Lyc´ee Paul Constans, Montlu¸con, PTSI, 2017-2018 Programme de colle semaines 20 et 21 - du 12/03 au 23/03 1
Programme de colle semaines 20 et 21 - du 12/03 au 23/03
Questions de cours
• Donner les crit`eres `a v´erifier pour montrer que F est un sous-espace vectoriel de (E,+,·).
• Une question proche du cours.
Chapitre 19. Ensembles finis et d´ enombrement.
Reprise du programme pr´ec´edent.
Chapitre 20. Rudiments d’arithm´ etique dans N .
I) Divisions
Multiples et diviseurs d’un entier.
Propri´et´es.
R´eflexivit´e, antisym´etrie, transitivit´e.
Sia|b alors a|bc.
Sia|b eta|c alors a|(b+c).
Division euclidienne dans N. Algorithme d’Euclide.
PGCD de deux entiers naturels non nuls, notations a∧b = pgcd (a, b). C’est le plus grand entier naturel pour la relation6 qui divise a et b.
Proposition.
Le PGCD est le dernier reste non nul obtenu en appliquant l’algorithme d’Euclide `aa et b.
En notant D(n) les diviseurs de n pourn∈N, on a D(a)∩D(b) = D(a∧b), ie∀d∈N, d|a et d|b⇐⇒d|(a∧b).
Cette propri´et´e caract´erise le pgcd, ie si n∈N v´erifie ∀d∈N, d|a etd|b ⇐⇒d|n, alors n=a∧b.
Cons´equence. Le PGCD est aussi le plus grand entier naturel pour la relation de divisibilit´e qui divise a et b.
Propri´et´e. pgcd(ka, kb) = kpgcd(a, b).
Cons´equence. On peut factoriser a et b par leur pgcd δ, en a=δa0, b=δb0, et pgcd(a0, b0) = 1.
PPCM, notationsa∨b= ppcm (a, b). C’est le plus petit entier naturel pour la relation 6 qui est un multiple dea et de b.
Proposition. En notant M(n) les multiples de n pourn∈N, on a M(a)∩M(b) = M(a∨b), ie∀m ∈N, a|m etb|m ⇐⇒(a∨b)|m.
Cette propri´et´e caract´erise le ppcm, ie sin∈N v´erifie ∀m∈N, a|m et b|m⇐⇒n|m, alors n=a∨b.
Cons´equence. Le ppcm est aussi le plus petit entier naturel pour la relation de divisibilit´e qui est multiple de a et de b.
Exercice. Montrer que ∀(a, b)∈N∗2, (a∧b)(a∨b) = ab.
Lyc´ee Paul Constans, Montlu¸con, PTSI, 2017-2018 Programme de colle semaines 20 et 21 - du 12/03 au 23/03 2 Preuve. Notons µ=a∨b et d= ab
µ. Soit n∈N. On a biend ∈N, de plus, n|a
n|b ⇐⇒
na|ab nb|ab ⇐⇒
n|ab a|ab n b|ab
n
⇐⇒
n|µd a|µd n b|µd
n
⇐⇒
( n|µd µ|µd n
⇐⇒n|d; d’o`u d= pgcd (a, b).
II) Nombres premiers
D´efinition d’un nombre premier.
Proposition.
Sin ∈Navec n>2 n’est pas premier, alors il existe un nombre premier ptel que p|n et p2 6n.
Crible d’Eratosth`ene.
Existence et unicit´e de la d´ecomposition d’un entier sup´erieur ou ´egal `a 2 en produit de facteurs premiers (th´eor`eme admis).
N Les points suivants sont hors programme en fili`ere PTSI. La relation de B´ezout, les entiers pre- miers entre eux, le lemme de Gauss, le vocabulaire valuation p-adique, les congruences, l’arithm´etique dans Z.
N La caract´erisation de la divisibilit´e en termes de valuations p-adiques et l’expression du PGCD et du PPCM `a l’aide des valuations p-adiques ont ´et´e vues, mais hors programme.
Chapitre 21. Espaces vectoriels.
I) Structure de K-espace vectoriel.
D´efinition.
Exemples Kn,KΩ, EΩ o`u E est unK-espace vectoriel,RI,RN,Mn,p(K) qui est unKnp ´ecrit comme un tableau et non horizontalement.C est unR-espace vectoriel. Si E est un C-espace vectoriel, c’est aussi unR-espace vectoriel.
Combinaison lin´eaire d’un nombre fini de vecteurs.
II) Sous-espaces vectoriels
D´efinition, caract´erisation par : F⊂E ; F6=∅ ; ∀(x, y)∈F2 ∀λ ∈K λ·x+y∈F.
Stabilit´e par combinaison lin´eaire.
Exemples. {OE}, E, droites et plans. Les espaces Ck(I,R), les fonctions paires, impaires, les matrices triangulaires sup´erieures, diagonales, sym´etriques, antisym´etriques. Les suites convergentes (ie admettant une limite finie, r´eelle). Ensemble des solutions d’un syst`eme lin´eaire homog`ene, d’une
´equation diff´erentielle lin´eaire homog`ene.
Intersection (quelconque) de sous-espaces vectoriels \
i∈I
Fi.
NPour cette ann´ee en PTSI, on peut se restreindre dans la suite `a une partie finie X ={x1, . . . , xn}.
Il est cependant int´eressant de comprendre que les fonctions polynomiales sans borne sur leur degr´e est le Vect d’une partie infinie.
Sous-espace engendr´e par une partie X⊂E. C’est l’intersection des sous-espaces vectoriels de E contenant X. C’est le plus petit (pour l’inclusion) sous-espace vectoriel de E qui contient X.
Pour X ={x1, . . . , xn}, d´efinition de Vect (X), l’ensemble des combinaisons lin´eaires de x1, . . . , xn. C’est le sous-espace vectoriel engendr´e par X.
Lyc´ee Paul Constans, Montlu¸con, PTSI, 2017-2018 Programme de colle semaines 20 et 21 - du 12/03 au 23/03 3 On obtient une autre technique pour montrer que F est un sous-espace vectoriel, en le d´ecrivant comme un Vect.
Exemples. Trouver une ´equation de plan de l’espace d´ecrit comme Vect ((2,0,1),(1,−1,0)) de deux vecteurs non colin´eaires, en ´eliminant (a, b) dans ∃(a, b)∈R (x, y, z) = a(2,0,1) +b(1,−1,0)
Les fonctions polynomiales de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2 surR,
F ={x7−→ax2+bx+c; (a, b, c)∈R3}= Vect (f0, f1, f2)
Br`eve extension `a une partie quelconque X, Vect (X) est l’ensemble des combinaisons lin´eaires d’un nombre fini x1, . . . , xn d’´el´ements de X. C’est le sous-espace vectoriel engendr´e par X.
Exemples. Les fonctions polynomiales sur Rsont F = Vect x7−→xk ; k ∈N . Le sous-espace vectoriel G = Vect (x7−→cos(kx);x7−→sin(kx) ; k ∈N).
Il contient les fonctionsx7−→cosn(x) etx7−→sinn(x), on obtient une d´ecomposition en les lin´earisant.
