Applications des math´ematiques:
Moteur ` a combustion interne
Math´ematiques Appliqu´ees et G´enie Industriel
R´esum´e Dans cet exemple, on pr´esente le moteur `a combustion interne et on calcule son travail en utilisant les int´egrales curvilignes ainsi que le th´eor`eme de Green.
Domaines du g´enie Electrique, M´´ ecanique
Notions math´ematiques Int´egrales curvilignes, Th´eor`eme de Green
Cours pertinents Calcul II
Auteur(es) N.Khattabi
Sommaire
1 Introduction 2
2 R´esolution 3
3 Conclusion 4
R´ef´erences 4
Moteur `a combustion interne MAGI
1 Introduction
Figure 1: Un moteur `a combustion interne.
Les moteurs `a combustion interne (ou `a explosion) transforment l’´energie chimique stock´ee dans un carburant en travail grˆace `a l’expansion du gaz durant la combustion. Ils sont principalement utilis´es pour la pro- pulsion des v´ehicules de transport : avions `a h´elice, automobiles, motos, camions et bateaux.
Dans le pr´esent exemple. on s’int´eresse aux moteurs dits `a 4 temps.
La figure ci-dessous, tir´ee de la r´ef´erence [3], montre la s´equence des mouvements qui se produisent dans chacun des quatre cylindres d’un moteur `a combustion interne. Chaque piston monte et descend et est reli´e au vilbrequin par une bielle. Soit P(t) et V(t) la pression et le volume `a l’int´erieur d’un cylindre au moment t, o`u a 6 t6 b indique la dur´ee d’un cycle complet. Le graphique montre comment P et V varient au cours d’un cycle d’un moteur `a quatre temps.
Figure 2: Un sch´ema du moteur `a combustion interne.
P
O V
1 2
3 4
5 C
Figure 3: Un graphique des variations deP etV au cours d’un cycle.
Pendant l’admission(de1`a2), un m´elange d’air et de carburant `a la pression atmosph´erique est admis dans le cylindre, la soupape d’admission ´etant ouverte, pendant que le piston se d´eplace vers le bas.
Le piston comprime ensuite rapidement le m´elange, les deux soupapes ´etant ferm´ees, c’est la phase de compression (de2 `a3). Le volume diminue et la pression augmente. En3, c’est la phase de l’explosion, une ´etincelle enflamme le carburant, faisant augmenter tr`es rapidement la temp´erature et la pression tandis que le volume reste presque constant jusqu’en 4. Alors, les soupapes ´etant ferm´ees, la pression du gaz chaud repousse brutalement le piston vers le bas, c’est la phase moteur (de 4`a5). Finalement, pendant la phase de l’´echappement, la soupape d’´echappement s’ouvre ; la pression et la temp´erature diminuent et l’´energie m´ecanique emmagasin´ee dans le volant tournant pousse le piston vers le haut, for¸cant le reste des gaz inutiles `a s’´evacuer par la soupape d’´echappement. La soupape d’´echappement se ferme, la soupape d’admission s’ouvre. On est de retour en1et le cycle recommence. Dans cet exemple, nous allons montrer une fa¸con de calculer le travail effectu´e sur le piston durant un cycle moteur `a quatre temps.
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Moteur `a combustion interne MAGI
2 R´ esolution
Soient x(t) la position du piston au temps t`a partir de son point le plus haut (x = 0) au sommet du cylindre et A l’aire d’une section horizontale du piston. Dans ce cas, le volume estV(t) =Ax(t). On note que la force sur le piston est :
−
→F =AP(t)−→
i . (1)
Par d´efinition, le travail d’un champ F~ le long d,une courbeC est :
W = Z
C1
−
→F ·−→ dr
o`u C1 est donn´ee par −→r(t) =x(t)−→
i +y(t)−→
j +z(t)−→
k aveca6t6b. C1 est donc une courbe dans l’espace R3. Rappelons queC est une courbe param´etr´ee dans le planP−V de la figure3.
Il s’ensuit que :
W = Z
C1
−
→F ·−→ dr.
Par d´efinition de l’int´egrale curviligne et en rempla¸cantF~ dans l’expression (??), on a :
= Z b
a
AP(t)x0(t)dt,
OrV =Ax, on d´eduit :
= Z b
a
P(t)V0(t)dt,
Par d´efinition de dV, on retrouve donc :
= Z
C
P dV.
Soient A1 l’aire de la grande r´egion (3−4−5),A2 l’aire de la r´egion plus petite(1−2)ainsi que B1 et B2 les parties de la courbe C qui d´efinissent ces r´egions.
On a alors :
W = Z
C
P dV = Z
B1
P dV + Z
B2
P dV.
Grˆace au th´eor`eme de Green, on d´eduit que la premi`ere int´egrale est l’aire de la grande boucle et la deuxi`eme int´egrale est ´egale `a moins l’aire de la petite boucle. On obtient le signe n´egatif parce queB2 est parcourue dans le sens contraire de l’aiguille d’une montre.
Par cons´equent :
W = Z
C
P dV =A1−A2.
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Moteur `a combustion interne MAGI
3 Conclusion
Dans cet exemple, on a pr´esent´e le moteur `a combustion interne avec le graphique qui montre avec une boucle C les variations de P et V au cours d’un cycle, on a ensuite calcul´e son travail et montr´e que ce dernier est simplement la diff´erence des aires des deux boucles form´ees par C. Comme l’indique la figure 3, c’est la partie de la courbe C1 du point 4 `a 5 qui a le plus d’impact sur la quantit´e de travail fait par le moteur. Les ing´enieurs essaient donc en g´en´eral d’augmenter la pression au point 4, le rendre la courbe 4-5 moins convexe, et de diminuer la pression au point 5, au d´ebut de l’´echappement. En particulier, les moteurs Diesel ont une plus grande pression au point 4 et sont donc les plus efficaces des moteurs conventionnels.
R´ ef´ erences
[1] STEWART, James.Analyse, concepts et contextes : Vol 2. Fonctions de plusieurs variables. Paris : De Boeck Universit´e, 2001. BIBLIO POLY : QA 303 S8314 v.2 2001
[2] La figure 1. [En ligne]. http ://cesifs.emse.fr/BULLES/BELLECOMBE/BULLES- 3/Science/Pages/moteur.html Page consult´ee le 20 mai 2009.
[3] La figure 2 : STEWART, James. Analyse, concepts et contextes : Vol 2. Fonctions de plusieurs variables. Paris : De Boeck Universit´e, 2001. BIBLIO POLY : QA 303 S8314 v.2 2001
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