Analyse II, partie 1 Année académique 2016-2017 2e Bloc Mathématique et Physique
Travail dirigé 2
— Exercices de base —
Exercice 1.Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.
(a) Il existe une fonctionf intégrable surRtelle que
F−y f = y2
1 +y2, y∈R.
(b) Sif est une fonction intégrable surRtelle que sa transformée de Fourier est intégrable surR, alorsf est borné (presque partout) surR.
(c) Le produit d’une fonction de carré intégrable sur R par sa transformée de Fourier est intégrable surR.
Exercice 2.Calculer la transformée de Fourier des fonctionsf etg données par f(x) =e−|x|, g(x) =e−xχ]0,+∞[(x).
Exercice 3.Soient les fonctionsf,g ethdéfinies explicitement par
f(x) =iπsin(x)χ[−π,π](x), g(x) = 1−cos(x)
x et h(x) =sin(πx) x2−1 .
Montrer quef est continu surRet que g ethse prolongent continûment sur R. Déterminer si possible la transformée de Fourier de ces fonctions. Préciser à chaque fois s’il s’agit d’une transformée de Fourier de fonction intégrable ou de fonction de carré intégrable.
Exercice 4.Pour touta∈R0, calculer si possible la valeur de l’intégrale Z +∞
0
cos(x) sin(x) x(x2+a2) dx.
Exercice 5.Soienta, b∈Rtels queb > a >0. Soit la fonctionf définie par f(x) = arctg(ax)−arctg(bx), x∈R. (a) La fonctionf est-elle intégrable ? De carré intégrable ?
(b) Déterminer si possible la transformée de Fourier de Df.
(c) En déduire si possible la transformée de Fourier def.
Exercice 6.Soit la fonction impairef définie sur [−π, π]parf(x) =x(π−x)six∈[0, π].
(a) Développer si possible cette fonction en série trigonométrique de Fourier sur[−π, π]. Exprimer votre réponse en utilisant uniquement des fonctions sinus et cosinus et simplifier au maximum vos calculs.
(b) En déduire la somme des séries
+∞
X
m=0
(−1)m
(2m+ 1)3 et
+∞
X
m=0
1 (2m+ 1)6.
Exercice 7.Pour toutm∈N0, on pose
fm(x) =
√m
1 +m2x2, x∈R.
(a) Déterminer l’ensembleAdes réels sur lequel cette suite converge ponctuellement ainsi que sa limite.
(b) Etudier la convergence uniforme de cette suite surAet sur les fermés bornés inclus dansA.
(c) Etudier la convergence de cette suite surApour les normes||.||1et ||.||2.
Exercice 8.Soit la fonctionf définie sur Rparf(x) =ecxχ]0,+∞[(x)oùc est un paramètre complexe.
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(a) Déterminer si possible le produit de convolutionf ? f en tout point deR.
(b) Pour quelles valeurs complexes decla fonction f ? f est-elle intégrable surR? Justifier.
— Autres exercices—
Exercice 9.Soitf ∈C1([0,2π])une fonction à valeurs réelles telle quef(0) =f(2π)et R2π
0 f(t)dt= 0.
(a) Montrer que
Z 2π
0
(f(t))2dt≤ Z 2π
0
(Df(t))2dt.
(b) Montrer que l’égalité a lieu si et seulement sif =acos +bsinaveca, b∈R.
Exercice 10.Pour toutt >0, on poseft(x) =xt−1e−xχ]0,+∞[(x),x∈R.
(a) Pour toutt >0, montrer que la fonction Ft=F−ft est dérivable surRet vérifie surR l’équation différentielle
DξFt(ξ) + it
1 +iξFt(ξ) = 0.
(b) En déduire que, pour toutt >0, on a
Ft(ξ) = Γ(t) exp
−t 1
2 ln(1 +ξ2) +iarctg(ξ)
, ξ∈R.
(c) Montrer que, pour touss, t >0, on a fs
Γ(s)? ft
Γ(t) = fs+t
Γ(s+t) presque partout surR.
F. Bastin & C. Dubussy – 5 décembre 2016
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