La thermomécanique des phénomènes de transport

HAL Id: jpa-00234362

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00234362

Submitted on 1 Jan 1951

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

La thermomécanique des phénomènes de transport

J.E. Verschaffelt

To cite this version:

LA

_{THERMOMÉCANIQUE}

DES

_{PHÉNOMÈNES DE}

TRANSPORT

Par J. E. VERSCHAFFELT.

(La Haye, Pays-Bas).

Sommaire. - Exposé succinct d’une théorie

thermomécanique des _phénomènes de _transport, basée

sur _{l’application} du _principe de _{superposition.}

JOURNAL PHYSIQUE

_12,

FÉVRIER

1951,

1. Introduction. - En

Thermomécanique,

on

donne le nom de

_phénomènes

de

_transport

à des processus dans

lesquels

de

_l’énergie

_{passe d’un}

endroit à un autre de

_l’espace.

Ce

_transport

_d’énergie

peut

s’effectuer sans intervention de

_matière;

tel est notamment le cas dans la conduction et _le rayon-nement

_{calorifiques.}

Mais

_{généralement}

il est lié à un

_déplacement

de

_particules

matérielles

possé-dant de

_{l’énergie;}

à ce _{second genre de}

_phénomènes

de

_transport

_{appartiennent}

l’écoulement d’un

fluide,

la diffusion et le courant

_électrique.

L’étude

_{thermomécanique}

de ces

_phénomènes

a

fait

_l’objet

de nombreux

travaux,

ordinairement

basés sur les idées

_{d’Onsager (voir}

_par

_exemple

ceux de S. R. de

Groot,

publiés

dans ce Journal

_[1]).

J’ai

_développé

une théorie

indépendante

de ces

idées dans une série de Notes

_publiées

dans le Bulle-tin de l’Académie

_royale

de

_Belgique;

elle est basée

sur mon

_principe

de

_{superposition, d’après lequel}

l’énergie

dissipée

dans un _{processus irréversible}

complexe

est la somme des

_{énergies dissipées}

_par les processus

élémentaires,

dans

_lesquels

le

phéno-mène

_complexe

_peut

être

_décomposé.

Je me _propose

actuellement

_d’exposer

brièvement cette théorie.

2. Méthode. - Ma méthode est la suivante : à un élément de volume fixe dans

_l’espace

traversé par un fluide en

_mouvement,

un observateur

éga-lement fixe

_applique

les deux lois fondamentales

de,la

Thermomécanique,

la loi de

_l’énergie

et la loi de

_{l’entropie,}

en

_{exprimant :}

I° _{que l’accroissement de}

_l’énergie

totale

_(énergie

interne et

_{énergie macrocinétique)}

contenue dans l’élément de volume est

_égal

à

_l’énergie

_calorifique

fournie par

l’ambiance,

augmentée

de

_l’énergie

apportée

par les flux matériels et diminuée du travail externe _{effectué par l’élément de}

_fluide;

20 _{que l’accroissement} de

_l’entropie

est

_égal

à

l’entropie

venant de

l’extérieur,

augmentée

de

l’entropie

localement

_engendrée

_{par les} divers processus

irréversibles,

qui

ont leur

_siège

dans l’élément de volume considéré.

Cette

_entropie

_d’origine

locale,

multipliée

par la

température (absolue),

donne

_l’énergie

dissipée.

Celle-ci s’obtient finalement par élimination de

l’énergie calorifique

et de

_{l’énergie macrocinétique;}

cette dernière

_disparaît

au _{moyen de}

l’équation

dynamique

du mouvement.

On obtient ainsi

_{l’énergie dissipée (par}

unité de volume et de

_temps)

sous forme d’une somme de

produits

scalaires de deux vecteurs, dont l’un

repré-sente une intensité de flux

(énergétique

ou

matériel)

et l’autre est ce _que

j’appelle l’affinité conjuguée

à ce flux.

Admettant

enfin,

dans l’état

permanent (ou

sta-tionnaire),

c’est-à-dire

_lorsque

les variables sont

indépendantes

du

_temps,

une

_{proportionnalité}

entre

les flux et leurs affinités

_{conjuguées, l’énergie dissipée}

prend

la forme d’une somme de termes propor-tionnels aux carés des intensités de

flux,

ou des affinités. C’est là

_{l’expression mathématique}

de

mon

_principe

de

_{superposition.}

3. Affinité

_{thermique. - L’échange d’énergie}

calorifique

se fait par

_rayonnement

ou _par conduction.

Si l’on

_représente

_{par q la}

_quantité

d’énergie

calo-rifique

reçue par

rayonnement,

par unité de volume et de

_temps,

et _par w l’intensité du flux

calorifique

de

conduction,

l’effet

_calorifique

est

Le flux

_calorifique

w est

_accompagné

d’un flux

d’entropie T ,

un flux

_d’énergie

réduite,

qui

aban-donne par unité de volume et de

_temps

une

quantité

d’entropie

- div w -

Supposant

que l’accroissement

d’entropie

par

rayonnement

est

simplement

N,

,

sans

production

d’entropie

locale,

’on formule la

loi de

_{l’entropie,}

dans le cas où le fluide est immobile

(ce qui

implique

que sa

concentration,

ou

densité,

c ne

_change

pas),

en écrivant

94

où q,.

est

_{l’énergie dissipée}

par conduction

calori-fique. S’

est

_l’entropie

_spécifique.

Dans ces mêmes conditions la loi de

_l’énergie

donne

Introduisant le

_{potentiel thermique}

G’ = W’-T S’

et tenant

_compte

des

_propriétés

de cette

fonction,

on conclut de

₍₂₎

et

₍₃₎

_que

est

_{l’affinilé}

_thermique.

Admettant une

_{proportionnalité}

entre le flux

calorifique

et l’affinité

_thermique

_(je

considère un

flux

_{athermique, indépendant}

d’un

_gradient

de

température,

admis par certains

auteurs,

comme une

absurdité

_physique;

voir à ce

sujet

[2],

_§

16)

et

posant

en

_conséquence

Ceci suppose, bien

entendu,

que la matière est

isotrope.

En cas

_{d’anisotropie}

la relation vecto-rielle

₍₅₎

doit être

_remplacée

_par une relation

tenso-rielle ;

mais

_{l’expression (4)}

subsiste.

4.

Écoulement

fluidal

_{simple. -}

Considérons

un fluide

_simple,

coulant à travers un tube dont les

parois

sont

mouillées,

de sorte

_qu’il

_n’y

a _pas de

frottement au bord. Si m = _eu est l’intensité de

flux,

c

_{représentant}

la masse

_(gravifique

ou

_molaire)

par unité de volume et u la vitesse

d’écoulement,

la loi de

_l’énergie

se _{traduit par}

_[3]

d ( C U’ ) d ( C K’) - Q d. ( U’ ) d. (K’) L’

(7)

(7)

Les

_grandeurs

accentuées sont

_{spécifiques,}

c’est-à-dire relatives à l’unité de masse; ainsi K’ est

_l’énergie

macrocinétique

par unité de masse

(K’ - I

_u2).

L’ est le travail

externe,

qui

peut

s’écrire

L’=- (f’.u) + div(pu) + L f.,

,

(8)

où f’ est la force externe et

_{L f}

le travail contre les forces de frottement.

Introduisant

_{l’enthalpie}

et tenant

_compte

de

l’équa-tion de continuité

on

_peut

mettre

₍₇₎

sous la forme

Sous forme vectorielle

_{l’équation}

fondamentale

de

l’Hydrodynamique

s’écrit

où le dernier terme est la

_divergence

vectorielle du tenseur des

_pressions;

le coefficient _{ji est} i,

si les masses sont mesurées avec l’unité

_gravifique

(en

grammes),

M

_{(poids moléculaire)}

si elles sont

exprimées

en moles.

_Multipliée

_{scalairement par} u,

cette

_équation

donne

ce

_qui

se laisse transformer en

où -ri est le coefficient de viscosité et 6b la fonction

de

_dissipation

de

_Rayleigh.

L’élimination de K‘ entre

₍₁₀₎

et

_(12’)

donne

L’observateur fixe

_applique

la loi de

_l’entropie

en écrivant

Eliminant enfin l’effet

calorifique

entre les deux

dernières

_équations

et

introduisant le

_potentiel

thermique,

on

_obtient,

_après

réductions,

où le second terme est

_{l’énergie dissipée}

_par l’écou-lement

_visqueux.

5. Affinité d’écoulement. - En vertu de

(12’)

on a

En faisant une _{moyenne pour} toute une section du

_tube,

on fait

disparaître

le travail de frottement

externe

_[4],

et l’on

obtient,

en

_{représentant}

_{par û}

une vitesse moyenne

A est ce _que

j’appelle l’affinité

d’écoulement

fluidal

Il s’ensuit que

où A

est,

en

_définitive,

une

_grandeur

thermomécani-quement

indéterminée

_(1).

D’ailleurs,

pour tout filet limité par des

lignes

de flux on

_peut

écrire

où

_Ari

est ce _que

_{j’appelle l’affinité}

de

_glissement;

_A,,

est

l’affinité

d’écoulement

_visqueux.

_{On voit aisément que}

Admettant que,

lorsque

l’écoulement se fait en

régime

permanent,

il y a

_{proportionnalité}

entre l’intensité de flux et l’affinité

d’écoulement,

on a

dans ce cas

6.

_{Hydrostatique.}

-

L’équilibre

du fluide

_exige

évidemment,

que l’affinité d’écoulement soit nulle.

L’équation (17’)

donne

donc,

la vitesse étant

_nulle,

du _reste, comme condition

_{d’équilibre}

Dans le cas où la

_pesanteur

est la seule force externe

_agissant

sur le fluide on retrouve ainsi la loi

_générale

de

Stévin, et,

en

_particulier,

_pour un

gaz, la formule

barométrique.

Mais,

en

_général,

le fluide est encore

soumis,

selon

moi,

à l’action d’un

champ thermique

[5];

tel doit être le cas, à mon

avis,

lorsque

le fluide se trouve dafis un tube reliant

deux

réservoirs,

maintenus à des

_{températures}

différentes.

_Négligeant

la

_possibilité

d’existence

d’autres

_champs

de force

_{(champs électrique}

et

magnétique),

on aura

Dans un tube horizontal on aura ainsi comme

condition

_{d’équilibre}

C’est ce _que

_{j’appelle l’effet}

_{thermomécanique.}

On connaît cet effet sous le nom d’effet _{Knudsen pour}

les _gaz raréfiés et sous le nom d’effet de fontaine pour l’hélium

liquide

II. Bien

_qu’il

_{n’ait pas} encore

été découvert

_ailleurs,

_je

suis

_persuadé

_que cet

effet est

_général.

7. Diffusion. - Considérons maintenant un

(1) On remarquera qu’en posant A = _{o on obtient}

l’équation dynamique du mouvement d’un fluide _{parfait (équation}

d’Euler).

fluide

_mixte,

_mélange

de n constituants. Un

quel-conque de ces

constituants,

le ;lii’lllt’ est animé d’une vitesse de

_transport

_propre û,,, moyenne pour toute une section du tube où.

_s’opère

l’écou-lement

_[6].

Posons

où _{il, déterminé par}

est la vitesse d’écoulement

d’ensemble,

et

u,,,

tel _que

la vitesse de

_diffusion

du constituant.

Si les masses sont mesurées en _grammes, ü est la vitesse

_{barycentrique;}

si elles sont mesurées

en

_moles,

ü est la _{moyenne vitesse molaire. La} diffusion étant un

_phénomène

essentiellement

molécu-laire,

il est

_indiqué,

dans l’étude de ce

_phénomène,

de mesurer les masses en

moles,

et de

rendre,

_par

conséquent,

la vitesse moyenne molaire

nulle,

pour obtenir une diffusion pure et

_simple.

Les vitesses de diffusion étant très

_faibles,

on

_peut

négliger l’énergie macrocinétique

et,

supposant

l’état

stationnaire,,

formuler la

_première

loi en

écrivant

Le travail L se _{compose de deux}

_parties,

dont l’une

est le travail contre les

_champs

de force dans

_lesquels

le fluide se trouve

_placé,

l’autre le travail contre les

actions des éléments voisins du fluide.

_Supposant

que ce dernier

_puisse

se mettre sous la forme

on aura, en

_posant

Il est tout

_indiqué,

d’ailleurs,

de voir dans

_W;;

l’en-thalpie partielle

du vièmc constituant. La seconde loi sera traduite par

ce

_qui,

combiné avec

_(26),

donne,

après

introduction

96 Mais

de sorte

_qu’on

_peut

écrire,

en

définitive,

avec

Av

est

_{l’af finité}

de

_diffusion,;

ff est la force externe par mole du

mélange

(2).

Comme on a, par

définition,

et

_qu’en

vertu du théorème de Gibbs-Duhem :

il vient

Si donc on _{admet que}

où le coefficient « est

supposé

être le même pour tous les

constituants,

la somme des intensités de flux m;

est

_nulle,

comme il convient

_[équat.

_(24")].

L’énergie dissipée

par diffusion est ainsi

8.

_Équilibre

de diffusion. - Le fluide mixte

étant

_supposé

soumis à l’action de trois

_champs

de

_force,

le

_{champ gravifique,}

un

_{champ électrique}

et un

_{champ thermique,}

nous aurons

ev est la

charge

_{par mole du} vièmc constituant du fluide

_{partiellement}

ionisé

_(pour

les

_particules

neutres e,, =

o).

Si le fluide est neutre dans

l’ensemble,

ce

_qui

exige

que

l’équation (30)

fournit encore _pour

_{f’ l’expression}

_(22),

et

_{l’équation (29’)}

donne

L’affinité de diffusion est ainsi la somme d’une série

de termes

_{proportionnels}

à des affinités

_simples

(gra-(1) On reconnaît dans la formule (29’) la loi d’Archimède :

chaque constituant du mélange en _équilibre d’ensemble

subit une _poussée de la _part de tout le fluide environnant.

vifique, électrique, thermique

et

_{physicochimique).}

L’équilibre

de diffusion d’un des constituants du fluide mixte

_exige,

encore une

_fois,

_que son affinités

conjuguée

soit nulle. Cela est

_possible,

évidemment d’une

_quantité

de

_façons,

_{mais il y} a

_{spécialement}

trois cas

_{d’équlibre}

_{intéressants,}

_à,

savoir ceux

où l’afflnité

_{physicochimique}

est _{maîtrisée par}

une des trois autres.

_Remarquant,

d’ailleurs,

que la

_{supposition déjà}

_{faite que} le fluide est en _repos

d’ensemble,

exige [6] qu’il

soit satisfait à la condi-tion

_(21),

la condition

_{d’équilibre}

du vii.mc consti-tuant

est,

en

_définitive,

Cette

_équation

_peut

encore être transformée

dans le cas où l’on a affaire à un

_mélange

_idéal,

pour

lequel

est le titre du vième constituant. Ce cas est réalisé par un _{gaz raréfié} ou _par une solution diluée. En cas d’absence de

_phénomènes

_électriques

la condition

d’équilibre

devient alors

Cette

_équation

_apprend

comment,

dans une

atmo-sphère

isotherme,

la

_composition

varie avec le

niveau,

et aussi

comment,

dans un tube

horizontal,

la

_composition

varie avec la

_température

_(effet

Soret;

séparation

d’isotopes).

D’ailleurs,

dans le cas

d’un

_mélange

_{gazeux x,,} = Pi et

(40)

devient

9. Thermoélectricité. - Considérons

main-tenant un fluide

_{partiellement}

_ionisé,

_composé

de i

espèces

d’ions

_(v)

== i à

i)

et de n-i

espèces

de

par-ticules neutres

_(v

= i + i à

n),

_{que, pour}

simplifier,

nous _{supposerons soustrait à l’action de la}

pesan-teur

_[7].

_{L’expression (37)}

de l’affinité de diffusion

se réduit ainsi à

A

_chaque

flux

_ionique

_correspond

un courant

électrique

avec une intensité

qu’on peut

mettre sous la forme

où

résistivité;

est la vième

_composante

de la force électromotrice externe

_(je

considère,

comme on le

_voit,

la force

thermoélectrique (deuxième terme)

comme une force

électromotrice

externe)

et

est la

_composante

_{correspondante}

de la force élec-tromotrice interne.

Le courant total a l’intensité

est la conductivité totale du

fluide,

Il est _{clair que} pour les

particules

neutres les notions de force

électro-motrice,

conductivité et résistivité sont illusoires.

D’ailleurs, posant

(nombre

de

_transport),

on a

Quant

à

_l’énergie

_dissipée

_par

_diffusion,

on

_peut

l’écrire

La

_{première partie}

de cette

_{expression, qui}

est la somme des effets Joule des courants individuels

(changés

de

_signe),

se laisse encore transformer

comme suit. On

_peut

_poser,

notamment,

où

de sorte _que

Il _{s’ensuit que}

L’énergie dissipée

par les ions est ainsi

décomposée

en l’effet Joule du courant résultant et un - effet

de.diffusion

sans courant

_électrique.

Les

_équations

se

_simplifient,

_lorsqu’on

a affaire à une solution diluée d’un

_{électrolyte.}

Les termes relatifs au

_solvant,

_qui

reste

_pratiquement

_immobile,

disparaissent

alors,

et

_{l’énergie dissipée}

_{par diffusion}

se réduit à

_q’.

En

outre,

l’affinité

_{physicochimique}

prend

la forme

_(39).

En réduisant le nombre des ions mobiles à un

seul,

et lui donnant la

_charge

2013s d’un anion

mono-valent,

on obtient la théorie

_{thermomécanique}

des

_électrons,

_que

_{j’ai développée}

directement

_[8].

Nous ne

_parlerons

_{pas des}

_{phénomènes produits}

par un

_{champ magnétique (voir}

à ce

_sujet

_[9]).

10.

_Équilibres

_{thermoélectriques.}

- L’action

d’un

_champ

_électrique

sur un fluide ionisé donne

lieu à des

_{phénomènes d’équilibre}

intéressants

_([10],

§

1 à

_6)].

Une combinaison convenable d’un

_champ

électrique

avec un

_{champ thermique (champ}

thermo-électrique)

peut,

en

effet,

annuler l’affinité

₍₄₂₎

conjuguée

au flux d’une au moins des

_espèces

d’ions.

Dans le cas d’une solution

_{électrolytique}

la

condi-tion

_{d’équilibre}

_peut

s’écrire

ce

_{qui signifie,}

_{que dans} un

_{champ électrique}

donné

(éventuellement nul)

la diffusion d’une

_espèce

d’ions est

_empêchée

_par un

_champ

_thermique

déter-miné,

et _{que dans un}

_{champ thermique}

donné elle est

_empêchée

_par un

_{champ électrique}

déter-miné ;

les autres ions diffusent

alors,

en donnant un courant

_électrique.

Mais deux

_espèces

d’ions

_peuvent

être en

équilibre

simultanément dans un même

_champ

thermo-électrique.

Tel est le cas,

notamment,

pour le

système

des cations et anions d’un

_électrolyte

binaire.

C’est ainsi que la diffusion d’une solution saline

peut

être

_empêchée

_par un

champ thermoélectrique.

Pour les électrons la condition

_{d’équilibre}

est

exprimée

par

l’équation

où le

_premier

terme du second membre est un effet

Thomson,

le deuxième un effet Volta. Ce dernier existe

seul,

à

_température

_uniforme,

au contact de deux métaux

différents,

ou dans un fil dont la

compo-sition varie d’un

_point

à un autre. Si l’on admet que la concentration des électrons libres varie avec

la

_{température,}

un effet Thomson doit

toujours

être

_acommpagné

d’un effet Volta. 11. Effets

_{calorifiques.}

- La

façon

la

_plus

_simple

de trouver une

_{expression analytique}

_{pour l’effet}

calorifique Q,

est de

_partir

de

_{l’équation qui}

traduit la loi de

_l’entropie

et

_d’y

substituer la valeur de

_q’.

C’est ainsi que pour l’écoulement d’un fluide

simple

l’équation (14)

donne,

dans l’état

stationnaire,

98

étant l’effet

_calorifique

du frottement interne. Les coefficients

_{C,, et h,}

sont ce

_{qu’on appelle}

encore

toujours,

faute de

mieux,

une chaleur

_spécifique

et une chaleur latente.

Dans la diffusion pure et

_simple

l’effet

_calorifique

est fourni par

(27), qui

donne,

eu

_égard

à

₍₂₉₎

et

_(34),

sans terme en

_grad

_{p, parce que le coefficient}

est _{le même pour} tous les constituants.

L’effet

_calorifique

est ainsi

_décomposé

en trois

parties,

dont la

_première

_peut

être

_appelée

un effet

Joule,

la seconde un effet Thomson et la troisième

un effet Peltier. Elles

_{correspondent}

aux trois effets

électrocalorifiques

observés dans les métaux et ainsi dénommés.

12.

Écoulement

fluidal mixte. -

L’application

de la méthode à l’écoulement d’un fluide mixte non

homogène

se heurte à la

difficulté,

_qu’on

ne connaît

pas d’avance

l’équation

de mouvement d’un

cons-tituant du

_mélange.

_{On y}

_parvient

indirectement

en

_posant

_{l’hypothèse,}

conforme à mon

_principe

de

_{superposition,}

_que

_{l’énergie dissipée}

dans ce

processus

complexe

est

où

A;,

est l’affinité de diffusion

_(29’)

et A l’affinité

d’écoulement d’ensemble

(17’),

sauf

_qu’il

_{faut y}

ajouter [5], §

12,

un terme

_provenant

_{du manque} de

_simplicité

du

fluide;

il est _{vrai que,} vu la

_petitesse

des vitesses de

diffusion,

ce terme additionnel

peut

être

_négligé.

D’ailleurs,

on vérifie aisément que

₍₅₄₎

_peut

s’écrire

Admettant ici encore une

_{proportionnalité}

entre les flux et les affinités

_conjuguées,

on obtient

13.

_{Hydrodynamique. -}

_Quant

à

_{l’équation}

dynamique

du vième

constituant,

en vertu de la

relation

_{approximative [5], équat. (33’),}

et eu

_égard

à

(18)

et

_{(1 9"),}

elle serait

où

Rv)

est une force de résistance

thermomécani-quement

indéterminée,

telle que

Manuscrit reçu le 25 octobre 1950.

BIBLIOGRAPI-IIE.

[1] GROOT S. R. DE. - Sur la

thermodynamique de _quelques

processus irréversibles. I. Corps simples. II. Diffusion

thermique et _phénomènes connexes. J. _Physique Rad.,

I947, 8, I88-I9I et

I93-200.

[2] VERSCHAFFELT J. E. - Réflexions _sur le

principe d’Onsager. Bull. Acad. roy. Belg., I949, 35, 978-994. [3] VERSCHAFFELT J. E. - La

thermomécanique des fluides

réels. Bull. Acad. roy. Belg., I948, 34, 344-355. [4] VERSCHAFFELT J. E. - L’affinité de

glissement. Bull.

Acad. roy. Belg., I950, 36, 290-30I. [5] VERSCHAFFELT J. E. - La

thermomécanique des fluides

idéaux. Bull. Acad. roy. Belg., I948, 34, 325-344.

[6] VERSCHAFFELT J. E. 2014 Sur la

thermomécanique des

fluides mixtes. Bull. Acad. roy. Belg., I949, 35, 847-867.

[7] VERSCHAFFELT J. E. 2014 La thermomécanique des fluides

ionisés. Bull. Acad. roy. Belg., I950, 36, 690-705. [8] VERSCHAFFELT J. E. - La

thermomécanique de la

thermoélectricité. Bull. Acad. roy. Belg., I950, 36, 26-46 et I93-206.

[9] VERSCHAFFELT J. E. 2014 Sur la thermomécanique des

effets magnétiques transversaux. Bull. Acad. roy.

Belg., I950, 36, I80-I92.

[10] VERSCHAFFELT J. E. 2014 Sur la thermo-électrodiffusion.