Seconde Fonctions carré et polynôme du second degré 2011-2012
I Étude de la fonction carré x 7−→ x
2I.1 La fonction carré
Définition 1 La fonction carré est la fonction définie surRparf(x) =x2
Exemple 1 : Déterminer les images par la fonction carrée de 2,−3,√ 2et 5
4. Exemple 2 : Déterminer les antécédents par la fonction carrée de 16, 0, 3 et−2.
> Résolution des équations du typex2=a, a réel donné.
• Si a >0, l’équation admet ...
• Si a= 0, l’équation admet ...
• Si a <0, l’équation ...
I.2 Variations
Propriété 1 :
La fonction carré est décroissante sur ]− ∞; 0] et croissante sur [0; +∞[.
Démonstration : Prouvons que la fonction carré est croissante sur [0; +∞[.
Soituetv deux nombres strictements positifs tels que 0< u < v.
x
Variations dex 7−→ x2
I.3 Représentation graphique de la fonction carré : Parabole
-10123456789 1011 1213 1415 16
x y
1 1 O
x −x x2
−4 4
−3 3
−2 2
−1.5 1.5
−1 1
−0.5 0.5
0 0
My Maths Space 1 sur 3
Seconde Fonctions carré et polynôme du second degré 2011-2012
> Conséquence des variations de la fonction carré.
• Si aet bsont deux réels positifs tels que a6b alorsa26b2
• Si aet bsont deux réels négatifs tels quea6balorsa2>b2
Le carré conserve l’ordre de deux nombres positifs et renverse l’ordre de deux nombres négatifs.
EXERCICE 1 : Soitf le fonction définie surRparf(x) = 2(x−1)2+ 3. Prouver quef est croissante sur [1; +∞[.
EXERCICE 2 :
1. Dresser le tableau de variations de la fonction carrée sur [−3; 4].
2. Compléter : si−36x64 alors...6x26...
EXERCICE 3 : Sans calculer, comparer 20122et 20132, (−2012)2et (−2013)2.
II Étude des fonctions polynômes du second degré
II.1 Fonction polynôme du second degré
Définition 2 Une fonction polynôme du second degré est une fonctionf définie surRparf(x) =ax2+bx+c où a,b, etcsont des nombres réels donnés aveca6= 0.
Exemple 3 :
• La fonctionHde l’exercice 74 p 71 (devoir maison) définie part7−→ −4.9t2+9.8t+1.5est une fonction polynôme de degré deux.
• La fonctiong:x7−→0.5x2−3est également une fonction polynôme de degré deux.
• Qu’en est-il des:x7−→ −3(6x−2x3) +x2−6x3+ 1? et dev:x7−→2x2 1− 1
2x
+ 2?
II.2 Représentation graphique
La courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2 f est une parabole dont le sommet S a pour coordonnées
− b 2a;f
− b 2a
. De plus :
• Si a >0, la paraboleCf est « tournée vers le haut ». (le sommetS de la courbe correspond au point le plus
« bas », l’ordonnée deS correspond au minimum def atteint en− b 2a)
• Si a <0, la parabole Cf est « tournée vers le bas ». (le sommet S de la courbe correspond au point le plus
« haut », l’ordonnée deS correspond au maximum def atteint en− b 2a)
My Maths Space 2 sur 3
Seconde Fonctions carré et polynôme du second degré 2011-2012
Exemple 4 :
f:x7−→ −x2+ 3x+ 1
x y
1 O 1
g:x7−→2x2−x−2
x y
1 O 1
II.3 Variations d’une fonction polynôme de degré 2
Propriété 2 :
Soitf une fonction polynôme de degré deux définie sur Rparf(x) =ax2+bx+c.
• Si a >0,f est décroissante sur
−∞;−b 2a
et croissante sur
− b 2a; +∞
.
• Si a <0,f est croissante sur
−∞;− b 2a
et décroissante sur
− b 2a; +∞
.
a >0
Tableau de variations def : (a > 0) x
Variations de x 7→ ax2 +bx+c
−∞ −2ba +∞
f(−2ba) f(−2ba)
a <0
Tableau de variations de f : (a < 0) x
Variations de x 7→ ax2+bx+c
−∞ −2ba +∞
f(−2ba) f(−2ba)
Exemple 5 :
Dresser les tableaux de variations des deux fonctions polynômes de degré 2 suivantes : h(x) = 4x−3x2+ 1etk(x) = 2
3x2+x+4 Donner les valeurs des extremums dehet de3k.
II.4 Forme canonique d’une fonction polynôme de degré deux
Toute fonction polynôme de degré deux f admet une écriture de la forme a(x−xS)2+yS appelée forme canonique def.
(xS;yS) étant les coordonnées du sommetS de la parabole représentantf. EXERCICE 4 :
Donner les formes canoniques des 4 fonctions des exemples 4 et 5.
Utilisation de la forme canonique : déterminer les variations d’une fonction, les extremums d’une fonction, ...
My Maths Space 3 sur 3
