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Submitted on 1 Jan 1965
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Sur la théorie des phénomènes de transport dans les semiconducteurs
Ioan Licea
To cite this version:
Ioan Licea. Sur la théorie des phénomènes de transport dans les semiconducteurs. Journal de Physique,
1965, 26 (5), pp.249-252. �10.1051/jphys:01965002605024900�. �jpa-00205959�
SUR LA THÉORIE DES PHÉNOMÈNES DE TRANSPORT DANS LES SEMICONDUCTEURS Par IOAN LICEA,
Faculté de Physique, Université de Bucarest.
Résumé. - Dans ce travail on donne une extension de la méthode généralisée du « gain moyen
d’énergie » proposée en [3, 4] pour l’étude des phénomènes de transport dans les semiconducteurs, dans le cas où il existe un gradient de concentration. Cette méthode devient ainsi utilisable pour décrire aussi les effets de magnétodiffusion.
Abstract. 2014 In this work an extension is given of the generalized " average energy gain "
method proposed in [3, 4] for the study of transport phenomena in semiconductors in the case
where there is a concentration gradient, so the method is also useful for the description of the magnetodiffusion effects.
PHYSIQUE 26, 1965,
1. Introduction.
-Pour l’étude des phénomènes
de transport dans les semiconducteurs, à côté de
la méthode habituelle de construction de la théorie
phénoménologique à l’aide de la fonction de dis- tribution des porteurs déterminée par l’équation de Boltzmann, on peut aussi utiliser la méthode du
« gain moyen d’énergie » décrite par Aigrain et Englert [1]. Quand l’énergie des porteurs est donnée
en fonction du vecteur d’onde k par une forme
quadratique définie positive
+ +
où oc est le tenseur des inverses de masses effectives, Godefroy et Tavernier [2] ont ainsi calculé le transfert isothermique et, à l’aide des relations
d’Onsager, déterminé les relations entre les diffé- rents coefficients qui décrivent les effets magnéto- électriques et thermomagnétiques dans les semi- conducteurs. Une généralisation de cette méthode
du gain moyen d’énergie, qui permet d’interpréter plus facilement et rapidement tous les processus
provoqués par un champ électrique et un gradient
de température en présence d’un champ magné- tique, a été donnée par Tavernier [3] dans le cas
où l’énergie des porteurs est donnée par la fonc- tion (1), et ensuite par Sexer et Tavernier [4], dans
le cas où l’énergie (comme pour une série de com-
posés semiconducteurs) est une fonction de Ikl,
c’est-à-dire
_,_ ,_
’
,
les résultats étant formellement identiques pour
une définition correspondante de la valeur moyenne du temps de relaxation.
Nous proposons ici une extension de cette mé- thode généralisée du gain moyen d’énergie au cas
où existe un gradient de concentration. Nous allons considérer que l’apparition de ce gradient de con-
centration est due à l’injection des porteurs quand
l’échantillon est illuminé (avec une lumière forte-
ment absorbée) et que ce gradient provoque une
diffusion des porteurs minoritaires (1)..
.Ainsi l’extension, quoique très simple, est pour- tant importante parce qu’elle permet la descrip-
tion d’une nouvelle catégorie de phénomènes,
comme ceux de magnétodiffusion, par exemple les
effets photomagnétoélectrique ou photothermo- magnétique.
2. Fonction de distribution.
-A côté du gra- dient de température, le gradient de concentration contribuera à la variation de la fonction de distri- bution des porteurs de charge (électrons ou trous) d’après les énergies. Nous allons étudier comment la fonction de distribution à l’équilibre, en l’absence
de champs extérieurs, que nous présumons être la
fonction Fermi-Dirac, dépend de la concentration des porteurs (électrons par exemple) par l’énergie
du niveau de Fermi. Alors
où s est l’énergie des électrons, y l’énergie du
niveau de Fermi, N la concentration des électrons,
T la température absolue, l~o la constante de
Boltzmann.
Quand l’électron subit une collision avec le ré- seau, nous allons admettre comme d’habitude, que la répartition des électrons est représentée par la fonction f o, qui correspond à une température T’
et à une concentration N’, c’est-à-dire
Les collisions sont présumées élastiques de façon
que, en l’absence des champs extérieurs, la fonc-
tion de distribution se conserve après une collision
avec le réseau.
(1) D’autres causes encore, par exemple, la distribution
non-homogène des impuretés, peuvent évidemment contri- buer à l’apparition du gradient de concentration.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01965002605024900
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Les champs extérieurs, électrique E et magné- tique B, influent sur la forme de la fonction de distribution des électrons. Le champ électrique E
fournit à l’électron de libre parcours A(E, B) et de charge e une énergie moyenne DE
= -eE. A, ainsi
le réseau ne va fournir aux électrons d’énergie E
que l’énergie s
-DE. Pour obtenir la nouvelle
répartition entre les états d’énergie, il faut substi-
tuer la nouvelle valeur de l’énergie dans la fonction
de distribution en l’absence des champs. Alors, en présence de champs extérieurs et de gradients de température et de concentration, la fonction de distribution des électrons sera
qui dépend du vecteur d’onde k par l’expression
de l’énergie, et des coordonnées de position par la température et la concentration. Tenant compte
de ce que pour un point de température fi’ et
concentration N’ on a
et que, conformément à la fonction de distribution choisie
dans l’approximation de premier ordre par rapport
aux « forces » E
= -grad p, grad T et grad N,
nous obtenons
Pour que ce résultat soit correct, il faut que le libre parcours moyen dépende seulement de B,
A
=A(B), c’est-à-dire qu’il soit calculé sous la condition E
=grad T
=grad N
=0.
3. Le libre parcours moyen. - Le calcul du libre parcours moyen, qui comporte des hypo-
thèses sur la structure des bandes d’énergie, se
fait comme dans [3, 4], les résultats étant de forme
identique pour une énergie de la forme (1) ou (2)
et se distinguant seulement par la définition du
temps moyen de relaxation, qui est plus générale
sous la forme (2). En admettant ainsi que E
=nous avons
-
où l’opérateur A (s) conformément à [4] est
+
Dans cette expression l’opérateur ~ est défini
par
-et
Ici est le temps de relaxation dépendant
seulement de Ikl par l’intermédiaire de l’énergie et
est lié du libre parcours par la relation A
==V. ’t",
où V est la vitesse de l’électron, liée dans ce cas à
son énergie par
4. Les flux de courant et d’énergie.
-La den- sité du courant électrique qui est, par définition
devient, en utilisant (7), (7) et (8)
où A (s) est le transposé de A (s) en substituant B
>
±
par 2013p.
..En introduisant la notation
et la densité électronique, c’est-à-dire le nombre des électrons par unité de volume du cristal
la densité du courant s’écrit
Un procédé analogue dans le cas de la densité
du flux d’énergie, définie par
nous conduit à
Les flux de courant et d’énergie thermique peu- vent alors être exprimés sous la forme
où les tenseurs 6, H, D, x, 03BE et G s’expriment en
+ + >
-> ’> +
fonction de trois tenseurs indépendents 6, 0, q,
comme dans la théorie obtenue par la résolution de l’équation de Boltzmann [5]. (Dans un récent
travail [6], nous avons montré qu’un résultat simi-
laire peut être obtenu en utilisant la méthode de la vitesse dirigée.) Ainsi
où nous avons noté
Les tenseurs indépendants a, Ô et q sont donnés
par les relations
Dans les expressions (18a) et (18b) intervient la relation entre le niveau de Fermi et, respective- ment, la température à concentration constante et la concentration à température constante.
En utilisant (5b), la relation (12) nous donne
et, tenant compte de la notation (11), on obtient
Aussi, en utilisant (5a) et tenant compte de (11), (12) et (20) il vient :
d’où
Dans le cas de la statistique de Maxwell- Boltzmann d
Boltzmann que
d/de>
=ainsi que
ds q
La variation de position du niveau de Fermi en
fonction de la concentration des porteurs ne dépend
de la structure des bandes d’énergie que pour les états dégénérés, quand on utilise comme fonction
de distribution à l’équilibre la fonction Fermi- Dirac.
5. Application.
-Les résultats obtenus par cette extension de la méthode généralisée du gain moyen
d’énergie, dans le cas où existe un gradient de
concentration dû à l’illumination de l’échantillon,
sont analogues à ceux obtenus par la résolution de
l’équation de Boltzmann, avec des calculs plus longs. Ils peuvent être utilisés, comme dans [5], à
la description des phénomènes de magnétodiffusion,
en admettant préalablement que :
-
la lumière tombe sur l’échantillon de forme
supposée parallélipipédique, le long d’un axe (par exemple y), la profondeur de sa pénétration étant beaucoup plus petite que la longueur de diffusion des porteurs de non-équilibre. On peut ainsi négli-
ger la génération en volume des porteurs en excès ;
-
