MVA - Exercices

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Notations

• L’univers des possibles est not´e Ω etP{E}d´esigne la probabilit´e que l’´ev´enement mesu- rableE ⊂Ω soit r´ealis´e

• E[X] d´esigne l’esp´erance d’une variable al´eatoireXint´egrable (ou mesurable et positive)

• La variance d’une variable al´eatoire X de carr´e int´egrable est not´eevar(X)

• I{E} d´esigne la fonction indicatrice associ´ee `a l’´ev´enementE

• L’espace des variables int´egrables est not´eL1, celui des variables de carr´e int´egrable est not´e L₂

• Le minimum de deux r´eelsaetbest not´e a∧b.

Exercice 1 (Processus de Galton-Watson)

On mod´elise l’´evolution d’une population en temps discret de la fa¸con suivante. Initialement,

`

a l’instantn= 0, la population compte Z0 = 1 individu. Apr`es sa naissance, chaque individu idonne naissance `a chaque instantn `a un nombre al´eatoire ξ<sub>i,n</sub> d’individus, ind´ependemment et avec la mˆeme loi que les autres individus. Le processus (Zn)n∈N d´ecrivant les effectifs de chaque g´en´eration peut donc ˆetre d´efini `a partir d’une collection de variables ind´ependantes identiquement distribu´ees et de carr´e int´egrable {ξ_i,n : (i, n) ∈N^∗2} par la relation suivante :

∀n∈N,

Zn+1 = (ξ1,n+1+· · ·+ξZn,n+1)I{Z_n>0}.

On d´efinit la filtrationF = (F_n)n∈N o`u F<sub>0</sub> ={∅,Ω}est la tribu grossi`ere etF_n=σ(ξ_i,m: i≥ 1, n≥m≥1) la tribu engendr´ee par les variables{ξ_i,m: i≥1, n≥m≥1}.

On posep_k=P{ξ_i,n=k} pourk∈N,µ=E[ξi,n] etσ² =var(ξi,n). On supposeµ >0.

1. Pour tout n∈N, on pose X_n =Z_n/µⁿ. Montrer que le processusX = (X_n)n∈N est une F-martingale.

2. Montrer que siµ <1, alors P{Z_n = 0} converge vers 1 lorsque n→ ∞. En d´eduire que Xn converge presque-sˆurement vers 0 lorsque ntend vers l’infini.

3. On supposeµ >1. Soit φ(s) = E[s^ξi,n] = P∞

k=0p_ks^k la fonction g´en´eratrice de la distri- butionp= (p_k)k∈Ndu nombre d’enfants d’un individu.

(a) Montrer que Φ est croissante et convexe sur [0,1].

(b) On pose θm =P{Z_m = 0} pour tout m ∈ N. Montrer que P{Z_m = 0| Z1 =k} = θ_m−1^k pour toutk∈Net en d´eduire que θ_m=φ(θm−1).

(c) Montrer que φadmet un unique point fixeρ sur [0,1[ (on remarquera queφ(1) = 1 etφ⁰(1) =µ).

(d) Montrer que θ_m % ρ lorsque m → ∞. En d´eduire que la probabilit´e de non- extinction de la population peut s’exprimer de la fa¸con suivante : P{∀n∈N, Zn >

0}= 1−ρ >0.

4. Calculer le processus croissant hXi_n de la martingale de carr´e int´egrable (X_n), i.e. le compensateur de la sous-martingale (X_n²). D´eterminer hXi_∞= limn→∞hXi_n et calculer E[hXi_∞].

5. Montrer queX= (X_n) converge dans L₂ vers une variable X∞ d’esp´erance ´egale `a 1.

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Exercice 2 (D´ecomposition de Krickeberg)

Soient F = (F_n)n≥0 une filtration et (Fn)n≥0 une F-martingale born´ee dans L1. On note F_n⁺= max(Fn,0) etF_n⁻=−min(Fn,0).

1. Montrer que (F_n⁺)n≥0 et (F_n⁻)n≥0 sont des sous-martingales positives.

2. On noteF_n⁺=Mn+AnetF_n⁻=Nn+Bnla d´ecomposition de Doob-Meyer de ces deux sous-martingales (rappel :A_n etB_n sont des processus pr´evisibles, A₀ =B₀= 0 etM_n etN_n sont des martingales). Montrer que A_n =B_n P-presque sˆurement. (indication : on montrera queAn−Bn est une martingale).

3. Montrer que limn→∞AnexisteP–presque sˆurement. dans [0,∞]. On noteA∞cette limite.

Montrer queA∞<∞ et que la convergence a aussi lieu dansL₁.

4. On pose F_n^⊕ = M_n+E[A∞ | F_n] et F_n = N_n+E[A∞ | F_n]. Montrer que (F_n^⊕)n≥0 et (F_n)n≥0 sont des martingales positives.

5. Montrer queF_n=F_n^⊕−F_n.

On a donc d´emontr´e un r´esultat dˆu `a Krickeberg (1956). Toute martingale born´ee dansL₁ est la diff´erence de deux martingales positives.

Exercice 3

Soit X = (X_n)n≥0 une suite de variables al´eatoires r´eelles, de carr´e int´egrable, adapt´ee `a une filtration F = (F_n)n≥0 et (σ²_n)n≥0 une suite de nombres positifs. On suppose que, pour tout n≥1, on a presque-sˆurement :

E[X_n| Fn−1] = 0 etE[X_n² | Fn−1] =σ_n². On poseS₀ = 0,A₀ = 0 et pour toutn≥1 :

S_n = X₁+· · ·+X_n, An = σ₁²+· · ·+σ_n²,

Vn = S_n²−An.

1. Montrer queS= (S_n)n≥0 etV = (V_n)n≥0 sont des martingales.

2. Montrer que, siP∞

k=1σ_k²<+∞, (S_n)n≥0 converge presque-sˆurement et dans L₂.

3. On suppose que (S_n)n≥0 converge presque-sˆurement et qu’il existe une constante M telle que, pour tout n ≥ 1, |X_n| ≤ M presque-sˆurement. Pour tout a > 0, on pose τa= inf{n≥0 : |S_n|> a}.

(a) Montrer que :∀n≥1,E[S_n∧τ² _a] =E[An∧τa].

(b) En utilisant la convergence presque sˆure suppos´ee de (Sn)n≥0 vers une variable finie presque-sˆurement, montrer qu’il existe a >0 tel que P{τ_a= +∞}>0.

(c) En d´eduire que P∞

k=1σ_k²<+∞.

Exercice 4

SoientX = (Xn)n≥0 une martingale et ν un temps d’arrˆet fini presque-sˆurement v´erifiant E[|X_ν|]<+∞ et lim

n→∞E[|X_n|I{ν > n}] = 0.

1. Montrer queE[|X_ν|I{ν > n}] tend vers 0 lorsque n→ ∞.

2. Prouver queE[|X_ν∧n−X_ν|]→0 lorsquen→ ∞.

3. En d´eduire que E[Xν] =E[X0].

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