CHAPITRE 1 : ESPACE VECTORIEL
I- Loi de composition interne et Loi de composition externe ... 2
I-1 Loi de composition interne (L.C.I.) ... 2
I-1-1 Définition ... 2
I-1-2 Propriétés ... 3
I-2 Loi de composition externe ... 4
II- Structure d’espace vectoriel réel ... 5
II-1 Définition ... 5
II-2 Propriétés ... 6
III- Sous espaces vectoriels ... 6
III-1 Définition et propriétés ... 6
III-1-1 Définition ... 6
III-1-2 Propriétés : ... 6
III-2 Intersection de sous espaces vectoriels ... 7
III-3 Somme de sous espaces vectoriels ... 7
IV- Combinaison linéaire - système générateur ... 9
IV-1 Combinaison linéaire ... 9
IV-2 Système générateur ... 9
V- Système libre - système lié ... 10
VI- Ordre et rang d’un système de vecteurs ... 10
VII- Base d’un espace vectoriel ... 11
VIII- Espace vectoriel de dimension fini ... 11
S3 ; Module M10 ; Matière : Mathématiques II Chapitre 1 : Espace vectoriel
I- Loi de composition interne et Loi de composition externe
I-1 Loi de composition interne (L.C.I.) I-1-1 Définition
Définition :
Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne de E toute application définie de E2 vers E, qui a tout élément (a,b) de E2 associe un élément c de E, appelé composé de a par b. On note c=a∗b.
Exemples :
1) Dans E=
{ }
0,1 , on définit l’application ∗ par : a∗b=ab+b ∗ n’est pas une L.C.I. : 1∗1=2, 2∉EOn peut représenter la loi "∗" par le tableau suivant :
∉E
=
∗1 2, 2 1
2) Dans E=
{ }
0,1 , on définit l’application Τ par : aΤb=1−abΤ est une L.C.I. de E : 0Τ0=0Τ1=1Τ0=1, 1∈E et 1Τ1=0, 0∈E On peut représenter la loi "Τ" par le tableau suivant :
E xTy E y
x ∈ ∈
∀ , ,
3) Dans IR, l’addition et la multiplication sont des L.C.I.
4) Soit E un ensemble. Dans P(E), l’intersection ∩ et la réunion ∪ sont des L.C.I.
∗ 0 1 0 0 1 1 0 2
Τ 0 1 0 1 1 1 1 0
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I-1-2 Propriétés
a) Associativité, Commutativité, Distributivité
i) Définitions
• La L.C.I. ∗ est dite associative si ∀(a,b,c)∈E3:(a∗b)∗c=a∗(b∗c)
• La L.C.I. ∗ est dite commutative si ∀(a,b)∈E2 :a∗b=b∗a
• La L.C.I. ∗ est dite distributive par rapport à Τ si :
∗ Τ
∗
= Τ
∗
∗ Τ
∗
=
∗
∈ Τ
∀ ( ) ( ) ( )
) ( ) ( ) : (
) , ,
( 3
c a b a c b a
c b c a c b E a
c b a
• Si La L.C.I. ∗ commutative, elle est distributive par rapport à Τ si )
( ) ( ) ( : ) , ,
(a b c ∈E3 aΤb ∗c= a∗c Τ b∗c
∀ ou ∀(a,b,c)∈E3:a∗(bΤc)=(a∗b)Τ(a∗c)
ii) Exemples
1) Dans E=
{ }
0,1 , la L.C.I. Τ définie par aΤb=1−ab : o Τest commutative : 0Τ1=1Τ0=1o Τn’est pas associative : (0Τ0)Τ1(=0)≠0Τ(0Τ1)(=1) 2) Dans IR :
o L’addition et la multiplication sont des L.C.I. associatives et commutatives.
o La multiplication est distributive par rapport à l’addition.
3) Soit E un ensemble. Dans P(E) :
o l’intersection ∩ et la réunion ∪ sont des L.C.I. associatives et commutatives.
o Chacune des deux lois est distributive par rapport à l’autre b) Eléments remarquables
i) Elément neutre
o Un élément e de E est dit élément neutre pour la loi ∗ ssi : ∀a∈E:a∗e=e∗a=a o L’élément neutre, lorsqu’il existe, est unique. En effet, supposons e1 et e2 deux
éléments neutres pour la L.C.I . ∗, alors :
=
∗
=
∗
=
∗
=
∗
) neutre élément
(
) neutre élément
(
1 2 2 1 1 2
2 1 1 2 2 1
e e e e e e
e e e e e e
D’où : e1 =e2
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Exemples :
• 0 est l’élément neutre pour l'addition dans IR (n+0=0+n=n)
• 1 est l’élément neutre pour la multiplication dans IR (n×1=1×n=n)
• φ est l’élément neutre pour la réunion dans P(E) (φ∪A= A∪φ = A)
• E est l’élément neutre pour l'intersection dans P(E) (E∩A= A∩E= A)
ii) Elément symétrisable
On considère un ensemble E muni d’une L.C.I. ∗ qui admet un élément neutre e. On appelle symétrique d'un élément a de E, lorsqu'il existe, un élément a' de E tel que :
e a a a
a∗ '= '∗ = .
• Lorsque cet élément a' est unique, l 'élément a est dit symétrisable.
• Si la L.C.I. est associative, alors le symétrique de a, lorsqu’il existe, est unique.
• a' est le symétrique de a ssi a est le symétrique de a'.
• Le symétrique du composé de a par b est égal au composé du symétrique de b par celui de a : (aTb)'=b'Ta'.
Exemples :
• Le symétrique d'un élément a pour + dans IR est −a (l'opposé de a).
• Le symétrique d'un élément a non nul pour × dans IR est 1/a (l'inverse de a ).
• Le symétrique d'une fonction bijective f pour o est f−1 (réciproque de f ).
I-2 Loi de composition externe
Définition :
Soit E un ensemble. Une loi de composition externe (L.C.E.) est une application de E
IR× vers E. On note
x E x
E IR
. )
, ( : .
α
α a
→
×
Exemple :
Dans IR2, la multiplication externe définie de IR×IR2 vers IR2 (E =IR2) par : )
, ( ) , .(
. : ,
) ,
(x1 x2 IR2 IR X x1 x2 x1 x2
X = ∈ ∀α∈ α =α = α α
∀ , est une L.C.E.
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II- Structure d’espace vectoriel réel
II-1 Définition
Définition :
On dit qu’un ensemble E muni d’une L.C.I. "++++" et d’une L.C.E. "." est un espace vectoriel réel, et note par (E,+,.), ssi :
•
"++++" est associative et commutative.•
"++++" admet un élément neutre 0E.•
Tout élément de E est symétrisable pour "++++" : x Ex E x E
x∈ ,∃(− )∈ / +(− )=0
∀
•
La L.C.E. "." vérifie : (∀(x,y)∈E2, ∀(α,β)∈IR2) - α.(β.x)=(αβ).x- 1.x =x
- α.(x+y)=(α.x)+(α.y) - (α+β).x=(α.x)+(β.x)
E est dit l’ensemble des vecteurs et IR l’ensemble des scalaires.
Notation :
• Quand il n'y a pas de confusion,
o on notera l’espace vectoriel réel (E,+,.) simplement par E. o on omettra le signe "." : on remplacera l'écriture α.x par αx. o Pour x,y dans E, on notera "x+( y− )" par "x−y".
Exemples :
1) (IRn,+,.) est un e.v.r., où les lois "++++" et "." sont définies dans IRn par :
=
+ +
= +
∈
∀
∈
=
∀
=
∀
) , , ( ) , , .(
) ,
, (
) , , ( ) , , (
: ,
, )) , , ( ( )), , , ( (
1 1
1 1 1
1
1 1
n n
n n n
n
n n
n
x x
x x
y x y x y y x x
a on IR IR
y y y x x x
α α
α
α L L
L L
L
L L
2) (IF(IR),+,.) est un e.v.r., où les lois "++++" et "." sont définies dans IF( IR) par :
∈
∀
=
∈
∀ +
= +
∈
∀
∈
∀
IR x x
f x f
IR x x
g x f x g f
a on IR IR
F g f
) ( ) )(
. (
) ( ) ( ) )(
(
: ,
), ( ,
α α
α
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II-2 Propriétés
Si (E,+,.) un espace vectoriel réel, alors ∀α,β∈IR,∀x,y∈E, on a : 1) α.0E =0E
2) 0IR.x=0E
3) α.x =0E ⇒α =0 ou x =0E 4) (−α).x=−(α.x)
5) (α−β).x=(α.x)−(β.x) 6) α.(x−y)=(α.x)−(α.y)
III- Sous espaces vectoriels
III-1 Définition et propriétés III-1-1 Définition
Définition :
Un sous ensemble F d’un espace vectoriel E est dit sous espace vectoriel (s.e.v.) de E ssi :
1) F ≠φ
2) F est stable pour "+" : (∀x,y∈F x+y∈F) 3) F est stable pour "." : (∀(α,x)∈IR×F α.x∈F) ssi :
1)F ≠φ
2) ∀(x,y)∈F2,∀(α,β)∈IR2 α.x+β.y∈F Exemples :
1) (P(IR),+,.)(l’ensemble des polynômes de degré ≤n) est un s.e.v. de (F(IR),+,.). 2) (IR×
{ }
0,+,.) et ({ }
0 ×IR,+,.) sont des s.e.v. de (IR2,+,.).III-1-2 Propriétés :
Si E est un espace vectoriel, alors :
1) Tout sous espace vectoriel de E est un espace vectoriel.
2) L’intersection de n sous espaces vectoriels de E est un espace vectoriel.
3) (
{ }
0E ,+,.) est un sous espace vectoriel de E.4) 0E appartient à tous les sous espaces vectoriels de E.
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III-2 Intersection de sous espaces vectoriels
Théorème :
L'intersection de deux sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel réel E est un sous espace vectoriel de E.
Remarque :
La réunion de deux sous espaces vectoriels n'est en général pas un sous espace vectoriel.
Théorème :
L'intersection de plusieurs sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel réel E est un sous espace vectoriel de E.
III-3 Somme de sous espaces vectoriels
Définition :
Soit E un espace vectoriel et soient E1 et E2 deux sous espaces vectoriels de E.
• La somme des sous espaces vectoriels E1 et E2, notée par E1+E2, est égale à :
{
1 2 1 2 1 2}
2
1 E x E/ (x,x ) E E /x x x
E + = ∈ ∃ ∈ × = +
• La somme directe des sous espaces vectoriels E1 et E2, notée par E1⊕E2, est égale à : E1⊕E2 =
{
x∈E/ ∃!(x1,x2)∈E1×E2/x=x1+x2}
• Si E =E1⊕E2, alors les sous espaces vectoriels E1 et E2 sont dits sous espaces supplémentaires de E.
Théorème :
Si E1 et E2 sont deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E alors E1+E2 et
2
1 E
E ⊕ sont aussi des sous espaces vectoriels de E.
Théorème :
Si E1 et E2 sont deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E, alors les propositions suivantes sont équivalentes :
1) E=E1⊕E2
2) E=E1+E2 et E1∩E2=
{ }
0E3) E=E1+E2 et x1+x2 =0E ⇒(x1=x2 =0E)
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Exemple :
E= F(IR) : E=E1⊕E2, avec
o E1 =
{
f ∈E/ f(x)= f(−x) ∀x∈IR}
(ensemble des fonctions paires) o E2 ={
f ∈E/ f(x)=−f(−x) ∀x∈IR}
(ensemble des fonctions impaires) Pour montrer que E=E1⊕E2, il suffit de vérifier que E=E1+E2 et E1∩E2 ={ }
0E .En effet :
1) E=E1+E2 :
• Soit f ∈E. On pose
−
−
=
− +
=
)) ( ) ( 2( ) 1 (
)) ( ) ( 2( ) 1 (
2 1
x f x f x
f
x f x f x
f
• On a :
+
=
∈
− ⇒
=
−
−
=
−
∈
= ⇒ +
−
=
−
) ( ) ( ) (
) ( ))
( ) ( 2( ) 1 (
) ( )) ( ) ( 2( ) 1 (
2 1
2 2 2
2
1 1 1
1
x f x f x f et
E f x
f x
f x f x
f
E f x
f x f x f x
f
• Donc : ∀f ∈E ∃(f1,f2)∈E1×E2/ f = f1+ f2
• D’où : E=E1+E2
2) E1∩E2 =
{ }
0E :• Si f0∈E1∩E2, alors :
∈
∈
∀
−
−
=
∈
∈
∀
−
=
) (
) ( )
(
) (
) ( ) (
2 0 0
0
1 0 0
0
E f IR x x f x f
E f IR x x f x f
• Donc : f0 =OE,
(
f0(x)=0 ∀x∈IR)
• D’où : E1∩E2 =
{ }
0ES3 ; Module M10 ; Matière : Mathématiques II Chapitre 1 : Espace vectoriel
IV- Combinaison linéaire - système générateur
IV-1 Combinaison linéaire
Définition :
Dans un espace vectoriel E, on appelle une combinaison linéaire de n vecteurs un
u1,L, , tout vecteur u de E qui peut s’écrire sous la forme :
∑
=
= +
+
= n
i i i n
nu u
u u
1 1
1 α α
α L , avec (α1,L,αn)∈IRn
Théorème :
L’ensemble des combinaisons linéaires de n vecteurs d’un espace vectoriel E est un sous espace vectoriel de E.
IV-2 Système générateur
Définition :
Dans un espace vectoriel E, on dit qu’un système de n vecteurs
{
u1,L,un}
est un système générateur de E (ou que les vecteurs u1,L,un sont des vecteurs générateurs de E) si tout vecteur u de E peut s’écrire comme une combinaisonlinéaire des vecteurs u1,L,un :
∑
=
= +
+
=
∈
∃
∈
∀ n
i i i n
n
n IR u u u u
E u
1 1
1
1, , ) /
( )
( α Lα α L α α
Le système
{
u1,L,un}
s’appelle aussi partie ou famille génératrice de E.On dit aussi que le système
{
u1,L,un}
engendre E ou que E est engendré par le système{
u1,L,un}
.On note E=<u1,L,un > ou E =Vect
{
u1,L,un}
Remarque :
Le sous espace vectoriel des combinaisons linéaires des vecteurs u1,L,un est engendré par
les vecteurs u1,L,un : =< >
∈ ∈
=
∑
= i i n
n
i i i
n u IR u E u u
E , , 1, ,
1
α L α
Exemple :
IR×
{ }
0 =<u1,u2 >, avec u1=(1,0) et u2 =(−1,0) :∀(x,0)∈IR×
{ }
0, ∃α,β∈IR /(x,0)=α.(1,0)+β.(−1,0)=(α−β,0) il suffit de prendre par exemple α =x et β =0S3 ; Module M10 ; Matière : Mathématiques II Chapitre 1 : Espace vectoriel
V- Système libre - système lié
Définition :
On dit que n vecteurs u1,L,un d’un espace vectoriel E sont linéairement indépendants (ou que le système
{
u1,L,un}
est un système libre) si :0
0 1
1
1u + +αnun = E ⇒α = =αn =
α L L
On dit que n vecteurs u1,L,un d’un espace vectoriel E sont linéairement dépendants (ou que le système
{
u1,L,un}
est un système lié) s’ils ne sont pas linéairement indépendants : ∃(α1,L,αn)≠(0,L,0) /α1u1+L+αnun =0EExemples :
Les vecteurs u1=(1,0,1), u2 =(−1,1,1) et u3 =(0,1,0) de IR3sont linéairement indépendants.
Les vecteurs u1 =(1,0,1), u2 =(−1,1,1) et u3=(0,1,2) de IR3sont linéairement dépendants.
Théorème :
Un système de vecteurs est lié ssi un des vecteurs du système est combinaison linéaire des autres vecteurs du système.
Si un des vecteurs d’un système est combinaison linéaire des autres vecteurs du système alors tout vecteur de ce système est combinaison linéaire des autres vecteurs du système.
Propriétés :
1) Le vecteur 0E n’appartient à aucun système libre de E. 2) ∀u∈E/u≠0E, le système
{ }
u est libre.3) Tout système de vecteurs extrait d’un système libre est libre.
4) Tout système de vecteurs contenant un système lié est lié.
VI- Ordre et rang d’un système de vecteurs
Définition :
L’ordre d’un système est le nombre de vecteurs du système.
Le rang d’un système est égal au plus grand nombre de vecteurs linéairement indépendants que l’on peut extraire de ce système.
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Exemples : S1=
{
(2,1),(1,1),(0,−1)}
L’ordre de S1 est égal à 3. Le rang de S1 est égal à 2car :
o Les vecteurs (2,1),(1,1)et(0,−1) sont linéairement dépendants ((2,1)=2.(1,1)+(0,−1)), ce qui implique que rang(S1)<3.
o Les vecteurs (2,1)et(1,1)sont linéairement indépendants, ce qui implique que 2
) (S1 = rang .
Propriétés :
1) Un système de vecteurs est libre ssi son rang est égal à son ordre.
2) Dans un système lié de rang r, les vecteurs libres extraits en nombre r sont dits vecteurs principaux, les autres sont dits non principaux et sont combinaison linéaire des premiers.
3) Le rang d’un système de vecteurs est égal à la dimension de l’espace engendré par ces vecteurs.
VII- Base d’un espace vectoriel
Définition :
Une base d’un espace vectoriel E c’est tout système libre de vecteurs générateurs de E.
Exemples :
1)
{
(1,0),(0,1)}
est une base de IR22)
{
1,0),(0,1),(1,1)}
n’est pas une base de IR2.3)
{
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
est une base de IR3: on l'appelle la base canonique de IR3. 4) En général,{
(1,0,L0),L,(0,L,1,L,0),L,(0,L,0,1)}
est la base canonique de IRn.Théorème :
Un système de vecteurs
{
u1,L,un}
est une base de E ssi tout vecteur de E s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs u1,L,un :∑
=
= +
+
=
∈
∃
∈
∀ n
i i i n
n
n IR u u u u
E u
1 1
1
1, , ) /
! ( )
( α Lα α L α α
VIII- Espace vectoriel de dimension fini
Définition :
Un espace vectoriel réel est dit de dimension finie s’il admet une base constituée d’un nombre fini n de vecteurs.
Ce nombre n s’appelle la dimension de l’espace. On note dimE=n.
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Exemple :
IRn est un espace vectoriel réel de dimension n. Propriétés :
Si E est un espace vectoriel réel de dimension n, alors : 1) Toutes les bases de E ont le même ordre égal à n.
2) L’ordre de tout système générateur de E est supérieur à n. 3) L’ordre de tout système libre de E est inférieur à n.
4) Si l’ordre d’un système libre ou générateur de E est égal à n, alors ce système est une base de E.
5) Si F est un sous espace vectoriel de E, alors F est un espace vectoriel réel de dimension fini m, avec m≤n. Si de plus m=n, alors F ≡E.
6) Si E1 et E2 sont deux sous espaces vectoriels de E, alors :
• dim(E1+E2)=dimE1+dimE2−dim(E1∩E2)
• dim(E1⊕E2)=dimE1+dimE2
Théorème :
Soit E un espace vectoriel réel de dimension fini.
Si E1 et E2 sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de E, E= E1⊕E2, alors dimE=dimE1+dimE2.
Si B1=
{
u1,L,up}
et B2 ={
v1,L,vq}
sont deux bases respectives de E1 et E2, alors{
u up v vq}
B= 1,L, , 1,L, est une base de E.
Théorème :
Soit E un espace vectoriel réel de dimension fini. Soient E1 et E2 deux sous espaces vectoriels de E, de bases respectives B1 =
{
u1,L,up}
et B2 ={
v1,L,vq}
.Si B=
