METHODE D’EULER
La méthode d'Euler permet la construction d'une représentation graphique approchée d'une fonction lorsque la fonction elle-même n'est pas connue explicitement, mais lorsqu'on connaît sa fonction dérivée et sa valeur en un autre point
On utilise la méthode l'approximation affine de la fonction : si f est dérivable sur un intervalle I, a et a + h des réels de I, h proche de 0, alors : f (a + h) ≈≈≈≈ f (a) + h f '(a).
A la recherche de la fonction exponentielle.
Utilisation d'un tableur.
On cherche à trouver une approximation sur IR d'une fonction f vérifiant :
f définie et dérivable sur IR
∀ x ∈ IR, f '(x) = f (x) f (0) = 1
On va donc chercher à obtenir des courbes approchées, pour différentes valeurs du pas h. (plus h sera petit plus l'approximation sera précise)
1 Sur IR+ Soit h un réel positif.
La méthode d'Euler nous conduit à construire la suite d'abscisses (xn) et la suite d'ordonnées (yn) qui sont des valeurs approchées des f (xn), de la façon suivante : xn+1 = xn + h et yn+1 = (1 + h) yn
Soit en effet les suites (xn) et (yn) définies par récurrence par :
x0 = 0
xn+1 = xn + h et
y0 = 1
yn+1 = (1 + h) yn
On peut dire par récurrence que pour tout entier n, on a : yn ≈ f (xn) Initialisation : y0 = 1 = f (0) = f (x0)
Hérédité : Si yk ≈ f (xk) démontrer que yk+1 ≈ f (xk+1) On sait que f (xk+1) ≈ f (xk) + h × f '(xk).
Comme f '(xk) = f (xk) on a f(xk+1) ≈ (1 + h) f (xk)
yk ≈ f (xk) yk+1 = (1 + h) yk
f (xk+1) ≈ (1 + h) f (xk)
on peut donc dire que f (xk+1) ≈ yk+1
La précision est difficile à déterminer mais plus h est proche de 0 plus l'approximation est précise.
La ligne brisée passe par les points Mk (xk ; yk).
xk yk
x0 = 0 y0 = f (0) = 1
x1 = h y1 = (1 + h) y0 = 1 + h x2 = x1 + h = 2 h y2 = (l + h) × y1 = (1 + h)2 x3 = x2 + h = 3 h y3 = (1 + h) × y2 = (1 + h)3 xn = n × h yn = (1 + h)n
2 Sur IR– Soit h un réel positif.
La méthode d'Euler nous conduit à construire la suite d'abscisses (x'n) et la suite d'ordonnées (y'n) qui sont des valeurs approchées des f (x'n), de la façon suivante : x'n+1 = x'n – h et y'n+1 = (1 – h) y'n
Les suites (x'n) et (y'n) sont définies par récurrence par : x0 = 0
x'n+1 = x'n + h et y0 = 1
y'n+1 = (1 + h) y'n
x'k y'k
x'0 = 0 y'0 = f (0) = 1
x'1 = – h y'1 = (1 – h) y0 = 1 – h x'2 = x'1 – h = – 2 h y'2 = (l – h) × y1 = (1 – h)2 x'3 = x'2 – h = – 3 h y'3 = (1 – h) × y2 = (1 – h)3 x'n = – n × h y'n = (1 – h)n
La ligne brisée passe par les points M'k (x'k ; y'k).
Variante On peut utiliser une autre approximation : f (x'k) ≈ f (x'k+1) + f '(x'k+1) × h ce qui donne f (xk+1) ≈ f (xk) 1 + h
METHODE D’EULER SUR TABLEUR
Le principe. Il consiste à créer trois colonnes sur la feuille de calcul :
• les valeurs de x
Elles seront placées en colonne A.
Elles seront incrémentées à partir de 0 de la valeur du pas.
• les valeurs de f (x)
Elles seront placées en colonne B.
On débute avec la condition initiale f (0) = 1.
• les valeurs de f' (x)
Elles seront placées en colonne C.
1 Pour commencer on choisit un pas de 0,1.
Initialisation
On place des entêtes en première ligne des trois premières colonnes : x, f (x) et f'(x).
Ce ne sont que des entêtes textuelles pour se souvenir de ce qu'on a mis dans chacune de ces colonnes.
On initialise en plaçant 0 dans la cellule A2,
1 dans la cellule B2 (f (0) = 1) 1 dans la cellule C2 (f'(0) = f (0) = 1) Première étape : la colonne A
La colonne A commence à 0 dans la cellule A2, on se réfère alors à cette cellule de départ pour progresser de 0,1 vers le bas.
Une fois établie la formule dans la cellule A3, on fait glisser cette formule avec la souris vers le.
Deuxième étape : les colonnes B et C doivent être traitées en même temps.
la cellule B3
f(0,5) = f(0) + f'(0) × 0,5
En B2 se trouve la valeur de f (0) En C2 se trouve la valeur de f'(0)
donc en B3 on tape la formule =B2+0,5*C2
• la cellule C3 f' (0,5) = f (0,5)
En B3 se trouve la valeur de f (0,5) donc en C3 on tape =B3
Une fois établie les formules dans la cellule B3 et C3, on fait glisser cette formule avec la souris vers le bas.
2 On change de pas donc on change de feuille de calcul.
On désire réduire le pas en le prenant égal à 0,01.
Plutôt que de retaper à chaque fois toutes les formules, on choisit de réserver une cellule, par exemple la cellule E2 (on fixera l’entête Pas dans la cellule E1).
Ainsi plutôt que de faire référence à 0,01, on utilisera dans les formules la cellule E2.
Question 2 Essayer d’utiliser le nom E2 de la cellule de même nom dans les formules en utilisant la « technique » de glissement pour étendre vers le bas. Que se passe-t-il ?
Il faut utiliser la notation $E$2.
3 Graphique
Question 4 Utiliser les capacités graphiques du tableur, en sélectionnant l’ensemble des colonnes de A à D puis en cliquant sur le bouton proposant les boîtes de dialogue associées à l’obtention d’un graphique. Choisir la première ligne et la première colonne comme « étiquettes » de notre graphique.
Choisir une représentation de type XY.
