1. Écrire la négation de la phrase suivante :

(1)

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017

1 Test sur le kit de démarrage Dix questions

1. Écrire la négation de la phrase suivante :

∀ x ∈ R, (x

²

6 9 = ⇒ − 5 6 x 6 6).

2. Les phrases suivantes sont-elles vraies ?

(a) ∀ x ∈ R, ∃ y ∈ R, x + y

²

= 0 (b) ∀ y ∈ R, ∃ x ∈ R, x + y

²

= 0.

3. Calculer 23 + 26 + 29 + · · · + 287 + 290.

4. Calculer X

n i=0

1 5

³ⁱ⁻²

. 5. Calculer X

106i<j630

1. 6. Calculer X

n k=1

n + 1 k

3

^k

.

7. On pose S = X

50 k=20

k 3

. Calculer

²⁰₄

+ S. En déduire S.

8. Soit X et Y deux parties d’un ensemble E. Simplifier X ∩ Y ∪ (X ∩ Y ).

9. Combien de mots de 5 lettres peut-on écrire ?

10. Combien de triangles peut-on construire avec 100 points deux à deux distincts ?

(2)

2

Le corrigé

1. Écrire la négation de la phrase suivante :

∀ x ∈ R, (x

²

6 9) = ⇒ − 5 6 x 6 6).

Attention la négation de l’assertion A = ⇒ B est A et non B. La négation de la phrase demandée est donc :

∃ x ∈ R, (x

²

6 9) et ( − 5 > x ou x > 6).

2. Les phrases suivantes sont-elles vraies ?

(a) ∀ x ∈ R, ∃ y ∈ R, x + y

²

= 0 (b) ∀ y ∈ R, ∃ x ∈ R, x + y

²

= 0.

La première phrase est fausse, car si elle est vraie, alors en particulier pour x = 1, il existe un réel y tel que 1 + y

²

= 0, ce qui est impossible car y

²

> 0 et donc 1 + y

²

> 1 ne peut être égal à 0.

La deuxième phrase est vraie. En effet, soit y ∈ R, on pose x = − y

²

, et alors on a bien x + y

²

= 0.

3. Calculer 23 + 26 + 29 + · · · + 287 + 290.

Cette somme peut s’écrire P

89

k=0

(3k + 23). C’est une somme arithmétique de 90 termes. Elle vaut

²³⁺²⁹⁰₂

× 90 = 14085.

4. Calculer X

n i=0

1 5

³ⁱ⁻²

.

On se ramène à une somme géométrique X

n

i=0

1

5

³ⁱ⁻²

= 25 X

n i=0

1 5

³

ⁱ

= 25 1 − (1/125)

ⁿ⁺¹

1 − 1/125 . 5. Calculer S = X

106i<j630

1. C’est une somme à double indice, en sommant horizontalement, on a :

S = X

29 i=10

X

30 j=i+1

1 = = X

29 i=10

(30 − (i + 1) + 1) = X

29 i=10

(30 − i)

= 20 + 19 + · · · + 2 + 1

= 20 × 21 2 = 210 6. Calculer S =

X

n k=1

n + 1 k

3

^k

. On a

S =

n+1

X

k=0

n + 1 k

3

^k

−

n + 1 0

3

⁰

−

n + 1 n + 1

3

ⁿ⁺¹

=

n+1

X

k=0

n + 1 k

3

^k

1

⁽ⁿ⁺¹⁾^−k

− 1 − 3

ⁿ⁺¹

= (3 + 1)

ⁿ⁺¹

− 1 − 3

ⁿ⁺¹

= 4

ⁿ⁺¹

− 3

ⁿ⁺¹

− 1

(3)

3 7. On pose S = X

50 k=20

k 3

. Calculer

²⁰₄

+ S. En déduire S.

Il s’agit d’additionner les coefficients binomiaux d’une même colonne du triangle de Pascal.

On applique la formule du triangle de Pascal en «cascade» :

20 4

+ S = 20

4 + 20

3 | {z } (

²¹4

)

+ 21

3 + · · · + 50

3 = 21

4 + 21

3 | {z } (

²²4

)

+ 22

3 + · · · + 50

3 = 22

4 + 22

3 | {z } (

²³4

)

+ 23

3 + · · · + 50

3 .. .

= 50

4 + 50

3 = 51

4 Ainsi S =

⁵¹₄

−

²⁰

4

.

8. Soit X et Y deux parties d’un ensemble E. Simplifier X ∩ Y ∪ (X ∩ Y ).

On a

X ∩ Y ∪ (X ∩ Y ) = (X ∪ Y ) ∪ (X ∩ Y ) = Y ∪ X ∪ (X ∩ Y ) .

On remarque maintenant que (X ∩ Y ) est contenu dans X, donc la réunion X ∪ (X ∩ Y ) est égale à X

On conclut ainsi que la partie cherchée vaut Y ∪ X = X ∩ Y . 9. Combien de mots de 5 lettres peut-on écrire ?

Un mot est une liste ordonnée de lettres. Il y a 26 choix possibles pour la première lettre, 26 choix possibles pour la seconde, 26 choix possibles pour chaque lettre. Il y a donc 26 × 26 × 26 × 26 × 26 × 26 = 26

⁵

mots de 5 lettres.

10. Combien de triangles peut-on construire avec 100 points deux à deux distincts ?

Le triangle ABC est le même que BAC, CAB... ou tout autre permuation des lettres A, B, C . Un triangle est un ensemble de 3 points. On doit donc sélectionner 3 points parmi 100, il y a