Terminale S2
calculatrice interdite
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B Voie 2
uBC
L
A
Voie 1 K
U
ACC
sens + choisi pour l'intensité du courant
E
+
Physique D.S. n°5 - Correction
Exercice : Étude d’un dipôle RL d’après bac Amérique du Sud 2005 (20 points) 1.1. Pour suivre l’évolution temporelle de l’intensité i du
courant, il faut enregistrer uBC (tension aux bornes du conducteur ohmique). En appliquant la loi d’Ohm, on a uBC = R.i (la mesure de uBC s’effectue sur la voie 2).
Le logiciel devra effectuer le calcul : i = uBC
R (1).
1.2.1. En régime permanent l’intensité du courant est maximale et constante. On trace l’asymptote horizontale à la courbe i = f(t). Cette asymptote a pour équation I = 6,0 mA (1).
1.2.2. La constante de temps correspond à l’abscisse du point d’intersection entre la tangente à la courbe à l’origine et l’asymptote correspondant à i = I : = 0,1 ms (1).
1.2.3. Valeur théorique : = L R (1)
= ,
,. = 0,1010–3 s = 0,10 ms La valeur théorique et la valeur expérimentale coïncident (1).
1.3. Début de l’étude analytique.
1.3.1. D’après la loi d’additivité des tensions on peut écrire : E = uAC = uAB + uBC E = L.di dt + Ri Soit l’équation différentielle du premier ordre : E
L = di dt + R
L.i (1) 1.3.2. En régime permanent, l’intensité du courant est constante donc di
dt = 0 donc E L = R
L.I soit I = E R. I = ,
,. = 6,010–3 A = 6,0 mA (2)
2.
Influencede différents paramètres.
On va utiliser les valeurs de la constante de temps et les valeurs de l’intensité du courant en régime permanent (3).
valeurs théoriques E (V) R (k) L (H) I = E
R (A) = L
R (s)
Expérience A 6,0 1,0 0,10 ,
,. = 6,010–3 ,
,. = 0,1010–3
Expérience B 12,0 1,0 0,10 ,
,. = 1210–3 ,
,. = 0,1010–3
Expérience C 6,0 0,50 0,10 ,
,. = 1210–3 ,
,. = 0,2010–3
Expérience D 6,0 1,0 0,20 ,
,. = 6,010–3 ,
,. = 0,2010–3
I =
graphe 1
(ms)
0,0 0,5 1,0 1,5 t
i (mA)
5,0 6,0 7,0 8,0
4,0 3,0 2,0 1,0 0,0
i(t)
Valeurs expérimentales
I régime permanent (mA) constante de temps (s) Conclusiongraphe 1 6,0 0,110–3 Expérience A
graphe 2 6,0 0,210–3 Expérience D
graphe 3 12 0,210–3 Expérience C
graphe 4 12 0,110–3 Expérience B
On peut également mener le raisonnement suivant pour éviter les calculs : – On remarque sur le graphe 2 que I = E
R = 6,0 mA comme pour le graphe 1, mais la valeur de = L
R est doublée. Par conséquent le graphe 2 représente l’expérience D, car E et R ont la même valeur que dans le cas de l’expérience A (graphe 1), mais L est doublée, donc est doublée !
– On remarque sur le graphe 3 que I = E
R = 12,0 mA, mais la valeur de = L
R est la même que celle du graphe 2, par conséquent est doublée par rapport à celle du graphe 1, donc, puisque L = 0,10 H la valeur de R est divisée par 2 : c’est l’expérience C.
– L’expérience B ne peut donc être représentée que par le graphe 3. En effet I = E
R = 12,0 mA et a la même valeur que celle du graphe 1 représentant l’expérience A.
3.
Suite de l’étude analytique3.1. L’intensité initiale, à la fermeture de l’interrupteur, est nulle : i(0) = 0. Par conséquent 0 = A.e0 + B = A + B, donc A = –B.
Par ailleurs l’intensité finale est l’intensité en régime permanent soit I = E
R = A.e–∞ + B = A0 + B, soit B = E R. Finalement A = – E
R (1) ; B = E
R (1) et donc i(t) = – E
R.e–t/ + E
R soit après factorisation : i(t) = E
R. – e–t/) (1).
3.2. Il suffit de dériver l’expression précédente : di dt = d
dt
E
R. – e–t/ = E R.d
dt
(
– e–t/)
= – E R.ddte–t/ = – E R.(–
).e–t/. Et finalement on obtient : di
dt = E R.
.e–t/ (1,5) ou bien encore : di dt = E
L.e–t/. 3.3. On réinjecte l’expression de di
dt dans l’équation différentielle : E
L = E R.
.e–t/ + R L.E
R. – e–t/) E L = E
R.
.e–t/ + E L – E
L.e–t/ E R.
.e–t/ = E
L.e–t/ E R.
= E
L soit = L R (1,5).
3.4. [] = [L]
[R], or pour une bobine idéale uL = L.di
dt donc [U] = [L].[I]
[t] et par suite [L] = [U]
[I]/[t]. Par ailleurs [R] = [U]/[I] car d’après la loi d’Ohm : uR = R.i, donc [U] = [R].[I].
Par conséquent :[] = [L]
[R] = [U] .[t]. [I]
[I] . [V] = [t] = T.
T a bien la dimension d’un temps : c’est la constante de temps du dipôle RL ! (2) 3.5. uL = L.di
dt, donc uL = L.E R.
.e–t/ = E.e–t/ car = L R.
La tension uL aux bornes de la bobine idéale est donc une exponentielle décroissante (1).
