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EML 2015 et correction, Mathématiques, option E

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Type : Concours, Sujets Classe(s) : CPGE ECE 2 Matières : Mathématiques

Mots clés : corrigé, concours 2015, bce, banque

commune d'épreuves, option éco

Les fichiers du document 1410

Correction EML E 2015

Sujet Math EML 2015 option éco

Le contributeur mesrevisions précise : Correction de l'épreuve mise à jour. Loi exponentielle, maximum de loi exponentielles et loi du premier dépassement ; Analyse (étude d'une fonction, suite, fonction à deux variables) ; Endomorphismes d'un espace de dimension 3 vérifiant fo(f^2+i)=0

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EMLyon 2015 - option eco

Exercice 1

Dans tout l’exercice, (Ω,A, P) d´esigne un espace probabilis´e et toutes les variables al´eatoires consid´er´ees seront suppos´ees d´efinies sur cet espace.

Partie I : Loi exponentielle

Dans toute cette partie,λd´esigne un r´eel strictement positif.

1. Donner une densit´e, la fonction de r´epartition, l’esp´erance et la variance d’une variable al´eatoire suivant une loi expo- nentielle de param`etreλ.

2. Justifier que les int´egrales suivantes convergent et donner leurs valeurs : Z +∞

0

e^−λxdx,

Z +∞

0

xe^−λxdx.

3. (a) Soit U une variable al´eatoire suivant la loi uniforme sur [0,1[. Quelle est la loi de la variable al´eatoire V =

−1

λln(1−U).

(b) Ecrire une fonction en Scilab qui, ´etant donn´e un r´eelλstrictement positif, simule la loi exponentielle de param`etre λ.

On consid`ere une suite (X<sub>n</sub>)<sub>n∈N</sub><sup>∗</sup> de variables al´eatoires ind´ependantes suivant toutes la loi exponentielle de param`etre 1.

Pour toutndeN^∗, on d´efinit la variable al´eatoire T_n = max(X₁, ..., X_n) qui, `a tout ω de Ω,associe le plus grand des r´eels X₁(ω), ..., X_n(ω) et on notef_n la fonction d´efinie surRpar :

∀x∈R, f_n(x) =

(ne^−x(1−e^−x)ⁿ⁻¹ six≥0

0 six <0.

Partie II : Loi de la variable al´ eatoire T

_n

4. (a) Calculer, pour tout ndeN^∗ et pour toutxdeR^+∗,la probabilit´eP(Tn≤x).

(b) En d´eduire que, pour toutndeN^∗, Tnest une variable al´eatoire `a densit´e, admettant pour densit´e la fonctionfn. 5. (a) Montrer que, pour tout ndeN^∗,la variable al´eatoireT_n admet une esp´erance.

(b) D´eterminer l’esp´eranceE(T1) deT1et l’esp´eranceE(T2) deT2. 6. (a) V´erifier : ∀n∈N^∗, ∀x∈R⁺, fn+1(x)−fn(x) =− 1

n+ 1f_n+1⁰ (x).

(b) Montrer ensuite, `a l’aide d’une int´egration par parties :

∀n∈N^∗,

Z +∞

0

x(fn+1(x)−fn(x))dx= 1 n+ 1

Z +∞

0

fn+1(x)dx.

(c) En d´eduire, pour tout n deN^∗, une relation entre E(Tn+1) etE(Tn),puis une expression de E(Tn) sous forme d’une somme.

Partie III : La loi du premier d´ epassement

Dans toute cette partie,ad´esigne un r´eel strictement positif.

On d´efinit la variable al´eatoireN ´egale au plus petit entier ndeN^∗ tel queX_n > a si un tel entier existe, et ´egale `a 0 sinon.

7. Justifier l’´egalit´e : (N = 0) =

+∞

\

k=1

(Xk≤a).

8. Montrer : ∀n∈N^∗, P(N =n) = (1−e^−a)ⁿ⁻¹e^−a. 9. D´eterminer l’esp´eranceE(N) et la varianceV(N) deN.

On s’int´eresse maintenant `a la variable al´eatoireZ,d´efinie pour toutω de Ω par :

Z(ω) =

(X_N(ω) siN(ω)6= 0 0 siN(ω) = 0. 10. JustifierP(Z≤a) = 0.

1

11. Soit x∈]a,+∞[.

(a) Soitn∈N^∗. Justifier l’´egalit´e d’´ev´enements :

((N =n)∩(Z≤x)) =

((a < X₁≤x) sin= 1 (T_n−1≤a)∩(a < Xn ≤x) sin≥2. En d´eduire la probabilit´eP((N =n)∩(Z≤x)).

(b) Montrer alors : P(Z ≤x) = 1−e^a−x.

12. (a) Montrer que la variable al´eatoireZ−asuit une loi exponentielle dont on pr´ecisera le param`etre.

(b) En d´eduire l’existence et la valeur deE(Z), ainsi que l’existence et la valeur deV(Z).

Exercice 2

Dans cet exercice, on pourra utiliser l’encadrement suivant : 2 ¡ e ¡ 3.

Partie I : Etude d’une fonction

On consid`ere l’application ϕ:R→R, x7→ϕ(x) =x²e^x−1.

1. Dresser le tableau de variations deϕ,en pr´ecisant la limite de varphien−∞,sa valeur en 0 et sa limite en +∞.

2. Etablir que l’´equatione^x= 1

x², d’inconnuex∈]0,+∞[,admet une solution et une seule, not´eeα,et queαappartient

`

a l’intervalle 1

2; 1

.

On consid`ere l’application f : R → R, x 7→ f(x) = x³e^x, et la suite r´eelle (u_n)_n∈N d´efinie par : u₀ = 1 et ∀n ∈ N, u_n+1=f(u_n).

Partie II : Etude d’une suite

3. Montrer : ∀n∈N, un≥1.

4. Etablir que la suite (un)_n∈Nest croissante.

5. Quelle est la limite deun lorsque l’entier ntend vers l’infini ?

Partie III : Etude d’une s´ erie

6. Montrer que la s´erie X

n≥1

1

f(n) converge. On noteS=

+∞

X

n=1

1 f(n). 7. Montrer : ∀n∈N^∗,

S−Pn k=1

1 f(k)

≤ 1

(e−1)eⁿ.

8. En d´eduire une fonction en Scilab qui calcule une valeur approch´ee deS `a 10<sup>−4</sup>pr`es.

Partie IV : Etude d’une fonction de deux variables

On consid`ere l’ouvertU =]0,+∞[×RdeR² et l’application de classeC² suivante :

g:U →R,(x, y)7→g(x, y) = 1

x+e^x−y²e^y. 10. Repr´esenter graphiquement l’ensembleU.

11. Calculer, pour tout (x, y) deU, les d´eriv´ees partielles premi`eres degen (x, y).

12. Montrer que g admet deux points critiques et deux seulement, et que ceux-ci sont (α,0) et (α,−2), o`u αest le r´eel d´efini `a la question 2.

13. Est-ce quegadmet un extremum local en (α,0) ? 14. Est-ce quegadmet un extremum local en (α,−2) ? 15. Est-ce quegadmet un extremum global surU?

2

Exercice 3

SoitE un espace vectoriel de dimension 3. On note 0E le vecteur nul de E.

On noteil’application identit´e deE,etθl’application constante nulle de E dansE : i:E→E, x7→x et θ:E→E, x7→0E. On consid`ere un endomorphismef deE tel que :

f 6=θ, f²+i6=θ, f◦(f²+i) =θ, o`uf² d´esignef ◦f.

1. (a) Montrer quef n’est pas bijectif.

(b) En d´eduire que 0 est valeur propre def,puis montrer qu’il existeuappartenant `a Etel que : u6= 0_E et f(u) = 0_E.

Soitv1 appartenant `a E tel que : v16= 0E etf(v1) = 0E. 2. Montrer : Sp(f) ={0}.

3. Est-ce quef est diagonalisable ?

4. Montrer quef²+in’est pas bijectif, puis en d´eduire qu’il existevappartenant `aE tel que : v6= 0E et f²(v) =−v.

Soitv₂ appartenant `a E tel que : v₂6= 0_E etf²(v₂) =−v₂.On notev₃=f(v₂).

5. Montrer : f(v₃) =−v2.

6. (a) Montrer que la familleB= (v₁, v₂, v₃) est une base deE.

(b) D´eterminer une matriceCdef dans la baseB.

On consid`ere les matrices suivantes : A=





1 0 0 0 0 0 0 0 0



 et B =





0 0 0 0 1 0 0 0 1



, et le sous-espace vectorielF deM3(R) engendr´e par (A, B, C),c’est-`a-dire :

F={aA+bB+cC; (a, b, c)∈R³}.

7. D´eterminer la dimension deF.

8. Montrer : {M ∈ M₃(R);CM =M C}=F.

9. (a) Pour tout (a, b, c)∈R³,calculer la matrice (aA+bB+cC)².

(b) En d´eduire une matriceM deM3(R) telle que : M²=





4 0 0

0 5 −12

0 12 5



.

10. On noteg=f²−i.

Montrer queg est bijectif et exprimerg⁻¹ `a l’aide def eti.

3