Des nombres irrationnels.
I. Objectif : prouver que 2 est un nombre irrationnel.
On raisonnera par l absurde.
1. Question préliminaire : soit n un entier naturel. Montrer que n et n² ont la même parité.
Aide : on peut raisonner par disjonction des cas.
On suppose que 2 a
b où a et b sont des entiers positifs.
2. Justifier qu on peut supposer a et b premiers entre eux (sans diviseur commun autre que 1).
3. Montrer que a² est pair. Que peut-on en déduire pour a ? 4. Montrer que b² est pair. Que peut-on en déduire pour b ? 5. Conclure.
Crise des irrationnels :
Au Ve siècle, en Grande Grèce, les pythagoriciens constatent qu’il existe une grandeur qu’aucun nombre de peut mesurer. En effet, ils ne considérait comme nombre que les nombres entiers et aussi les fractions, nommées plus tard, fractions rationnelles, comme rapports entre des entiers. La découverte de la diagonale du carré de coté 1 perturba tout le système. Quel rapport y-avait-il entre les deux ? Pour le savoir, on chercha la longueur de la diagonal et par le théorème de Pythagore on trouva que la longueur de la diagonale est un nombre dont le carré est 2. Quel est ce nombre ? C’est peu dire que les grecs le cherchèrent, mais aucun nombre, aucune fraction ne convenait. Les grecs, pour montrer sa non-existence, ont alors cherché à démontrer que ce nombre ne pouvait pas exister : la diagonale et le coté sont incommensurables. Mais ce simple carré et sa diagonale recelèrent alors un abîme dans lequel sombrèrent des certitudes. Le coté et la diagonale d’un même carré n’admettent aucune commune mesure, ce qui veut dire qu’on ne peut pas connaître exactement les deux à la fois et pourtant tout les deux peuvent être dessinés et s’exposent avec le même degré de « réalité ». La coexistence de ces deux grandeurs prouva que la réalité était plus riche que les nombres. Ce scandale logique bouleversa la société des grecs. Pour l’avoir divulgué à l’extérieur du cercle des pythagoriciens, Hippase de Métaponte périt dans un naufrage.
II. Montrer qu il existe deux nombres irrationnels a et b tels que ab soit rationnel.
Aide : on distinguera les deux possibilités : soit 2 2 est rationnel, soit il est irrationnel.
