Recherches sur les surfaces isothermiques

A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.

L ^OUIS R ^AFFY

Recherches sur les surfaces isothermiques

Annales scientifiques de l’É.N.S. 3^e série, tome 23 (1906), p. 387-428

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RECHERCUlîS

Sl;R LKS

S U R F A C E S I S O T H E R M I Q U E S ,

PAR M. Louis RAFFY,

l'rtOI'USSIilm A LA FACULTK DES .SCIIÎNCES DU l'AHIS.

SECONDE PARTIE (').

Les pages q u i s u i v e n t ont pour objet p r i n c i p a l la d é t e r m i n a t i o n de surfaces isothermiques d é p e n d a n t de f o n c t i o n s arbitraires.

Toutes les recherches a u x q u e l l e s d o n n e lieu ce difficile problème sont d o m i n é e s par u n théorème q u e j'ai f a i t c o n n a î t r e l'an d e r n i e r (

) et q u i s'énonce a i n s i : les caractéristiques de l'équation aux dérivées

f o n c t i o n s a r b i t r a i r e s ne peuvent être q u e les paramètres des lignes de courbure et ceux des lignes de l o n g u e u r nulle.

Or, en rapprochant de la méthode donnée par M. Darboux, pour l'intégration des é q u a t i o n s aux dérivées partielles, certains résultats obtenus p l u s récemment par M. Goursat (

) , on arrive à cette conclu- sion qu'il est possible de d é t e r m i n e r toutes les surfaces telles que les

(î) Foir, pour lîi prcnnère Parlie, Annules de l'Ecola normale^ 1905, p. 397.

(2) Comptes rendus de l''//ça/, des Science.^ L. CXL, 26 juin 1905.

(;t; Bul/. de la Soc. mai/i. de Fra/ue, t. X X V , 1^97 et t. XXVIII, 1900.

388 L. IUFFY.

différentielles de leurs coordonnées s'expriment e x p l i c i t e m e n t au moyen de fonctions arbitraires des paramètres des l i g n e s de l o n g u e u r nulle et de dérivées, en nombre l i m i t é , de ces f o n c t i o n s a r b i t r a i r e s . Ces surfaces, q u e n o u s nommerons surfaces de première classe, p o u r rappeler une désignation employée par Ampère, se d i s t r i b u e n t en genres, d'après le nombre des transformations de Laplace qu'exige l'intégration de l'équation l i n é a i r e dont dépond l e u r d é t e r m i n a t i o n . I. En appliquant (§ VIII) la méthode de Laplace à l ' é q u a t i o n d o n t Ossian Bonnet a fait d é p e n d r e le p r o b l è m e de la d é f o r m a t i o n des sur- faces (^équation (le déformation), j'ai été c o n d u i t , entre a u t r e s résul- tats, à subdiviser chaque genre en trois espèces, ce q u i f a c i l i t e la recherche des surfaces isothermiques de p r e m i è r e classe.

II. L'emploi des i n v a r i a n t s h et k de l ' é q u a t i o n de déformation permet (§ IX) de d o n n e r u n e f o r m e e x t r ê m e m e n t simple à l ' é q u a t i o n dont j'ai f a i t , dans la Note précitée, d é p e n d r e la r e c h e r c h e générale des surfaces isothermiques. C o n n a i s s a n t u n e s o l u t i o n do cette équation fondamentale, on est ramené à un système c o m p l e t d o n t l ' i n t é g r a l e générale est u n e fonction l i n é a i r e et homogène de d e u x constantes arbitraires; elle se détermine par u n e q u a d r a t u r e dès qu'on a pu o b t e n i r une intégrale p a r t i c u l i è r e .

III. L'équation f o n d a m e n t a l e i n t e r v i e n t efïïcacernent d a n s la déter- m i n a t i o n des surfaces isothenniques de p r e m i è r e classe. L ' é v a n o u i s - sement de l ' i n v a r i a n t q u e j'appelle T {voir 0° 27) d é f i n i l u n genre*

parmi les surfaces de première classe; ce genre se compose ( § X ) exclusivement dos s u r f a c e s m i n i m a q u i sont i s o f c h e r m i q u o s .

Les surfaces de p r e m i è r e classe q u i c o n s t i t u e n t le genre s u i v a n t sont définies par l'évanouissement d'un autre i n v a r i a n t ^ ; l e u r pro- priété c o m m u n e consiste (§ XI) en ce q u e leur é l é m e n t l i n é a i r e de- v i e n t celui d ' u n e sphère de rayon i q u a n d on le m u l t i p l i e p a r l e carré de la courbure moyenne. On o b t i e n t toutes ces surfaces sans diffi- culté; mais il est beaucoup m o i n s aisé de séparer celles q u i sont iso- t h e r m i q u e s ; elles se répartissent en trois espèces et ne f o r m e n t pas moins de six variétés.

L'espèce p o u r laquelle les i n v a r i a n t s h et k sont tous deux n u l s

KEfJÏEKCHES SUR LES SURFACES ISOTIÎEMMIQUES. 38q

comprend ( § X I ) les sphères et les surfaces (B) de Bonnet qu'on d é d u i t des surfaces mini ma par double i n v e r s i o n s i n g u l i è r e .

Q u a n d on en v i e n t (§ XII) à l'espèce pour l a q u e l l e un seul des i n v a r i a n t s h et k est égal à zéro, on ne trouve q u ' u n e seule variété, composée des surfaces (©) de M. Thybaut, surfaces dont les sphères harmoniques sont t a n g e n t e s à un même plan ( n o n isotrope).

E n f i n , l'espèce pour laquelle les deux invariants A et A sont diffé- rents de zéro comprend (§ X I I I ) , outre les surlaces (©), deux va- riétés nouvelles, savoir les transformées par normales parallèles (transformation de Bour-Christoffel) des inverses des surfaces mi- ni m a et des inverses des surfaces (©).

Les a p p l i c a t i o n s du procédé de recherche systématique qui a d o n n é ces divers résultats ne s'arrêtent p o i n t là. Mais les calculs se com- p l i q u e n t c o n s i d é r a b l e m e n t , à mesure que croît le nombre des fonc- tions arbitraires, q u i , pour les surfaces isothermiques, doivent se ramener à deux. J'ai pu. néanmoins d é t e r m i n e r complètement celles de ces surfaces p o u r l e s q u e l l e s les i n v a r i a n t s /^^ et /c_^ de l'équation de d é f o r m a t i o n sont tous les deux n u l s : ce sont les inverses des sur- faces m i n i m a et les inverses des surfaces (©), avec leurs transformées par coordonnée isotrope c o m m u n e ( t r a n s f o r m a t i o n d é f i n i e au n° 37).

Je r e n v o i e la d é m o n s t r a t i o n de ce théorème et de d i v e r s autres à une troisième P a r t i e .

VÏIL — L'équation d'Ossian Bonnet, pour le problème de la déformation, considérée comme une équation de Laplace.

26. N o u s avons m e n t i o n n é (n° 9) l'équation remarquable d o n t 0. B o n n e t a fait dépendre la d é t e r m i n a t i o n des surfaces admettant l ' é l é m e n t l i n é a i r e

( i ) cis2 := 4 cp2 (a, p ) da d^.

Si l'on désigne p a r ; u n e coordonnée isotrope, x -h iy, par exemple, d ' u n e d e s s u i * f a c e s du* r c h é e s, e t s i 1 ' o n p o s e

()Ï ^ ù^ ^c , 0^

^,^, ^,^ r=^? ^^1 ^^

SpO L. RAFFY.

l'équation d'Ossian Bonnet (équation de déformation) s'écrit

^2 (p t àf r ()^ rt — .y2 _ àcxà^ ^cj ôy. IF à'^ l\pq T '

C'est, relativement à la fonction cp, une de ces équations de Laplace dont la théorie a été parachevée par M. Darhoux (Théorie des sur- faces, Livre IV). lin nous référant à celle e x p o s i t i o n , nous é t a b l i r o n s diverses propriétés de l ' é q u a t i o n (2), considérée comme é q u a t i o n de Laplace.

Etant donnée l'équation

,,, , ()2 CP <)Q3 , à^

3 ) ".—— •+• a --T -+- h -^ •+- CŒ = o,

<}y. ()f5 ()y. ()ft '

ses invariants ont pour expressions respectives

/ , , , <)a , , ()h ( 4 ) //, == ab — c -h — ; k := ci h — c "4- ^ ? , y . . . / (^[o^h , , , (Y^ï^^k (5) /<.=:..A-/c-^^-, ^=,^h-.^,

...

/, , , , . r^lo^Â//!...///, / . , / , / ^lo^Â'/r i.. Â\./, ( ô ) /^, =h,^h^k ^ —.^^^^ , /<^^^ - /^ + ^ /, - ».__^^ .

Or, si l'on rapporte l ' é q u a t i o n ( 2 ) au Ivpe (3), on a i n n n é d i a t e m e n t

/ „ . / / _ ^ ^ \ A / / . . . ^^^P . . / ( ) l o ^ \ / p à\w\/q

\ t ) <.{• -.-—— —————^———? ( / ...—„-—" •"-———.-.-....-.—, (_, ..„..,. ^ / ^ ... ....-——„, -,,-...,.-.<. --.,.-.--. ...,....,-.-.-^ .

dp ^a ^^ ^a

Ces valeurs de a, Z/, r;, substituées dans les r e l a t i o n s (4), d o n n e n t

( , '^ ^2I(W/7 „_ ^ ^ , J^

^ | < - ^^ - "-^^ - ^ ^ lo^^,

1 _ ^ __ ^l10^^ _ JL ^ 1 ^ y ^

| ^ ^ 4/^7 Ja'r)p ! ^ " 4^ ^log;^i?

ou, sous forme explicita;,

(8) À = - ï. f ^ - ^ - ^ ) , ^=~ J f4 - ^ ~ iTL

% \ y 2//y (^ ) 2 \ /> ïpcf p " )

R E C H E R C H E S SUR LES SURFACES I S O T H E R M I Q U E S . 3yi

Au moyen de ces expressions, on r e c o n n a î t aisément q u e , si l'on effectue sur la coordonnée isotrope $ une transformation homo graphique quelconque, les invariants h et k ne changent pas. En conséquence, la même p r o p r i é t é a p p a r t i e n t à tous les invariants successifs de l'équa- tion (2). Elle résulte d'ailleurs de la p r o p o s i t i o n q u i s u i t :

Si l ' o n remplace simultanément ^ par Çm'ï, -}- n') : Çm^ 4- n) et ç par ç ; ÇmÏ, 4" ^), quelles que soient les quatre constantes m, n, m\ n'', F équation (2) ne cesse pas (F être vérifiée. C'est ce dont on s'assurera par un calcul très s i m p l e , en m e t t a n t l ' é q u a t i o n (2) sous la forme

( ± |o<^ } (^ lo<>- ^} - ^ - à (M(W.

\ôa to y2; \<}p 0 9-V ~ pq 4 ày.(^

Cette d o u b l e s u b s t i t u t i o n n'altère pas n o n plus l'équation (n0 10)

^(^-^ii}^^^

ôy. \ 92/ àp V-p"/

des lignes de courburt¹. La t r a n s f o r m a t i o n c o r r e s p o n d a n t e n'est a u t r e que la double inversion singulière (n⁰ 22), par l a q u e l l e nous avons dé- d u i t des surfaces m i n i r n a les surfaces (B) d'Ossian B o n n e t . Pour le prouver, c o n s i d é r o n s u n e surface d é f i n i e par sa coordonnée isotrope Ç et son é l é m e n t l i n é a i r e f\^d(y.d^. Effectuons sur cette surface âne

|)remière i n v e r s i o n de pôle ( a ) ^ y ^ ^ i ) et de puissance (^ ; puis, s u r la surface a i n s i o b t e n u e , u n e n o u v e l l e inversion de pôle (.^, /a, s ^ ) et de p u i s s a n c e y^. Si l'on désigne par ê la distance P ^ P ^ des deux pôles, par x..^ l ' u n e des coordonnées de la n o u v e l l e surface et parrf^

son é l é m e n t l i n é a i r e , on sait q u ' o n a

^'iri^ ^( •x ~~~ 'Ti ïî "t ^li^Lz^ù__

X^ == ^ 4- ^ ^ ^_ ,^ ^ ^^^_ ^ ^ ^ _ ^ )-J^l^

\^\\^\ ds1

dsi-2 ^ [o^^^'ij^^^^ (^ ~ ^2) + i^Y'

Faisons maintenant

/ :== .ri — .z-ii, rn •:•= y^ — 72, n -==. z^ --- ^2,

et supposons les deux pôles à distance nulle l'un de l'autre, ou

892 L. ÏUFFY.

à2 == l'2 +• m2 -h /r == o; e n f i n considérons la coordonnée isotrope

^ == lx -h- wy + /2-s. La fonction Ï^ qui lui correspond par la double inversion ci-dessus n'est autre que

>. , 'C — ( lx^ -4- ni yi -h //. ^, )

^.-.2 == /.y g -+- m y 2 4- n^ •+- ^.2 -p—?————1———l/-1———1^ ' 2^ — 2 ( /.z'2 4" niy^ ~t- //. ,3 a ) -4- [J^

ce qu'on peat écrire

en posant

^('E— c)

2 ( c : — C J + ^ i

c = /.z'^ -h wy^ -l- /^2::::::: ^'^i + ^^i + /À ^r

Ainsi la f o n c t i o n S-a se d é d u i t de ^ par u n e t r a n s f o r m a t i o n homo- graphique, et l'on voit q u e les doubles inversions s i n g u l i è r e s q u i cor- respondent à un système de valeurs données p o u r (x^ ;Xy et, c sont en n o m b r e p l u s i e u r s (bis i n f i n i .

Q u a n t à l'élément l i n é a i r e rfr^, il s'écrit m a i n t e n a n t

^2 ^.... _.,, _^j ^ ^ _. 4 ^s ^

" "

'

^ l ^ ( ^ — cy'+^rp ^'" [i("j"-

'

7-7

T^J

Si donc on le représente par l.\^ d^d^ on a u r a o -_ -^?

i- -1-2" ^-^...-h^

ce qui est précisément la f o n c t i o n associée à ^ dans la s u b s t i t u t i o n qu'il s'agissait d'inLerpréter. Or on a vu (n° 9) q u ' u n e s u r f a c e est déterminée de f o r m e par la connaissance des f o n c t i o n s ^ et y. Les surfaces q u i correspondent à la s u b s t i t u t i o n considérée sont donc, à la position près, i d e n t i q u e s à l ' u n e des transformées par d o u b l e inver- sion s i n g u l i è r e de la s u r f a c e i n i t i a l e ($, ^ ) .

Remarquons, en passant, qu'en vertu de ce q u i précède, à toute surface admettant l'élément linéaire 4^ d^d^ ci dont on connaîtra une coordonnée isotrope Ç , correspond une surface admettant ^élément linéaire /^f²^ r/a d^ et quon déterminera par des quadratures.

R E C H E R C H E S S U R LES SURFACES ISOTHERMIQUES. 3ç)3

27. Il c o n v i e n t d'associer a F é q u a l i o n de déformation les deux é q u a t i o n s de Laplace q u i r e l i e n t les fonctions \jp et \fq à la fonction

,s'2 ( û ) T -= 7——— i

^/ [ ^ p q

q u e n o u s avons déjà considérée (n0 5 10 et suiv.). Cette f o n c t i o n T pos- sède u n e p r o p r i é t é i n t é r e s s a n t e q u e Fon vérifiera sans p e i n e : une jois choisis les paramétres a et [j des lignes de longueur nulle, l'expression de T est la même, quelle que soit la coordonnée isotrope ^ pour laquelle on la calcule. D'après sa d é f i n i t i o n , elle d o n n e lieu aux i d e n t i t é s

( 1 0 ) \ / p ^^Ô^L,

</T ^a '

, , i- ï. ( ) \ l p ( l u / ^/== — — — — ^ ,

\/T ^H

d o n t n o u s f e r o n s f r é q u e m m e n t usage, et d'où l'on déduit, en élimi- n a n t successivement \ / p et y/y,

/ , , . (p^ ^ à\lp ^./.-o

( î I )

TicT^ ^ Tr '<r ~

"^

^:i ^/7 ^ () \Jq i- ( ï i ) ' .—'— — — "-•^ — T- V y == o.

v / ()y, à\5 a T 6/a

M. Coursât a f a i t c o n n a î t r e {Bull.Soc. malh.^t. XXV, 1897, p. 36) u n e p r o p r i é t é i m p o r t a n t e de l ' é q u a t i o n en \lp : si l'on désigne les i n v a r i a n t s de cette é q u a t i o n par les lettres h et Je affectées de l'in- dice ( p ) , on a pour t o u t i n d i c e /?, positif, nul ou négatif, l'identité

Mp) — /,(//) A ^ —— " / f + l >

de sorte q u e , si la suite de Laplace relative à l'équation (ï ï ) se termine dans un sens après n transformations, elle se terminera dans Vautre sens après n — î tram'formations.

Il s u f Ï i t donc de f o r m e r les i n v a r i a n t s h^\ Voici les premiers :

^ l O ^ V / T ^ _ . ^lOg^

/,(/-).-= r, hr= r- -——^-, ^'^ ^ -~Jo"Jp ? 2 ^.^(3

^/////. /<c. /Vorm., ( 3 ) , X X . 1 1 1 . ~ SliPTfcMBi'.E 1906. î>0

394

" I^AI'TY.

On voit que T est un i n v a r i a n t de l ' é q u a t i o n (i i ) . Nous désignerons les deux suivants par T., et 'T^ (:m posant

^ IO^VT (^) ^_^_^^-,

_ ^lO^'TTi __ ^ l O S ' T i V / T ( , 3 ) ^ „ ^ _ _^-^_ ,„ ^ - ^-^-^—— .

Quant à l'équation ( r i ) ' en \/</, on verra aisément qae ses inva- riants sont les mêmes que ceux de l ' é q u a t i o n ( i x ) , mais rangés en ordre inverse. Nous n'avons d o n c à considérer que les i n v a r i a n t s A,/, k.^ de l'équation de d é f o r m a t i o n et les i n v a r i a n t s T, ^, Ty, ... de l ' é q u a t i o n en \lp.

28. Remarquons que T dépend de s, qui est une dérivée seconde de ^ ; que dans !i et k figurent des dérivées troisièmes de ^; dans T, une dérivée quatrième de ^; dans A, et k i des dérivées cinquièmes de î;; dans Ty une dérivée sixième de !;; dans h.^ et A ^ des dérivées septièmes de S;; etc.

Il existe entre les invariants^ et les invariants A,/,, /',^ des relations différentielles que nous allons faire connaître et d'où il suivra que, ^l la suite de Laplace relative à Véqwilion de deforrnaffon se termine dans un sens après n transformaLions^ elle se terminera dans l'autre sens après n ou n -4- r transformations. Cette propriété est uni* conséquence immédiate des théorèmes suivants :

THÉORÈME I- — Si T est nul, h et k sont nuls,

TIÏÉOREMR II. — Si li est nul ou. si h est nul, ^ est nul aussL

ÏHÉOÏŒMK IIL — Si TI est nu^ on a soit h == k == o; soif. À , == o si h ^ o ; soit /^ === o si k ^ o ; soit enfin /?/, "= /;.„„„ i ^= o si hk ^ o.

ÏHEORÈME IV. — Sih^ est nul ou si k ^ est nul, T^ r^ nul aussi.

THÉOMÈME V. — &Y ^ ^<y^ n^/, o^ a soit À, == Z:_i -~^ o; soit h^ == o s i h^ ^ o ; soit k^ === o 5^* k .^ '-•/= o ; ,y^/^ enfin h^ ^ k_^ =.=: o si h^ k.^^ ^ o.

R E C H E R C H E S SUR LES SURFACES ISOTIÏERMÏQLIES. 3ç)5

29. Démonstration du tizéorcme I . — D'après les formules (,8 y, l'hy- pothèse T === o ou .<- == o e n t r a î n e v i s i b l e m e n t h -=- k ^ o.

Démonstration du théorème I I . — En i n t r o d u i s a n t T dans les rela- t i o n s (8), on t r o u v e

w ^-^V/l'

—^^}-

La p r e m i è r e de ces é g a l i t é s d o n n e

h 1 ( 1 / ( " / <) /T ( ) . /T

(•^ ^ V / S — V ^ V ^ - ^ ^ V . '

d'où l'on d é d u i t par d i f f é r e n t i a t i o n

^ ( ^ i /7/ \ -- î^0^ ^l0^.

Ja \ i/^ V P ) "" f)a ^P ~ ' (}v'()^ )

mais la première des é q u a t i o n s (8) n'est autre que / ^^{l o}^ / y •

n--T•w Ja7p "'

il vient donc

/

(

. h\ .

^v

,

(I;))

/.+^^^=^---^^

On trouverait par des calculs analogues à ( A- ^ \ <^2 lo^ \/T

(1G)

• ^ ^ ( ^ V ^ -

- - ^ -

-

En conséquence, si h est n u l ou si k est n u l , ïi est n u l aussi.

Remarque. — Les égalités (^f)) et (16) p e r m e t t e n t de démontrer u n e i d e n t i t é q u i n o u s s e r v i r a p l u s tard et qu'on p o u r r a i t d'ailleurs vérifier d i r e c t e m e n t au moyen des r e l a t i o n s (8/. C'est l ' i d e n t i t é

à l ' ( / h \ à ( pk\

o p^)-^^)'

3C)6 L. RAFFY.

N o u s l'écrirons comme s u i t :

r? à \( h /7/\ ( r- /rM H] à f ( k /J) \( r / q \ ]

v^K^v^)^^

Son premier membre, effectué, d e v i e n t

/- à ( h /q \ h <) ( ,~ /T \

^^(^y^^^^^

ou, en vertu de l'équation ( i 5 ) ,

/-, ,, li ( /-- à /T \/T ô \l (f \

\/T Ti— h) 4- ~T=. 0y — i/ - + Y-: --4-" î

\/T \ ^ V // \/// ^^ /

les derniers termes des deux parenthèses se d é t r u i s e n t , en vertu de l ' i d e n t i t é ( 10); le p r e m i e r terme de la seconde p a r e n t h è s e n'est pas autre chose que — /c, d'après la d e r n i è r e des i d e n t i t é s ( B y ; il reste donc s i m p l e m e n t

TI^/T ///,

^

En raison de sa symétrie, cette expression représente aussi le second membre de l ' i d e n t i t é a n n o n c é e .

30. Démonstration du théorème lll\ — Supposons / t ^ o ; l'équa- tion (i5) s'écrit

T - ' i P1 () InoY // à /'/ \ u ^^

^ ^^ ^ 1 ^ ^^ ^

— T ï V ^ L ^ ' ^ W ï V ^

ou, à cause de l'idcnfcifcé (lo),

>VT

^

( 1 7 ) -'Lt/ÏA.^J^ .

^\ p à». ^^\fi

Si donc";, est n u l , mais pas A, on aim aura

()\0^\/T: _ ( ) t / l l .

~~^~ •~ 'ôa'^^J;

R E C I I E K C 1 1 E S S U I Y LES S U R F A C E S I S O T 1 I E H M I Q U E S .

o n , en d i f f é r e n t i a n t cl retranchant T a u x deux membres,

^97

(Y1 . /y/z

^lO^T

——.l'os—

<}y. (){ï ~" ôc/, 0^ ^ \lp '

Le p r e m i e r m e m b r e est m a i n t e n a n t n u l , comme é t a n t égal à — T i ; d'autre part, en v e r t u des f o r m u l e s (:ï), (8) et (9), on a

( 1 8 ) h^-=:r — -—-. l o ^ — -^{^ qh}

<)a à^ 0 ^p

Donc, si Ti est n u l et si h ne l'est pas, /^^ est n u l .

Démonstration du théorème IV. — P a r t o n s de l ' é q u a t i o n (17), a i n s i écrite :

"'w;^

^ 'I J n ^ û>a

D i f ï e r e n t i o n s ses deux: rnemhres par rapport à p et tenons compte de l'identité ( r 8 ) ; il v i e n t

(}&

U",(/^

Résolvons p a r r a p p o r t a /^ et m u l t i p l i o n s p a r h \/T i/¹; nous aurons

.W.v/ï—^^/— ".(/-/V •V.—'^-V,,^

)"'. -'^\/^

o u , en e t î e c t u a n t et r e m p l a ç a n t au d e r n i e r tenne le coefficient de ^ par son expression Ç^l^ ) ^

/7l ^ ( T T i ) ( ) . <l^

/ 1 ,=—— ——-—— + TT, -Q 10^ —— »

^v,--^

ce ( j u i p e u t s'écrire

^V7. ^ •

^

D i f ï e r e n t i o n s par r a p p o r t a a, en ayant égard à l ' i d e n t i t é (18);

3gS L. RAFFY.

nous t r o u v o n s

^ I O ^ T , ^ / / / / / , /7/\

( ^ ) T ^ T ~ ^^- ^ -1- ^ ^ ^ ^ / ^ .

On arriverait de mémo, en parlant de l ' é q u a t i o n (16), à la s u i v a n t e :

^ I O ^ T T , à f k k ^ [p\

(.0) ^-^'--.a^-'--4-^^^

II est m a i n t e n a n t visible que, si /^ est n u l , on si /c^ est n u l , T^ est n u l aussi.

Démonstration du théorème V. — Dans l ' i d e n t i t é (19) f a i s o n s Ta = °- Si /^ n'est pas n u l , n o u s p o u r r o n s écrire

() , ////i l ( i ( , r 'f > </ \~

^ \ o^- — —1 4 / 1 ..-= — TTi II ^T i / •/ ) ?

^ T I \ / T V /; \ V /V

o u , en t e n a n t compte de la f o r m u l e (17),

<) , ////, / a à . (^h

^lo,^^^_^lo^^.

Or celte dernière relation revient à

ù , (i^fh^f^ à , _lo^ZJLZ——1 ^ — l o ^ T T î ,

^a /^ r^

Si l'on difïerentie les deux membres par rapport a [i, en ayant égard à l'hypothèse ^-=- o, on trouve

, , </2 , f/\j(/ft^i\

( 2 l ) —..-, log •/-v-^-——~ — T === 0.

' / Ôa()^ p ^

Or, si l'on se reporte à l'expression générale de h^ savoir :

/ / ./ / ô^^hh,

/,^^+/,,,,...,A~^^^^^^^^^^

on reconnaîtra, en t e n a n t compte de l'identité (18) et des f o r m u l e s (8j, que le premier membre de la relation (21) est égal à — h^ On prou-

R E C H E R C H E S SUR LES SURFACES 1SOTHRRMIQUES. 399

verait de m ê m e , en p a r l a n t de l ' i d e n t i t é (20), que, si T^ est n u l et si k_^

ne l'est pas, on a nécessairement k..^= o.

31. Classification des surfaces de première classe. — Convenons d^ap- peler surfaces de première classe les s u r f a c e s telles que les différen- tielles de l e u r s coordonnées s ' e x p r i m e n t e x p l i c i t e m e n t aa moyen de f o n c t i o n s a r b i t r a i r e s de a et de p, et de leurs dérivées, en n o m b r e l i m i t é . La méthode de M. Darboux se c o n f o n d a n t , pour les é q u a t i o n s du type l i n é a i r e c o n s i d é r é ci-dessus, avec la méthode de Laplace, toutes les surfaces de p r e m i è r e classe p o u r r o n t être o b t e n u e s succes- sivement par P i n t é g r a l i o n de l ' é q u a t i o n (11), d a n s l a q u e l l e on sup- posera d'abord T = O , p u i s T ^ = O , puis T^ === o et a i n s i de s u i t e . iM. Coursât a, en effet, i n d i q u é (Bail. Soc. mcufi., t. XXVIII, 1900, p. i) le moyen d ' i n t é g r e r les diverses é q u a t i o n s 1;^== o.

11 est n a t u r e l de répartir les surfaces de p r e m i è r e classe en divers genres, d'après le rang de l ' i n v a r i a n t T,^, à l ' é v a n o u i s s e m e n t d u q u e l elles c o r r e s p o n d e n t . A i n s i les surfaces pour l e s q u e l l e s T est n u l , ou surfaces de rang zéro, f o r m e r o n t un genre; les surfaces pour les- quelles T^ est n u l , ou s u r f a c e s de rang i, f o r m e r o n t u n genre, etc.

Mais, d'après les t h é o r è m e s q u e n o u s v e n o n s de prouver, i l y a l i e u de s u b d i v i s e r chaque genre en trois espèces. En clfet, parmi, les sur- faces de rang ri 4- i (celles p o u r lesquelles T^^ == o), i l y en a pour lesquelles les i n v a r i a n t s /^, et k^, sont n u l s tous les d e u x ; p o u r d'autres, u n seul de ces i n v a r i a n t s est n u l ; p o u r d'autres e n f i n , et ce sont les plus générales, les i n v a r i a n t s A/, et À.-», sont tous les deux dif- f é r e n t s de zéro. Ces trois p r o p r i é t é s d i f f é r e n t e s s e r v i r o n t à distinguer les trois espèces du genre d é f i n i par l'hypothèse T,^ = o. Cette division en espèces f a c i l i t e r a la recherche des surfaces isoihermiques de première classe, q u i nous occupera b i e n t ô t .

IX, ^ Une méthode générale de recherche des surfaces isothermiçues ; l'équation fondamentale et la transformation par coordonnée isotrope

commune.

32. Les c i n q classes de surfaces que n o u s avons rapprochées dans la première Partie de ces recherches, savoir les surfaces m i n i m a et

400 L. RAFFY.

leurs inverses, les surfaces (B) d'Ossian Bonnet, les surfaces (@) de M. Thybaut et leurs inverses, sont des surfaces isothermiques d o n t les coordonnées s'expriment d'une manière entièrement explicite au moyen de deux fonctions arbitraires. Les arguments de ces fonctions arbi- traires sont les paramètres des lignes de longueur nulle.

D'autre part, les surfaces de révolution et leurs inverses sont des surfaces isothermiqnes dont les coordonnées s'expriment aussi d'une manière entièrement explicite au moyen d'une fonction arbitraire, dont l'argument est le paramètre d'une des familles de lignes de courbure.

D'après cela, on peut prévoir que Inéquation aux dérivées partielles du quatrième ordre, dont dépend la recherche des surfaces isothermiques, admet pour caractéristiques les lignes de longueur nulle et /en lignes de courbure.

Cette proposition se vérifie aisément sur l'équation donnée par M. Darboux (^Théorie des surfaces, t. II, p. 2.5o). Comme nous la dé- montrerons un peu plus loin, nous ne ferons i c i q u e l'énoncer. Elle domine toute la recherche des fonctions isothermiques dépendant de fonctions arbitraires, puisqu'elle montre que les arguments des fonc- tions arbitraires ne peuvent être que les paramètres des lignes de l o n g u e u r nulle et ceux des lignes de courbure. Elle explique en outre pourquoi l'on n'a pu. faire servir à cette recherche l'équation primiti- vement donnée par M. Weingarten, où les variables sont deux des coordonnées cartésiennes, ni l'équation de M1. Darboux, où les va- riables sont les paramètres des lignes de l o n g u e u r n u l l e de la repré- sentation sphérique.

33. Nous emploierons, pour aborder le problème général de la détermination des surfaces isothermiques, l'équation précédemment rappelée (n° 26) dont 0. Bonnet a fait dépendre la détermination des surfaces d'élément linéaire !\^ d^d^. Ici les variables sont les para- mètres des lignes de longueur nulle, et l'éguation de déformation est la suivante :

, . il t , r , À"3 — rt (, l ) . ^ îpaS = - 9a 4- - 93 -h ———— 9.

^ P ^P^l

RECHERCHES SUR LES SURFACES ISOTÏIERMIQUES. 4°!

Q u a n d on c o n n a î t u n e fonction ^ et u n e f o n c t i o n o satisfaisant à cette é q u a t i o n , la surface c o r r e s p o n d a n t e s ' o b t i e n t (n° 9) par des q u a d r a t u r e s de ditférentielles exactes.

Pour que cette s u r f a c e soit i s o t h e r m i q u e , il faut et il suffit (n° 10) que l'on ait

, __ i ^ à_ ( / ? \ _ i _à_ f q\

w AoT'a') ^ \^) ~ B7(T) ^ Y ?2/

Ao(a) e t B o ( p ) é t a n t des f o n c t i o n s qu'on serait en droit de supposer l ' u n e et l ' a u t r e égales a l ' u n i t é , comme le fait 0. Bonnet, mais aux- q u e l l e s il c o n v i e n t de laisser toute l e u r i n d é t e r m i n a t i o n . On se réser- vera a i n s i la p o s s i b i l i t é de grandes s i m p l i f i c a t i o n s de c a l c u l q u i appa- r a î t r o n t dans la s u i t e .

La condifion (l'isot/ierrnie (2) exprime q u e l'équation d i f f é r e n t i e l l e des lignes de c o u r b u r e est

( 3 ) A o ^ — B o ^ p2 :=o;

développée, elle s'écrit

( ' > . } ' a ( I W ^ ? a — A , , 7 ^ ) -+- ( A O ^ — B O / " ) ? •=- 0.

Nous a l l o n s d i s c u t e r le système formé par les équations ( i ) et (2)'.

Nous ne chercherons pas à en é l i m i n e r la coordonnée isotrope $, ce q u i d o n n e r a i t p o u r ^ deux é q u a t i o n s aux dérivées partielles du cin- q u i è m e ordre. Au c o n t r a i r e , le système étant l i n é a i r e par r a p p o r t à ç, l ' é l i m i n a t i o n de ^ ne p r é s e n t e pas de d i f f i c u l t é s et d o n n e , comme on le s a v a i t d ' a v a n c e , une équation aux dérivées partieUes de quatrième ordre p o u r la f o n c t i o n ^. C'est ce calcul q u e n o u s allons exécuter.

34. De l ' é q u a t i o n (2)' n o u s t i r o n s , en ayant égard à l'expression (i) de la d é r i v é e c-4^,

1 1 , 1 -,,,,;,.= ^/;-^|A,,(^+^-l-aA^]<p;

-^(A•^-"•?+A•'^'-^)?•

Formons m a i n t e n a n t , au moyen de l ' é q u a l i o n ( i ) et de cette der-

.•/////.. I:c. Norm., ( 3 ) , X X I I . — SBr-TEMBhR 1906. '} î

4()2 L 1UFH.

nière, la condition d'intégrabilité

à „ à „

T^T^

en remplaçant les dérivées ^u et o^ par leurs expressions (i) et (i\ ').

Nous trouvons ainsi, tous calculs faits et après multiplication de tous les termes parl^p, l'équation suivante :

r (s, 4\ ^ + 3 ^ 4^ .Uy A ; , ^ 2 . î \ WJr ^ , A ; B ; , . / . ( 5 ) o = ^ ^ ^ ^ - ^ ^ - ^ - ^ ^ ^ ( ^ ^ j . . ^ ^ ^ ^ ^ ^

» r- . / , / , . . '> ; / < /• . "I / , ', Ïl 1 / / , i^, . , -,.

i, F " / ' (t 4^ / ^-î / ^ - r t t 1\M t 'îs} B o A . / ' , rt-^\ ^^W i + Ao â.^+ -4- " + -L ^?- " ^ 4- —— - + - • " - A ; - + - ••••h -,J•4 24+ — - ... + —^ /.

! L ^ V/ P1 ? "i^ V/ P l \ Y/ P i A,, \ a q ) Ao L F „ /• ' //,ki •?\ / <îs < , ^-"^//t . ^'f] p/ /'/' , ^^^ , A"Bo / / ^-^\ ^A,li;,J

'!4' ^yaî+ î• ^?r ^ ⁺ 7) ^v 'ï ^/a " ^l "^^

Rcinarquons, avant d'allor plus loin, que celle équation est parfai- tement symétrique par rapport aux yariables % et JÏ, aux fondions A<) etB,). Si dono on déduisait des équations (i) et (2)' les expressions des dérivées ^ etîp^, puis qu'on écrivit la condition d'inlé^rabililé

è , û »

»,„—, fijuU " " ' " " ""1"" '3)^'i

à^~ ù^

on retrouverait la relation (5) elle-même. C'est donc la Vunu/w éf/na"

tion (h (fiialriéme ordre qui résulte des équations (ï) et ( ï ) ' .

Remarquons encore qu'elle ne contient les dérivées premières de ^ que par le groupe B(,/?^—A^^ tout comme l'équation (ay; par suite, il suffit de tirer celte expression, de l'équation (2)' et do la sub- stituer dans la relation (4) pour éliminer à la fols ^, o^ et même o, qui se trouve en facteur dans tous les termes. Après division par A() B^, l'équation résultante prend la forme que voici :

/p, 2 f\ s , /r 3À-\ / /r2 n ^ 1 A,. F / / s ^r\ 1 .(< — ^ - - /a - - + - .?a 4- - 4- •- + - .y - — a 4 - - 4- — A'

^L P \p ? / \^ ^/ f) J A;L v/ ^ / J

s f . , î / /<t a.v\ / / /î ^ A'r\ 1 :B;J" / /-ï ^ \ 1

•^ --ç s^- - ^'ft •-- - + — ^ -h - + — 4- - A' - — a<?3 - •w H- ~ .y .

""L ? ' v/ /

/ ' W w fi J i^{[ •' [p f.i / J

C'est l'équation aux dérivées partielles du quatrième ordre, dont

R E C H R P i C Î Î E S SUR LES SURFACES I S O T H E R M I Q U E S . 4°3

d é p e n d la d é t e r m i n a t i o n des surfaces i s o t h e r m i q u e s ; n o u s Pappelle- ro n s V équation fondamentale.

Les dérivées q u a t r i è m e s de E n'y figurent q u e dans le groupe îi^s"^— Ay.9^; par s u i t e , l ' é q u a t i o n d i f f é r e n t i e l l e des caractéristiques se r é d u i t à

dy. d^ ( A,:, dv:¹ — RQ d^ ) = o ;

comparant avec l'équation (3), on voit, comme nous l'avions annoncé au 11° 32, que les caf'actéristùuies de l'équation (F) sont les lignes de lon- gueur nulle et les lignes de courbure.

35. L ' i n t r o d u c t i o n des i n v a r i a n t s h et k, q u e nous avons calculés au n⁰ 26 et q u i c o n t i e n n e n t les dérivées troisièmes de y, va nous per- m e t t r e de d o n n e r à l ' é q u a t i o n f o n d a m e n t a l e u n e forme extrêmement r e m a r q u a b l e .

Désignons pour u n i n s t a n t par DIL et x les coefficients du premier m e m b r e de l ' é q u a t i o n ( F ) , savoir

S

;)lL •::= S y', — ~ /'a — - ^ — ) ^ -+- —T + —— + — ,

P \P (! ) P1 7^7 ^

(.=„.,.-,(^^,

et r a p p e l o n s la seconde des formules (7) du n° 26

/. —: _ 1 (^ — -IL ^ ^ \.

/ > '" 9- W^ ^7^7 P1)

On aperçoit i m m é d i a t e m e n t l ' i d e n t i t é .^==— 4/?A\

D i i ï e r e n t i o n s m a i n l e n a n t la r e l a t i o n (7) par rapport à a et rempla- çons ^ par son expression tirée de la. première des équations (6);

nous trouvons

_ àk, — ^ ^fi ^^

_ _ 2 ^ _ ^ ^p\^ p ) ^

4o4 L. KAFFY.

d'où, en raison de la valeur trouvée par y^, résulte

^=..ph(^^^^[

L V7 P ) àa\

En conséquence, le premier membre de l ' é q u a t i o n f o n d a m e n t a l e (F) s'écrit, après suppression du f a c t e u r - - 4 »

p ( àk qr—ps\ A;, _ û ( pk \ A, [ôa + ~pq~) ~~ ^P" ^ f/ àa \^q ) 5

et comme cette équation est p a r f a i t e m e n t s y m é t r i q u e par rapport à oc et P, A() et B(), elie prend la f o r m e d é f i n i t i v e

^(^)^tô)-

dont la simplicité ne laisse rien a désirer.

Remarque. — On peut retrouver très r a p i d e m e n t cette é q u a t i o n , grâce à l'identité (1) du n° 29. Considérons, en e d e t , une s u r f a c e isothermique (S) et soit (II') l'une de ses transFormées par normales parallèles, d é f i n i e par les f o r m u l e s du n° 15. Pour cette surface (S'), les invariants é t a n t À' ofc /c\ l ' i d e n t i t é ( I ) s'écrira ainsi :

.'±(^:\^,'±(^

1

^ V /y / - '

^ \ / ;

Par les s u b s t i t u t i o n s (voir la Note, p. 4^7)

./ ^ A" (! , , t ^ KO/^ /,/ .-.„ /, U ^ A / . ^ ^ , . / - ^ . Â ~ Â , Â - / ^

elle d o n n e i m m é d i a t e m e n t

à ( p k \ _ à ( cfh \

^^^_p^^^

ce qui est l'équation f o n d a m e n t a l e p o u r la surface (ï)»

36. A toute solution (!;, A^, B^) de l'équation f o n d a m e n t a l e ( F ) correspond un système complètement irUégrcible, f o r m é par l'équa-

R E C H E R C H E S SUR LES SURFACES I S O T H E R M I Q U E S . 40,5

t i o n (i), l ' é q u a t i o n (2)' et ses deux dérivées premières. Comme ce système d é t e r m i n e les trois dérivées secondes de ^ en fonction des dérivées premières et comprend en o u t r e une équation du premier ordre, savoir l ' é q u a t i o n (2)', son intégrale générale cp dépend de deux constantes arbitraires et p o u r r a être obtenue par la méthode de Mayer ou toute autre é q u i v a l e n t e . En raison de la tonne l i n é a i r e du système, elle sera l i n é a i r e et homogène par r a p p o r t aux deux constantes arbi- traires. Les surfaces i s o l h e r m i q u e s correspondantes sont en n o m b r e d o u b l e m e n t i n f i n i ; m a i s nous allons voir q u ' i l s u f f î t d'en connaître une seule pQur d é t e r m i n e r foules les autres au moyen d'une quadrature de d i f f é r e n t i e l l e exacte.

37. THÉORÈME. — Etant donnée une solution ($, A(), B()) de l'équation fondamentale, si l'on connaît une solution © du système complet déduit de l'équation de déformation et de l'équation d'isothermie, la solution générale de ce système est (Co-+" ^i S')^» si l'on désigne par ^ la coor' donnée isotrope qui correspond à ^ dans la transformation par normales parallèles de la surface (^, A,p B(>, y), par C^ et Ci deux constantes

arbitraires.

Soit, en effet, <1,> u n e s o l u t i o n quelconque c o m m u n e à l'équation de déformation el, à l ' é q u a t i o n d ' i s o t h e r m i e . Posons <D == Ç<p et substi- tuons dans l'équation d'isothermie ( 2 )

s, ^L(£ \ - v <L( ^V

° ^ \ ^2/ •"-A o^ { ^ j

Si 1/on t i e n t compte de l'hypothèse que ç en est u n e solution, on trouve

o P à f i \ . q à ( \ \

> / ——— —— -= A() —— -T-5- ^ -

°cp² àa \^J cp² ^6 \ C²/

Mais, comme on a, p o u r la transformation par normales parallèles,

_ ^ ^1^ ⁶^»-^A^^

{ 0 ) ^ " ~ 4 ? ^ ^ a ^ ^ ?2 5

la c o n d i t i o n précédente exprime q u e le d é t e r m i n a n t fonctionnel de *€

4«6 L. I Î A F F Y .

et de ^ est nul. Nous poserons en conséquence T _ r ( ï ' \ r^ — r/ ^'î <cs _ r "

^ — ^ ;, ^T — C, , ^ — C, ,

ce qui donnera

r,n ^ » ,/^ ^ -r^l ^ - ^/ ^ . ^ ()2^

v y / A.. """ ^ /i^r)a """ ' ôa à^ ' à^ av. àç> •' àa ô^ ' ôa 0^ 5 ""^ — s .10. î 3"~"ÏQ" — -' ~T"7 7r^ '"'" L'

Substituons m a i n t e n a n t e = Çy dans l'équation de deformaiion

^ _ ±^^ .

-^ ^ r^!<D ^ o;

1 2/7 2^ 1 4/^7

cornme ç en est, par hypotlïèse, u n e s o l u t i o n , il v i e n t s i m p l e i n e n i o ^ (( ) \^P\^ ( () io<^ \^ ^

, ^^ ..,..„ ^ ^ ^j ^ _ ^ io^ ^^ ^ _ ^

ou, d'après les f o r m u l e s (8),

^ ^^

^^ ^^ (K '^^ <K

^^,^ . .,,.,,^ ^ _ •111-1^1/'1"- ^ '::::; 0'

^ ^a

ou e n f i n , eu é^ard a u x r e l a t i o n s (9),

^^/^,

()a (^ ç ~ 0"

A i n s i Ç est u n e f o n c t i o n linéaire de p, à coefficients constants, ce qui démontre notre théorème.

Nous dirons q u e les surfaces qui correspondent à la s o l u t i o n géné"

nérale

< l > = ( C o + C ^ ) ( p

sont les transformée}; par coordonnée isotrope commune de la sur- face (^, cp) q u i n o u s a permis de les déterminer. Cette transformation générale (I\-) des surfaces isothermiques, qui se r é d u i t à u n e s i m i l i - tude pour (^ ==: o, interviendra dans la suite de nos recherches.

R E C H E R C H E S SUR LES SURFACES ISOTHERMIQUES. 4.07

On v e r r a i t aisément q u e le produit de deux transformations (T;) est une transformation (T/) ou une similitude. Il n'y a donc pas lieu de répéter les t r a n s f o r m a t i o n s (ï\-).

Il va de soi q u e la t r a n s f o r m a t i o n par c o o r d o n n é e isotrope c o m m u n e ne m o d i f i e en r i e n l ' é q u a t i o n de d é f o r m a t i o n ni ses i n v a r i a n t s , puis- qu'elle ne porte q u e s u r les s o l u t i o n s de cette é q u a t i o n ; sa d é f i n i t i o n même i m p l i q u e la correspondance des lignes de c o u r b u r e sur la sur- face ('^, <p) et s u r les surlaces ($, 4>).

X. — Problème 1 : détermination des surfaces pour lesquelles l'invariant T est nul.

38. Les surfaces p o u r lesquelles l ' i n v a r i a n t e est n u l ne sont a u t r e s que les surfaces r n i n i m a . Nous avons m o n t r é , en effet, au n° iO, q u e la c o u r b u r e m o y e n n e d ' u n e s u r f a c e q u e l c o n q u e a p o u r expression

^ — ^J^L-, -.-.- ^/T •

acp \//^/ ?

elle est d o n c n u l l e q u a n d T est n u l . On v o i t q u e toutes les solutions de ce p r e m i e r p r o b l è m e sont des surfilées isotherniiques. Il va encore en être de m ê m e p o u r le pro b l ê m e s u i v a n t .

XI. — Problème II : détermination des surfaces pour lesquelles l'invariant i-i est nul, ainsi que les deux invariants h et k.

39. N o u s a l l o n s m o n t r e r t o u t d'abord q u e l'hypothèse^^ == o carac- térise les surfaces dont l'élément linéaire devient celai d'une sphère de rayon î , quand on le m'dtiplui par le carré de la courbure moyenne. En effet, d'après l ' i d e n t i t é g é n é r a l e

, (,rdadQ ds^- ——^——.

é t a b l i e au n0 '10, le p r o d o i t de l ' é l é m e n t l i n é a i r e ds2 d ' u n e surface q u e l c o n q u e par le carre ÏP de la c o u r b u r e moyenne n'est autre que

— 4r d^cl^ ; en é c r i v a n t q u e la c o u r b u r e totale de cette forme quadra-

4o8 L. HAÎ^V.

tique de différentielles est égale à t , nous trouvons pour T l'équation de Liouville

y- IO^\/T

^"^T^

qui e x p r i m e précisément que l ' i n v a r i a n t T< est nul ; réciproquement, si ^ = o, cette courbure totale est égale à ï .

Toutes les intégrales de l'équation ci-dessus r e n t r e n t dans le type

_ ^(a)^)

^ [ y ^ + ^ p ) ?5

où /et ^ sont deux f o n c t i o n s arbitraires, // et g-' leurs dérivées. Mais on ne restreint pas la généralité en prenant

(,) ,^^^, ^^^,

ce q u e nous ferons dorénavant. En conséquence, la f o n c t i o n ï; est l'in- tégrale

( à ) ?= Ç p d a ^ r ^ ci^,

la dérivée p étant d é f i n i e par l'équation

^ ()'^ i k ^ ^ r J / ^ o - ( 3 ) ^^ ^ ^ r ^ - o ,

la dérivée y se d é d u i t de p par l ' i d e n t i t é générale r^ l ^^P

V7 -•^ ' / " •-yp~-

VT ^p

I/équation en s/^ a été intégrée par M. G o u r s a t ( B u l l . Soc. math. de France, t. XX'V, iH<)7, p. 36). Elle donne

/- A + B , / r- A + I ^ ,^

(^ ^ =.-^^ -A-, ^ - ^-^ - ,1.^

A et B désignant deux f o n c t i o n s arbitraires, l ' u n e de a, l'autre de JÏ, dont A' et B' sont les dérivées. Les dérivées /^ et y ^ d ' u n e autre coor-

RECHERCHES SUR LES SURFACES ÎSOTÏÎERM1QUES. 4°9

d o n n é e isotrope seront ( b u r n i e s par les f o r m u l e s /-— AI-+-B, , / /— A i + B i ( o ) ^^.-^^-^A, ^-^^-^--.B,

où les lettres n o u v e l l e s o n t des significations évidentes. L'élément l i n é a i r e est alors d é f i n i par la relation générale

( 6) -^ 9 == \/p ^/i — S/7 V^ »

et le problème s'achève ( n⁰ 9j par des q u a d r a t u r e s . On c o n n a î t d o n c toutes les surfaces p o u r l e s q u e l l e s l ' i n v a r i a n t T^ est n u l . Les expres- sions correspondantes des i n v a r i a n t s h et k r é s u l t e n t des f o r m u l e s

/- ( ) /T / /- û . 1^

( 7 ) /,__^^, ^-^^Vp-

établies au n⁰ 29 et q u i d o n n e n t ici

/ o . .„ Ht!^ /^^A^

(h) /)i- ^qrp^5 Â- ( ^ + p ) ^

40- A r r i v o n s m a i n t e n a n t à notre problème particulier. La d o u b l e supposition A ==/•=== o e n t r a î n e A ^ ^ ' I ^ ^ o . A i n s i A et B sont des ( o n c t i o n s l i n é a i r e s de l e u r a r g u m e n t . Si l'on p o s e A ' ^ w , iy==n, on t r o u v e , avec u n e nouvelle constante /,

( ,(, ^ rn ) 6 -4- l ,'- ( ^ — ^ ) a -t- /

^ ^ __.^.^ , ^ = ———^-^———.

La r e l a t i o n (6) d o n n e alors

(m / / / ) ( A i - ^ A / l ) — / A/, 4 - ( ^ - / n ) ( B l — ( 3 P > i ) - ^ / B/l ,y ^ _ _ _ . _ _ ^ ^ — — — — — — — — — — — ^ — ^ — — — — — - .

expression q u i est de la forme

4 . , ( a ) - h ^ ( ( 3 )

^———^^——.

Aiin. Kc. Korin., ( 3 ) , XXÏII. — SEPTEMIIRK 1906. J2

4IÛ L. RAFFY.

11 vient, en conséquence (1) ,

(9) ^-- 4 (-J^^/a^ ^= ————.

( a - h p )2 r ï JL-h-lli)

Nous sommes dès m a i n t e n a n t en mesure (le prouver que la déve- loppée harmonique des surfaces définies par les formules (()) est un plan isotrope ou se réduit à un point.

En effet, on reconnaît facilement que, si l ' é l é m e n t l i n é a i r e d ' u n e surface est ds², si û est sa courbure moyenne et K sa courbure totale, l'élément l i n é a i r e de sa développée h a r m o n i q u e est

r f s-(^2)2-h(•-^)^•

Or on a ici

K — ^ ^ P ) ^1^ I i - o

^ —^^^ - ^"^ . ^ ~ ^ 4- -U.,

d'où résulte

^^--("V^a-- i»^ c/^')\

Si les dérivées cA/ et ^ ne sont pas n u l l e s toutes les deux, le second membre est le carré d ' u n e d i f f é r e n t i e l l e exacte, ce q u i prouve que la développée h a r m o n i q u e est u n plan isotrope. Si rjl/== ^/== o, elle se r é d u i t a u n p o i n L

Dans le premier cas, la surface considérée est u n e s u r f a c e ( B ) d'Ossian B o n n e t ; dans le second, c'est u n e sphère.

Nous p o u v o n s donc conclure : Les sur faces pour lesquelles V éauation de déformation a ses deux invariants h et k é^aux à zéro, T notant pas nul. sont les sphères et les sur faces (B). En conséquence, les s o l u t i o n s du problème I I sont f o u r n i e s exclusivement, comme celles d u pro- blème ï, par des surfaces i s o t h e r m i q u e s .

(1) On arrivo plus dirocLcmont à ces résultats en mlé^nml, dans l'hypolhôse // == /• == o, les équations ( 7 ) pt l'équation do déformation* Nous avons prôférô les rattacher à une analyse plus générale, qui interviendra nécessclireniont dans la suite et q u i donne à l'expo- sition plus d'uniformité.

RECHERCHES SUR LES SURFACES ISOTHERMIQUES. 4I r

Remarque 7. — L'élément l i n é a i r e des surfaces (B) dépend de deux fonctions a r b i t r a i r e s ; la ( o n c t i o n E, qui est l ' u n e de leurs coordonnées isotropes, a u n e expression a n a l y t i q u e i n d é p e n d a n t e de ces fonctions arbitraires. C'est cette c i r c o n s t a n c e qui a permis à M. Hazzldakis (Journal de Crelle, t. 117) de trouver les coordonnées des surfaces (B) en partant de l e u r é l é m e n t l i n é a i r e et de l e u r seconde f o r m e quadra- t i q u e f o n d a m e n t a l e . Le fait s ' e x p l i q u e tout n a t u r e l l e m e n t dans le mode d'exposition que n o u s avons a d o p t é : à toute équation de défor- mation pour laquelle la suite de Laplace se termine dans un sens, et par suite dans les deux sens (n° 28), correspondent un élément linéaire dépen- dant de deux/onctions arbitraires et une coordonnée isotrope ^ qui n'en dépend pas. La portée de cette r e m a r q u e s'étend é v i d e m m e n t b i e n au delà de l ' a p p l i c a t i o n présente.

Remarque I I . — D'après l'analyse p r é c é d e n t e , les sphères et les sur- faces (B) o n t même c o o r d o n n é e ^. Les l i g n e s de c o u r b u r e de la sphère é t a n t i n d é t e r m i n é e s , ces deux va'iclés de surfaces peuvent être considé- rées comme se correspondant l'une à /''autre dans la. transformation (T;) par coordonnée isotrope commune, t r a n s f o r m a t i o n dans la d é f i n i t i o n de l a q u e l l e nous avons i m p l i q u é (n° 37) la correspondance entre les lignes de courbure.

XII. — Problème III : détermination des surfaces isothermiques pour lesquelles l'invariant ri est nul, un seul des invariants A et k étant égal à zéro.

4:1. Les surfaces cherchées sont parmi celles dont nous avons défini (n° 39) d e u x coordonnées isotropes '^, Y] par les formules

A -+- B . , ,- A 4 - B ..

(•) ^=7r^ -

' ^-a-Tp -

'

/ ^ /— A,-)-B, ., /— A I + B I p,

(.) ^,= -^p- -A, \/y,= -^-p- - B , ,

d'où résultent, pour les i n v a r i a n t s h et /c, les valeurs

m /,-

"^ /c-.-Al^—

( 3 ) "-(o'?^' " - ( a + f : ! ) / ^

4 I 2 L. RAFFY.

le coefficient de l'élément linéaire est toujours fourni par la relation (4) ^^^^p^Yi—^/^Pi'

Exprimons que l'invariant h est n u l ; la dérivée B" se r é d u i t à zéro e t B est une fonction linéaire m? 4-/z. Il suffit alors de changer A en A + my. — n dans les formules ( r ) pour trouver

( i V \/p =——-—A', \/g =:——-,

v / v y a -i- (3 ? • 7 a -h (3

et il vient alors

( 5 ) A A ^ A ' A . - A - B . - A B ^ ^

a -1-- p

L'hypothèse de l'isotherniie n'ayant pas été i n v o q u é e j u s q u ' i c i , les relations (i/, (2) et (5) d é f i n i s s e n t de la fîiçon la plus générale les surfaces p o u r lesquelles on a s i m u l t a n é m e n t T^ = o, h == o, k -^ o.

L'équation d'isothermie

( 6 ) ÎZîkrL^Î ^ ^iî^Z^Î A() iîo

c o n t i e n d r a i t v i s i b l e m e n t cm^ fonctions d i f f é r e n t e s , savoir A,,, A, A ) , B() et B. C'est p o u r q u o i , avant de la former, n o u s e m p l o i e r o n s r é q u a "

tion fondamentale

/ B^ / ^ ( P^ \ () f f/ll \

( r / ^-(.A^^^^fï^J'

dont le second membre s'évanouit avec A. Des lors, en ayant égard aux relations (3) e t ( ï ) ' , on conclut

o ^ L f^:} = <L r _^^^^^^^^^^^^^ ^ L (^ \.

()a \ A,o q ) ûa [ ( ^ ^ p ) ^ ^^ J <)a \ AA» )

Comme les f o n c t i o n s A(, et B(, ne sont définies qu'à un facteur con- stant près, nous p r e n d r o n s

( 7 ) A o = ^ - -V

RECHERCHES SUR LES SURFACES ISOTHERMIOUES. (\\î

Formons m a i n t e n a n t l ' é q u a t i o n d'isothermie (6); eu égard aux relations ( ï ) \ (5) et (4). ^/lle se r é d u i t à

( 8 ) A A , -+- (a -i- p) (À^ - A^A; ) == (a, - B^ AA",

\ î5 0 /

la lettre Aa désignant l'expression AA^ — A ' A , . Le premier membre de cette égalité étant l i n é a i r e en ?, le second l'est aussi ; on a donc

B i - ^ = = ^ + / o ;iîo

mais i l sufFit de faire rentrer dans la fonction Bi le binôme l^ -+-/o»

dont les coefficients sont constants, p o u r être en droit de poser

( 9 ) ^B"

^ Bi

Alors, le second m e m b r e de l ' é q u a t i o n (8) étant n u l , quelle q u e soit la v a l e u r de [^, le p r e m i e r l'est aussi; on a donc

(10) A ^ — A / A ^ o , A , = = o ,

é q u a t i o n s q u i e n t r a î n e n t A^ = o, car, si l'on supposait A'⁷^ o, on a u r a i t k === o en vertu de l'une des é q u a t i o n s (3), tandis que n o u s supposons ici li == o el par s u i t e / c ^ o . La fonction A^ étant identi- q u e m e n t n u l l e , l'expression (5) de <p se r é d u i t à

A/B.-i- \B\

, ^ ^ _ ^ ^ _ _ ^ A B , ,

ce q u e nous é c r i r o n s

AB^BA^a-^-PyA^

(^ cp-^——————-^j——~———?

en r e m p l a ç a n t 1^ par — 2!?.

42. De là et des relations (7) et (9) nous allons d é d u i r e que les surfaces ùolhermiques pour lesquelles l'invariant h est nul, k étant diffé- rent de zéro, sont les Surfaces (©) de M. Thybaut.

4 ï / j . L. RAFFY.

Nous avons, en effet, déjà formé (n° 18) la c o n d i t i o n qui exprime que les sphères harmoniques d ' u n e surface isothermiqae d'élément linéaire

(i^) ds^nndp^dp2,)

touchent u n plan. Si û et T désignent la demi-somme et la demi-diffé- rence des courbures principales et si A< est le premier paramètre différentiel relatif à l'élément l i n é a i r e (12), on a

IÏ2-P

( i 3 ) .-^-(^²-^- Ailôg-IP'JO^const.

Si l'on introduit (n° 15) les paramètres a et (3 des lignes de lon- gueur nulle, en posant

dp -h idp^ == \/Ao dix, dp — Ici p^ •-=: \/BQ dfï,

il vient

^ m 2

J.ç2 = 4 y2 ( a, (3 ) da d^, H2 — —L':.,^ ; V.A(,BO

de sorte que la condition à vérifier prend la f o r m e

. ^r / ^ . .,,9^^

2•4- Ai lo^-S^^ ^ == consl.,

^ 'VAoBo/

ce qui peut s'écrire

/ .,., r / „.., à , ^T à , cp^r \

£ 2 \ / A o B o V ^^a ^ ^ / A o B o ^ \/A,Bo/

Or ici» d'après l'équation (ï i), nous avons

, M OT

(n)' ^iFTp'

en posant

( i4 ) w = AB^ BA' ~ (a 4- (3 ) A^/B^/. La courbure totale K a donc p o u r expression

„ _ _ j_ ^J|°^ _ _ LÎ^ÎLÊ.Z "î^ll^^_-„ ^ ^^^ _ _ ^ ^ ^ . ^ 4^ ^.^-^j, x 1

RECHERCHES SUR LES SURFACES ISOTHERMIQUES. 4 t ^

ou encore

i ( a + S )2 ^log-CT

( I 5 ) K - ~ ^ ~ " ^ ~ào^'

Mais, d'après l ' i d e n t i t é générale du n0 39

, , 4T^Wû s1 dy.dÇ)

ds^^-^=-^-^-.

rapprochée de l'expression actuelle de T, on a

, „ f\ da clQ / o / j n ^ ^a ^P

dsl

=- ^^k^

^

^(^^'

d'où l'on c o n c l u t s i m u l t a n é m e n t

(^ ^^=^^,

( ï 7 ) ^ ^ ^ ^ — i .

En conséquence, l ' é q u a t i o n (ï5) s'écrit

(.r,)' K . ^ ^ - ^ ^ ^ ^

^ .

' UJ- ()a Ôft

M.ais on. a toujours K == i'P— F2; de sorte qu'il vient

/ ^ T 2 - ( ^ - ^ - 01)2 ^JO^Î.T

( I b ) i -"——!-^——— -^-Jp •

Or on trouve aisément, en p a r t a n t de l ' é q u a t i o n ( i 4 ) »

^ K » - . P , B - B ) A . , ^=[(..P)A-A:|,i., ^.-"^i'.

Il vient, en conséquence, eu égard aux équations (7), (9) et (i i)'',

F ^ . ( a 4 - ( 3 ) _ A B

( 1 9 ) T A , ^ " 'C T T

9ii^ . AB

(20) V/AJ^^-Tp-

4 l ^ > L. RAFFY.

Substituons dans la condition (i3)' les résultats f o u r n i s par les équations (16), ( 1 7 ) , (19) et (20); nous trouverons

( a + p ) A B f i à , AB à , AB 1

—————— _ — — — ^ - —log——^ -r^log-——^ == const.,

^ L ( ^ ^ - ^ P ) ^a ^ - + ( 3 ^ ( 3 "a-l-pj ?

ou, en effectuant et réduisant,

(a - ^ - ^ A ^ ^ — f A i r + I Î A ' )

-—————————;——————- == const.,

îî7

ce qui a bien l i e u , puisque le premier membre se r é d u i t à — i , d'après la relation ( i 4 ) ? q u i d é f i n i t la fonction ç-r. Le théorème est donc démontré.

43. Remarque. — En appliquant la condition d'isothermie, nous avons trouvé

A A ^ — A ' A i ^ o ,

ce qui prouve que les f o n c t i o n s A^ et A sont d a n s un rapport con- stant m. On a donc, en comparant les formules (i)' et (2),

^ ,„ ^.^ + „, ^ ^ ^ ^^.,, ^ ^ ^ ^

Or la formule

^ y ^ ^ ^ i " ^/v5^

montre q u e l'élément l i n é a i r e ne change pas, si l'on remplace respec- tivement \!p, et V<7, par v^,- m ^p et V^ - m y^.' Ce ' c h a n g e m e n t équivaut, d'ailleurs, à un s i m p l e déplacement. On peut donc prendre

^ï^r ^=^-»:-

Alors la-coordonnée isotrope

•{\ == ^ p^ da -+-" yi d^

satisfait à l'équation k == o (avec À ^= o). On voit donc que si, pour une