L.S.Marsa Elriadh
Epreuve 6
M : Zribi4 èmeEco Révision
2008/2009
Exercice 1:
1) Mettre sous la forme algébrique les nombres complexes suivants:
2 1 5
(2 ) (1 5 )
1
a i i i et b i
i
.
2) Soit A, B et C les points d'affixes respectives z
A=-2-i, z
B=2+3i et z
C=4+i.
a) Placer dans un repère orthonormé
( , , )O i jles points A, B et C.
b) Déterminer l'affixe du point I milieu de [AC].
3) a) Calculer les longueurs AB, AC et BC.
b) Quelle est la nature du triangle ABC?
4) déterminer l'affixe du point D tel que ABCD est un rectangle.
Exercice 2 :
1) résoudre dans l'équation z²-2z+2=0.
2) On donne f(z)=z
3-4z²+6z-4.
a) vérifier que 2 est solution de l'équation f(z)=0.
b) Vérifier que f(z)=(z-2)(z²-2z+2).
c) Résoudre d'ans l'équation f(z)=0.
3)le plan est rapporté à un repère orthonormé direct
( , , )O i j, on désigne par A, B et D les points d'affixes respectives a=2, b=1-i et d=
b.
Montrer que OBAC est un carré.
Exercice 3:
1) Résoudre dans l'équation : z
2-(4+2i)z+4+4i=0.
2) On considère l'équation (E): z
3-(4+3i)z
2+(2+8i)z+4-4i=0.
a) Vérifier que z
0=i est une solution de (E).
b) Déterminer les complexes a, b et c tel que z
3-(4+3i)z
2+(2+8i)z+4-4i=(z-i)(az
2+bz+c).
c) résoudre alors l'équation (E).
3) On donne les points A, B et C d'affixes respectives a=2+2i, b=i et c=2.
a) Placer dans un repère orthonormé
( , , )O i jles points A, B et C.
b) Montrer que ABC est un triangle isocèle.
c) Déterminer l'affixe du point D tel que ABCD est un losange.
Exercice 4 :
1. Dans un parc, il y a cinq bancs reliés entre eux par des allées.
L.S.Marsa Elriadh
Epreuve 6
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2008/2009
A
B
C
E D
On modélise les bancs par les sommets A, B, C, D, E et les allées par les arêtes du graphe G ci-dessous :
G
7 3
8
2 4
5
a. On désire peindre les bancs de façon que deux bancs reliés par une allée soient toujours de couleurs différentes.
Donner un encadrement du nombre minimal de couleurs nécessaires et justifier.
Déterminer ce nombre.
b. Est-il possible de parcourir toutes les allées de ce parc sans passer deux fois par la même allée ? justifier.
c. Un visiteur va se rendre du banc E au banc B. Déterminer, en utilisant un algorithme, le trajet le plus rapide pour aller de E à B et préciser sa longueur.
2. Une exposition est organisée dans le parc. La fréquentation devenant trop importante, on décide d'instaurer un plan de circulation : certaines allées deviennent à sens unique, d'autres restent à double sens. Par exemple la circulation dans l'allée située entre les bancs B et C pourra se faire de B vers C et de C vers B, alors que la circulation dans l'allée située entre les bancs A et B ne pourra se faire que de A vers B. Le graphe G ci-dessous modélise cette nouvelle situation :
G’
a. Est-il possible de parcourir toutes les allées de ce parc sans passer deux fois par la même allée ? justifier.
b. Donner la matrice M associée au graphe G(On ordonnera les sommets par ordre alphabétique).
c. On donne 5
1 6 9 6 10 4 5 7 11 5 4 6 6 11 5 1 5 10 6 10 6 5 5 14 2 M
Combien y a-t-il de chemins de longueur 5 permettant de se rendre du sommet D au sommet B ? Les donner tous.
A
B
C
E D
L.S.Marsa Elriadh
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2008/2009 d. Montrer qu'il existe un seul cycle de longueur 5 passant par le sommet A. Quel est ce cycle ?
