

2 -1

3

+∞

3x+1 - - 0 +

-2x−3 + 0 - -

f(x)−g(x ) - 0 + 0 -

donc



 

f(x)−g(x)=0ñx☻







-³ 

2;-¹ 3 f(x)−g(x)>0ñx☻





 -³ 

2;-¹ 3

donc C_f est strictement en dessous de C_g sur ]-õ;-3.2[ et sur





 -1 

3;+õ , C_f est strictement au dessus de C_g sur





 -3 

2;-1

3 et, C_f coupe C_g aux points d’abscisses –3 2 et –1

3 . Exercice 2

Résoudre dans Ë, x+2 3x−1>1

Recherche des valeurs interdites : 3x−1ý0ñxý1

3. Soit E=Ë\









1 3 Sur E, x+2

3x−1>1 ñ x+2

3x−1−3x−1

3x−1>0 ñ x+2−3x+1

3x−1 >0 ñ -2x+3 3x−1 >0 Or, -2x+3=0ñx=3

2

x −∞

1 3

3

2 +∞

-2x+3 + + 0 -

3x−1 - 0 + +

-2x+3

3x−1 - + 0 -

Donc l’ensemble des solutions de l’inéquation x+2

3x−1>1 est S=







 1 3;3

2 Exercice 3

Avec la précision permise par le graphique, déterminer la position relative de la courbe C_f par rapport à C_g F05

D’après la précision permise par le graphique,C_f est strictement au dessus de C_g sur ]-2;2[ et sur ]3;+õ[, C_f est strictement en dessous de C_g sur ]-õ;-2[ et sur ]2;3[ et C_f coupe C_g aux points d’abscisses –2, 2 et 3.

Cf Cg

2 3

-1 -2

2 3 4 5 6 7 8

-1 -2 -3

0 1

1 y