Quantiles d’une loi normale empirique, th´ eorique, simul´ e

Universit´ e de Nice L1MASS, ann´ ee 2015-2016

D´ epartement de Math´ ematiques Statistique

Cours 04

Quantiles d’une loi normale empirique, th´ eorique, simul´ e

1 Quantiles, d´ eciles k/10, fractiles k/d

Nous avons vu la d´ efinition des quartiles Q

, Q

, et Q

d’un ´ echantillon ; c’est un cas particulier de quantile q d’une proportion p = k/d (ou d-fractile) : on cherche un nombre q tel qu’une proportion p des individus de l’´ echantillon v´ erifient x

≤ q. Lorsque p = 10%, 20%, . . ., 90%, les quantiles q

, q

, . . ., q

correspondants s’appellent des d´ eciles. Ceci n’est g´ en´ eralement possible qu’approximativement (par exemple si la taille de l’´ echantillon n’est pas un multiple de d). En pratique, pour p = k/d on choisira

q

=sort(x)[n*k/d] , ou mieux : q

=sort(x)[ceiling(n*k/d)]

2 Quantiles d’une loi normale

D´ esignons par F

la fonction de r´ epartition d’une loi normale N (µ, σ) (ou gaussienne). En d’autres termes F

= ∫

−∞√1 2π

e

2

2σ2

dt ; c’est par d´ efinition la probabilit´ e d’ˆ etre inf´ erieure ` a x d’une grandeur al´ eatoire qui suit une loi N (µ, σ). Ici il est facile de d´ efinir le quantile de p

= k/d de la loi N (µ, σ) : c’est le nombre

q

tel que F

(q

) = p

(= k/d). Il existe bien et est unique pourvu que 0 < p

< 1, puisque F

est continue, strictement croissante, et de valeurs F

(] −∞ , + ∞ [) =]0, 1[. Sa valeur est donn´ ee, par R, par la fonction qnorm(p,mu,sigma), si p= p

, mu= µ, et sigma= σ. En d’autres termes, c’est le nombre q

tel que la probabilit´ e d’ˆ etre inf´ erieure ` a ce nombre est ´ egale ` a p

. Nous voyons donc ici qu’on a juste remplac´ e “proportion” par “probabilit´ e” en passant d’empirique

` a th´ eorique. En th´ eorie des probabilit´ es, c’est la Loi des Grands Nombres qui motive cette relation entre “proportion” et “probabilit´ e”.

3 Valeurs exceptionnelles d’un ´ echantillon th´ eorique

Consid´ erons la loi gaussienne N (µ, σ) associ´ ee ` a un ´ echantillon x. La boite ` a moustaches th´ eorique est alors donn´ ee par Q

=Q1=qnorm(0.25,mu,sigma)= 17.50790, Q

=Q2=qnorm(0.50,mu,sigma)=

18.80238, Q

=Q3=qnorm(0.75,mu,sigma)= 20.09687, et la longueur maximale des moustaches est L =1.5*(Q3-Q1)= 3.883452.

Si mu= µ = 0 et si sigma= σ = 1, l’interquartile vaut Q

− Q

= 1.34898 et la longueur maximale des moustaches vaut 1.5(Q

− Q

) = 2.023469. Les valeur exceptionnelles de x sont donc celles qui sont inf´ erieures ` a q

= Q

− L = − 2.697959 ou sup´ erieures ` a q

= Q

+ L = 2.697959. La probabilit´ e p

d’ˆ etre inf´ erieur ` a q

est alors de 0.003488302, et la probabilit´ e p

d’ˆ etre sup´ erieur ` a q

est alors de 0.003488302

4 Comparaison des quantiles empiriques et th´ eorique

Nous avons d´ ej` a vu qu’en statistique un ´ echantillon x pr´ esentant un histogramme en cloche sugg` ere un mod` ele gaussien N (µ, σ), avec µ =mean(x) et σ =sd(x), qu’on peut “tester” visuellement, en superposant

`

a l’histogramme (en densit´ e ou proportions e

/n, par freq=F)) la courbe du graphe de la fonction de densit´ e de N (µ, σ). Une meilleure fa¸con de tester si un mod` ele gaussien pour x est pertinent est de comparer les fractiles q

de p

= k/d de l’´ echantillon et les fractiles th´ eoriques F

(p

), pour k = 1, . . . , d − 1. Pour l’´ echantillon x=survey.cc$WrHnd, nous trouvons µ =mean(x)= 18.80238 et σ =sd(x)=

1.919205. Nous obtenons, pour d = 4, les quartiles empiriques et th´ eoriques suivants :

empirique 17.5 18.5 20.0

th´ eorique 17.50790 18.80238 20.09687

1. Raccepte des num´eros non entiers : il utilise alors la partie enti`ere du nombre pass´e comme num´ero.

2. ou encoreqk=Fµ,σ⁻¹(pk), o`uFµ,σ⁻¹ fonction r´eciproquedeFµ,σ, qui est d´efinie pour toutp∈]0,1[.

3. empirique : qui (ne) s’appuie (que) sur l’exp´erience ; nous utilisons ici le mot “empirique” pour d´esigner ce qui est relatif `a un ´echantillon issue de la mesure d’un caract`ere pour une famille d’individus, comme ceux fournis par la biblioth`eque (en anglais : library)MASSdeR.

1

Pour d = 10, nous obtenons les d´ eciles empiriques et th´ eoriques suivants :

empirique 16.5 17.5 17.6 18.0 18.5 18.9 19.5 20.5 21.5

th´ eorique 16.34282 17.18714 17.79595 18.31616 18.80238 19.28861 19.80881 20.41762 21.26194

5 QQ-plot : comparaison de quantiles

La commande QQ-plot permet de comparer les quantiles d’un ´ echantillon avec ceux d’une loi normale (aussi appel´ ee gaussienne), ou les quantiles de deux caract` ere distincts. Voici le r´ esultat pour l’´ echantillon NWHnd de survey, compar´ e ` a une lois gaussienne centr´ ee r´ eduite, et ` a l’´ echantillon WrHnd.

−2 −1 0 1 2

1416182022

Q−Q Plot gaussien

Quantiles théoriques gaussiens

Quantiles de l’échantillon

14 16 18 20 22

1416182022

Writing Hand

Non−Writing Hand

Rappelons qu’on avait les boˆıtes ` a moustaches suivantes pour WrHnd (` a gauche) et NWHnd (` a droite).

Les paliers observ´ es sur le QQ-plot de NWHnd contre une loi gaussienne semblent dˆ us au fait que les d´ ecimales 0 et 5 semblent avoir ´ et´ e favoris´ ees dans les mesures relev´ ees pour ce caract` ere, comme le r´ ev` ele l’histogramme des parties d´ ecimales de NWHnd (` a droite, ci-dessous).

1 2

1416182022

Histogram of y − floor(y)

y − floor(y)

Frequency

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

01020304050

2