Sur une photo, on compte 32 pattes et 15 têtes. Sachant qu’il s’agit d’oiseaux et d’éléphants, déterminer le nombre de chaque espèce, en détaillant votre démarche.

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– Systèmes d’équations – Feuille d’exercices n°1

Exercice n°1

Sur une photo, on compte 32 pattes et 15 têtes. Sachant qu’il s’agit d’oiseaux et d’éléphants, déterminer le nombre de chaque espèce, en détaillant votre démarche.

Exercice n°2

Paul achète 15 viennoiseries : des pains au chocolat et des croissants. Un croissant coûte 1 € . Un pain au chocolat coûte 1,15 € . Paul en a au total pour 16,50 €. On veut savoir combien de croissants et de pains au chocolat il a achetés.

Soit x le nombre de pains au chocolat, et y le nombre de croissants.

1. Exprimer en fonction de x et de y le nombre total de viennoiseries achetées.

2. Exprimer en fonction de x et de y le prix total dépensé pour les viennoiseries.

3. Utiliser ces deux égalités pour trouver le nombre de croissants et le nombre de pains au chocolat.

4. Vérifier que les valeurs trouvées répondent aux conditions de l’énoncé.

Exercice n°3

Quand on leur demande leurs poids, Xavier et Yann donnent cette énigme :

« 3 Xaviers et 7 Yanns pèsent ensemble 570 kg.

3 Xaviers et 5 Yanns pèsent ensemble 450 kg ».

1. Trouver directement combien pèsent « 2 Yanns. » 2. En déduire le poids de Yann.

3. En déduire le poids de Xavier.

4. Vérifier que les valeurs trouvées répondent aux conditions de l’énoncé.

Exercice n°4

Virginie achète 2 cahiers et 3 livres de poche pour 10 € . Son ami Yann achète 4 cahiers et 5 livres de poche pour 19 €.

Calculer le prix en euro d’un cahier et celui d’un livre de poche en expliquant votre démarche, puis vérifier que les valeurs trouvées répondent aux conditions de l’énoncé.

Après cet exercice, vous devez normalement avoir deviné une méthode de résolution. Recopiez alors le cours situé au dos de cette feuille.

Exercice n°5

Résoudre les systèmes d’équations suivants : 1.

2.

3.

4.

Exercice n°6

Résoudre les systèmes d’équation suivants : 1.   









12 21 10

8 7 5

y x

y x

2.   







 3 5

9 4

y x

y

x

3.   











7 6 3

12 4

y x

y x

4.   









 3 4 8

6 7 12

y x

y x

Chapitre : Système de deux équations à deux inconnues

I) Equation − Système d’équations

Exemple n°1 : « 3 cahiers coûtent 6 € » est traduit mathématiquement par l’équation « 3x = 6 » , où x

représente le prix inconnu d’un cahier.

Exemple n°2 : « Sur une photo montrant des oiseaux et des éléphants, il y a 15 têtes d’animaux et 32 pattes », est traduit mathématiquement par le système :

où x représente le nombre d’oiseaux, y représente le nombre d’éléphants, et où l’accolade signifie que les deux conditions doivent être vérifiées en même temps

Exemple n°1 : si x = = 2 , 3x = 6 est vérifié : 3×2 = 6.

Exemple n°2 : si x = 14 et y = 1, on a à la fois x + y = 15 (14+1 = 15) et 2x+4y = 32 (2×14+4×1 = 28+4 = 32)

II) Une méthode de résolution d’un système d’équations (parmi d’autres)

La Méthode par addition ou soustraction Exemple n°3 :

6 : 1×6 = 6, 2×6 = 12, 3×6 = 18, 4×6=24 : il faut donc multiplier la première équation par 4 8 : 1×8 = 8, 2×8 = 16, 3×8 = 24 : il faut donc multiplier la deuxième équation par 3

6x+9y = 15 devient 4×(6x+9y) = 4×15 , c'est-à-dire 24x+36y = 60.

8x−6y = 14 devient 3×(8x−6y) = 3×14 , c’est-à-dire 24x−18y = 42.

Définition : Une équation est l’expression par une égalité de formules mathématiques d’une ou de plusieurs conditions correspondant à un problème donné.

Définition : Résoudre une équation , c’est trouver toutes les quantités qui vérifient l’égalité (ou les égalités).

Méthode : Mise en équation

Pour « construire » une équation ou un système d’équations à partir d’un énoncé, il faut :

 Repérer les quantités à trouver (lire la question donne souvent un bon indice) (ex.2 : le nombre d’oiseaux et le nombre d’éléphants).

 Imaginer que le(s) inconnue(s) sont trouvées, et traduire l’énoncé par des opérations mathématiques (ex.2 : nombre de têtes : on additionne le nombre d’oiseaux et le nombre d’éléphants – nombre de pattes : nombre d’oiseaux×par 2+nombre d’éléphants×4).

 Repérer la ou les conditions (« à quoi cela doit être égal ») (ex.2 : nombre de tête = 15- nombre de pattes=32).

Pour trouver y :

1°) on cherche un multiple commun aux coefficient de x (comme pour mettre au même dénominateur ) :

2°) on multiplie chaque équation par les coefficients trouvés :

3°) les coefficients de x étant égaux on pose la soustraction membre à membre, qui éliminera – Si les coefficients étaient opposés, on x

additionnerait membre à membre pour éliminer x :

24x+36y = 60

− [ 24x−18y = 42]

−−−−−−−−−−−−−−−−−

54y = 18

y =

y = .

9 : 1×9 = 9, 2×9=18

6 : 1×6 = 6, 2×6=12, 3×6=18

6x+9y = 15 devient 2×(6x+9y) = 2×15 , c'est-à-dire 12x+18y = 30.

8x−6y = 14 devient 3×(8x−6y) = 3×14 , c’est-à-dire 24x−18y = 42.

12x+18y = 30 + [ 24x−18y = 42]

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

36x = 72 x= = 2

Si x = 2 et y = , on a :

6x+9y = 6×2+9× = 12+3 = 15 et 8x−6y = 8×2−6× = 16−2 = 14.

Car 24x+36y−(24x−18y) = 24x+36y−24x+18y = 54y

4°) on résout l’équation à une inconnue en y :

Pour trouver x, on recommence :

5°) on cherche un multiple commun aux coefficient de (comme pour x

mettre au même dénominateur ), etc. Ce qui donne :

6°) les coefficients de y étant opposés on pose l’addition membre à membre, qui éliminera y :

7°) On vérifie toujours que la solution obtenue est juste :

8°) On conclue :

Résultats

Exercice n°3 [x = 50 y = 60] ∧ Exercice n°4

SOLVE([2·x + 3·y = 10, 4·x + 5·y = 19], [x, y])

⎡ 7 ⎤

⎢x = ⎯⎯⎯ y = 1 ∧ ⎥

⎣ 2 ⎦ Exercice n°5

SOLVE([3·x + 2·y = 6, 6·x + 2·y = 9], [x, y])

⎡ 3 ⎤

⎢x = 1 y = ∧ ⎯⎯⎯ ⎥

⎣ 2 ⎦

SOLVE([- 3·x + 2·y = 6, 6·x + 2·y = 9], [x, y])

⎡ 1 7 ⎤

⎢x = ⎯⎯⎯ y = ∧ ⎯⎯⎯ ⎥

⎣ 3 2 ⎦

SOLVE([3·x - 5·y = 6, 6·x + 2·y = 9], [x, y])

⎡ 19 1 ⎤

⎢x = ⎯⎯⎯⎯ y = - ∧ ⎯⎯⎯ ⎥

⎣ 12 4 ⎦

SOLVE([3·x - 9·y = 6, 6·x + 2·y = -9], [x, y])

⎡ 23 21 ⎤

⎢x = - ⎯⎯⎯⎯ y = - ∧ ⎯⎯⎯⎯ ⎥

⎣ 20 20 ⎦ Exercice n°6

SOLVE([5·x + 7·y = 8, 10·x + 21·y = 12], [x, y])

⎡ 12 4 ⎤

⎢x = ⎯⎯⎯⎯ y = - ∧ ⎯⎯⎯ ⎥

⎣ 5 7 ⎦

SOLVE([4·x - y = 9, 5·x + y = 3], [x, y])

⎡ 4 11 ⎤

⎢x = ⎯⎯⎯ y = - ∧ ⎯⎯⎯⎯ ⎥

⎣ 3 3 ⎦

SOLVE([4·x + y = 12, - 3·x + 6·y = 7], [x, y])

⎡ 65 64 ⎤

⎢x = ⎯⎯⎯⎯ y = ∧ ⎯⎯⎯⎯ ⎥

⎣ 27 27 ⎦

SOLVE([12·x - 7·y = -6, 8·x + 4·y = 3], [x, y])

⎡ 3 21 ⎤

⎢x = - ⎯⎯⎯⎯⎯ y = ∧ ⎯⎯⎯⎯ ⎥

⎣ 104 26 ⎦