Vendredi 3 juin 2005 - Durée : 2h
Ceci est une épreuveindividuelle. Tous les documentspersonnels et les calcu- latrices sont autorisés pendant l’épreuve. Sans préjuger des sanctions prises ultérieurement par le conseil de discipline de l’Université, toute tentative de copie pendant l’épreuve sera sanctionnée par la répartition des points de la plus mauvaise copie entrele copieur etle copié.
1 Un modèle plantes-herbivores
On s’intéresse ici à un modèle en temps continu plantes-herbivores. Soit q l’état chimique (i.e., la qualité) de la plante ; une faible valeur deq signifie que la plante est toxique ; tandis qu’une forte valeur de q signifie que les herbivores peuvent la consommer.
Considérons une situation dans laquelle la qualité de la plante augmente si la végétation est soumise à une consommation faible à modérée de la part des herbivores, etdiminue si la consommation devient trop intensive.
On désigne par I la densité d’herbivores. On suppose que les herbivores sont de petits insectes (comme les cochenilles par exemple) qui s’agrippent à une plante pendant de longues périodes.
On suppose également que la croissance des herbivores dépend de la qualité de la plante qu’ils consomment. Ainsi, on peut convenir de modéliser la dynamique de ce système plante-herbivores par le système d’équations différentielles ordinaires suivant :
( dq
dt =K1−K2qI(I−I0)
dIdt =K3I(1−Kq4I)
avecK1,K2,I0,K3 etK4 des paramètres tous strictement positifs.
Justifier ces équations, et proposez une possible interprétation biologique des paramètresK1,K2,I0,K3 etK4.
1.2
Après normalisation, on obtient un nouveau système dynamique qui s’écrit comme suit, et que l’on utilisera pour toute la suite du problème :
( dq
dt = 1−KqI(I−1)
dI
dt =αI(1− Iq) avecK >0 etα >0.
Montrez qu’il n’existe qu’un seul point d’équilibre, que l’on notera(q?,I?) tel que q? = I? et I? > 1. On pourra considérer la fonction réelle f de la variable réelle x et définie par f : x 7→ x2(x −1) pour répondre à cette question.
1.3
Donner la matrice jacobienneAassociée au système. Donner son expres- sionA? au point d’équilibre(q?,I?).
1.4
Quelle est la nature du point d’équilibre (q?,I?)? Justifier.
1.5
ATTENTION, on se place pour la suite du problème dans le plan (I,q).
On considère le domaineD={(I,q)/I >0,q >0}pour construire le portrait de phase. Donner l’équation des isoclines nulles verticales. Les représenter graphiquement.
1.6
Dans le domaine Dprécédent, donner l’équation de l’isocline nulle hori- zontale. Faîtes-en une étude détaillée avant de la représenter graphiquement.
1.7
Le domaineDest-il positivement invariant? Justifier.
1.8
Préciser le sens des vecteurs vitesse sur les isoclines.
On définit les quatre conditions initiales suivantes : 1. (I1,²1)avec 0< I1 <1 et²1 '0
2. (I2,²2)avec I2 >1 et²2 '0
3. (I3,q3) avec I3 etq3 grands et I3 < q3 4. (I4,q4) avec I4 grand et I4> q4
Dessiner les trajectoires correspondantes à ces quatre conditions initiales.
1.10
On utilise les instructions Maplesuivantes :
g3:=DEplot([sys],[y(t),x(t)],t=0..20,x=0..7,y=0..4,[[x(0)=x0,y(0)=y0]], stepsize=0.1,linecolor=black,scene=[t,x(t)],labels=["Temps","q(t)
et I(t)"],view=[0..20,0..7]):
g4:=DEplot([sys],[y(t),x(t)],t=0..20,x=0..7,y=0..4,[[x(0)=x0,y(0)=y0]], stepsize=0.1,linecolor=gray,style=POINTS,scene=[t,y(t)],labels=["Temps",
"q(t) et I(t)"],title="Chroniques"):
display(g3,g4);
pour obtenir le graphe que voici :
Fig. 1 –Chroniques du modèle plantes-herbivores
Compléter ce graphe, directement sur cet énoncé (que vous n’oublierez pas de rendre avec votre copie). Préciser à quelle condition initiale ce graphe correspond. Identifier les courbes correspondant àq(t)etI(t)respectivement.
Une substance chimique semi-toxique est ingérée par un animal et entre dans le système sanguin à la vitesse constanteD. Cette substance se répar- tit à l’intérieur du corps, en passant du sang aux tissus puis aux os avec des vitesses constantes comme indiqué sur la figure ci-dessous. La substance chimique est excretée dans les urines et par la sueur aux vitesses u et s respectivement.
L’objectif de ce problème est d’étudier la dynamique de la substance chimique dans les trois compartiment ci-dessus.
Soient x1, x2 et x3 les concentrations en substance chimique dans le sang, les tissus et les os respectivement. On donne l’équation dynamique, en fonction du tempst, pour la variablex1:
dx1
dt =D−ux1−k12x1+k21x2
2.1
En supposant que tous les échanges entre compartiment sont linéaires, écrire les deux équations dynamiques pour les variablesx2 etx3.
2.2
Rechercher le ou les point(s) d’équilibre du système que l’on notera (x?1,x?2,x?3). Vérifier qu’il a du sens biologiquement.
2.3
Donner la matrice Jacobienne Aassociée au système, ainsi que la valeur de cette matrice au point d’équilibreA?.
Montrer que l’équation caractéristique s’écrit comme suit : λ3+
(u+s+k12+k21+k23+k32)λ2+
(us+k12k32+k12k23+k21k32+uk21+uk23+uk32+sk12+sk32)λ+
(k12k32s+uk21k32+usk32) = 0
2.5
Utiliser les déterminants de Routh-Hurwitz pour déterminer la nature du point d’équilibre(x?1,x?2,x?3).
