Famille continue de courbes terminales du spiral réglant pouvant être construites par points et par tangentes

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Submitted on 1 Jan 1919

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Famille continue de courbes terminales du spiral réglant pouvant être construites par points et par tangentes

M. Aubert

To cite this version:

M. Aubert. Famille continue de courbes terminales du spiral réglant pouvant être construites par points et par tangentes. J. Phys. Theor. Appl., 1919, 9 (1), pp.63-72. �10.1051/jphystap:01919009006300�.

�jpa-00242024�

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FAMILLE CONTINUE DE COURBES TERMINALES DU SPIRAL RÉGLANT

POUVANT ÊTRE CONSTRUITES PAR POINTS ET PAR TANGENTES ;

Par M. M. AUBERT.

1. Huygens ^est l’inventeur du ressort spiral communément appelé spiral réglant qu’il fit construire _{pour la} première fois par 31. Thu- ret, ^habile horloger.

Un essai de théorie du spiral ^{fut tenté} par ^F. Berthou d ( ~ ) ; ^on

doit à Pierre Le Roy (2) ^la découverte expérimentale ^{de la} possibilité

de réaliser l’isochronisme _par un choix convenable des extrémités,

mais il était réservé à Phillips de ^{formuler les} conditions nécessaires et suffisantes auxquelles doit satisfaire la courbe terminale d’un spi-

ral pour qu’elle ^{soit réglante,} c’est-à-dire qu’elle ^{assure l’isochro-}

nisme des oscillations.

Dans son mémoire sur le spiral réglant des chrononÛ?tres et des montres (3), Phillips ^considère l’ensemble _{formé par} le balancier et le spiral. ^{Si E est le module} d’Young ^{du métal} qui ^{forme le} spiral ^de longueur L, ^{si 1 est le moment d’inertie de la} section de ce dernier,

il résulte des lois de l’élasticité que ^{le moment G du} couple qui ^tend

à ramener à sa position d’équilibre ^{le balancier} dérangé ^d’un angle ^rl-

a pour valeur :

avec :

Si s ^- _o, la durée T d’oscillation du système ^{est :}

A étant le moment d’inertie du balancier _par rapport ^{à son axe de} rotation, ^et l’isochronisme est alors réalisé, quelle que soit l’ampli-

tude des oscillations.

Après avoir établi cette formule, Phillips démontre que i peut

- -- -

(1) ^F. BERTHOUD, Traité des horloqes marines, ^t. III, Paris, ^{i 1’73.}

(z) ^CBSS[NI fils, Voyages pour ép~°ouver ^{les moni~~es} ma~°i~aes de Pierre Le Ro~~,

Paris m0.

(3) PHILLIPS, ^{Annales des} ~nines, ^t. XIX; 1861.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:01919009006300

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s’annuler, ^{à la} condition que les courbes terminales satisfassent aux

deux conditions suivantes :

1° Le centre de gravité ^{G de} chaque courbe doit se trouver sur la

perpendiculaire ^{OB menée} par le ^centre 0 des spires ^au rayon extrême OC de cette courbe, ^{là où .elle se réunit aux} spires ( rcg. ~ ) ;

2° La distance de ce centre de gravité ^{G au centre 0 des} spires

doit être égale à ~ , R2 c’est-à-dire à une troisième proportionnelle ^{à la} longueur 1 de la courbe et au rayon R des spires.

De telles courbes assurent la régularité ^du développement ^con- centrique ^du spiral cylindrique, suppriment ^toute poussée ^latérale

du balancier contre ses pivots, ^{il en} résulte l’annulation du frotte- ment correspondant et surtout des variations _que subit celui-ci par suite de l’épaississement ^{des huiles, elles} permettent de réaliser le

spiral ^libre.

II. Dans le mémoire déjà cité, Phillips indique ^une méthode pour trouver graphiquement les courbes terminales qui conviennent à

chaque ^cas.

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Soit à tracer une courbe ^{terminale se} raccordant en C à la spire ^et

se terminant au point ^A (flg. 1). D’après ^{les deux} conditions impo-

sées, ^{le centre de} gravité ^{G de cette courbe ABC doit se trouver sur}

OB perpendiculaire _p ^{à OC et OG doit être} égal ^à R ~

1

On trace de sentiment une première ^{courbe ABC, on la divise en-}

suite en éléments suffisamment petits Ca, ccb, ^{bc, ...,} pour qu’on puisse les assimiler à des droites ou à des arcs de cercle, ^{on mesure}

la distance _{y à} Ox du centre de gravité de chacun des éléments et on

forme lydl.

Si G est sur Ox (1) v-ydl ⁼ o ; si cette condition n’est pas réali- sée, ^on modifie soit la partie supérieure ^{de la} courbe, ^{soit la} partie

inférieure de manière à y ^arriver.

Reste à satisfaire à la seconde condition, x ^mesurant la distance du centre de gravité ^{d’un élément à} Oy, ^{on calcule Erdl.}

Lorsque l’égalité ^{1:xdl - R2} (2), qui exprime que OG = 2 R , Z n’a _pas

~ _,

_

lieu, ^on modifie la courbe tout en continuant à satisfaire à la condi- tion (1).

Si on a par exemple ^Exdl > R2, ^on prend ^de part ^et d’autre du

point B ^{deux arcs B1VT et BN} tels que le ^centre de gravité ^{de leur}

ensemble soit sur OD et on remplace ^{l’arc MBN} par ^{un arc} inté- rieur MIN dont le centre de gravité ^{soit sur OD et dont le moment}

par rapport ^à (Jy ^est moindre que celui de l’arc ~IBN et par appro- ximations successives, ^on arrive ainsi à satisfaire à la condition (2), l’égalité (1) ^étant toujours ^vérifiée.

Certains horlogers apportent ^à la méthode précédente ^une légère variante, ^{au lieu de} déduire par le calcul la position ^du point ^{G, ils}

la fixent expérimentalement.

« On trace une courbe approximative ABC inscrite dans une cir- conférence de 100 millimètres _{de rayon.} Après l’avoir exécutée en fil de fer, ^on suspend ^{cette courbe dans deux} positions différentes en la

plaçant ^devant le dessin et en traçant chaque fois les verticales. L’in- tersection de ces verticales donne le centre de gravité ^{dont il faut}

E-( J

vérifier la position par la formule OG ⁼ 2013’ On modifie la courbe

en fil de fer jusque ^ce que la condition ci-dessus soit réalisée (’). ^Enfin

(1 J.BMEs, ^CUU1’S ~mcligue ^et tlaëo~~iyue ^de l’eglage ^de précision.

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M. Pettavel, ^{directeur de} l’école d’horlogerie ^de Fleurier, ^{a réalisé}

sur les indications de ~1. Ch. Ed. Guillaume ^un appareil permettant

la détermination mécanique rapide ^{de courbes de} Phillips ~1).

III. Pour faciliter la tâche aux artistes chronométriers, quelques

auteurs ont, à la suite de Phillips, ^définis graphiquement ^{la forme}

d’un certain nombre de courbes terminales. Ils ont traduit les résul- tats auxquels ^{ils sont} parvenus soit ^en reproduisant par ^la gravure les courbes obtenues, ^{soit en donnant sous forme de} tableau les élé- ments suffisants pour la construction de ^ces courbes en coordonnées

polaires (2).

Pour avoir des courbes terminales que l’on puisse construire avec

la règle ^et le compas, ^ou par points ^et par tangentes, ^et pour les-

quelles ^{il soit} possible ^de déterminer, ^en chaque point, les éléments

géométriques (rayon ^{de courbure, centre de} courbure, etc.), ^d’au-

tres auteurs ont cherché à utiliser les courbes usuelles et leurs com-

binaisons.

Rarmi les formes particulières ^ainsi obtenues, ^{nous citerons les}

courbes terminales formées.

1° D’un segment ^de droite ;

2° D’un ou deux arcs de cercle (v ) ;

3° De deux quarts ^de cercle réunis _par une droite ;

4° D’une ellipse ^de grand ^{axe a .~ R et} d’excentricité e ~ 0,573.

D’une façon générale, ^toute courbe définie en coordonnées polaires,

par exemple, par ^une relation de la forme :

où m est un paramètre (développante ^de cercle, cardioïde, etc.), peut

être choisie comme courbe terminale.

Les deux conditions de Phillips ^{donnent deux} équations qui ^dé-

unissent et l’intervalle O dans lequel doit varier 6, ^et si même par suite de la présence de fonctions périodiques ^dans f ( ~~~, 0), ^le problème

admet un nombre infini de solutions, ^{ces solutions sont isolées et} parfaitement déterminées.

Le présent ^{travail a pour} objet l’étude d’un groupe de courbes ^ter-

(1) Congrès international de chonométrie, 1~02, page 195.

(2) ^P. BERNER. Coordonnées polaires ^{des courbes} Phillips. Journal suisse d’!wr-

lo~e~°ie, ^{t. XXX I et XXX 1 V.}

(3) ^F. ~1EELHOFF, ~;ou~~bes te3°r~i~aales circulaires. ~Iou7~~aal suisse d’horlogerie,

t. XXV11I et XXIX.

67 minales que l’on puisse construire par points ^{et par} tangentes ^et

dont l’équation ^en coordonnées polaires renferme deux paramètres qui permettent ^{de les} assujettir à ^{une condition} supplémentaire ^autre

que celle de Phillips, l’ensemble de ces courbes formant une famille continue.

La courbe choisie est la spirale logarithmique :

dont la tangente ^{MT fait en} chaque point ^{1VI avec} le rayon ^vecteur

un angle ^{constant V tel que :}

FIG. 2.

Soit L ( fig. 2) ^une spirale logarithmique ^et § l’angle compris ^entre

2013 ~ ^{et ~ tel que tang ’f = b. La tangente NP au point correspon-}

dant N est perpendiculaire ^{à OX,} prenons ^ce point ^{N comme} origine

des arcs et cherchons les coordonnées (~, ~) ^{du centre de} gravité ^G

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d’un arc NE de L.

étant les coordonnées d’un point quelconque ^1B1 de la courbe et 1 la

longueur de l’arc NE.

ds l’élément d’arc ayant pour ^{valeur :}

On en cléc~ui~ :

avec :

Soit, ^d’autre part, ^{C le} centre d’un cercle S _{de rayon} R, projection

sur le plan ^d’un spiral cylindrique, perpendiculairement ^{à son axe ;}

si S est tangent ^{à NP en} N, les coordonnées de C sont :

L sera une courbe terminale si :

En remplaçant 1, ~(p Xc et Yc par leurs valeurs, simplifiant ^et posant

u ⁼ R, C) les égalités (3) et (4) ^C) deviennent :

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REMARQUE. 2013 Si, ^{dans les} expressions (5) ^et (6), ^{on fait b = o, ce} qui ^entraîne ~! ^{= o, il vient :}

ce qui ^donne par élimination ^{de u et} faisant 8 ^- 2~ :

équation qui ^{se retrouve dans la} détermination de la courbe termi- nale formée d’un seul arc de cercle (1).

I V. Le tableau 1 contient des valeurs de ^2c et de 8 satisfaisant aux

équations (5) ^et (6), les limites inférieure et -supérieure ^{de b étant} respectivement

0,07499536 ^et 0,2007180. ^{Les solutions} correspon- dant à une même valeur de b sont affectées d’indices différents et

cc == 2013 _u est calculé pour ^{~ R .- 1} (2). ^{’ ’}

(1) GROSS~LBN~, HOl’logeTie théorique, ^{t. II.} p. 116.

Pour b ~ 0 la spirale ^{se réduit à une} circonférence, ^{c’est le cas} traité par F. Keelhoff (lac. cit.).

(2) Cei-Itaines valeurs de 8,, u,, tc.ÿ ^ne présentent qu’un ^intérêt théorique, ^elles n’ont été calculées que pour déterminer l’allure des courbes représentées liq. ³

et 4.

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71

Les ligures (4) ^et (3) ^donnent respectivement les courbes de it et de

(~~, b ^étant pris ^{comme variable.}

Il est à remarquer que les nombres qui figurent ^{dans le tableau} précédent ne ^{sont pas les seules solutions des} équations (5) ^et (6);

ainsi les valeurs suivantes répondent ^{encore à la} question :

D’une façon générale, ^le système ^des égalités (5) ^et (6) admet, lorsque b ^{est donné, une infinité} de solutions.

V . Construction des courbes.

Les tableaux 1, ^{Il et III} contiennent les éléments nécessaires à la construction d’un certain nombre de courbes terminales.

Soit à tracer la courbe terminale correspondant ^{à 0,0600~91} par

exemple, ^{et se} raccordant à un spiral cylindrique ^{dont la} projection

sur le plan ^{de la} figure ^{est un} cercle de rayon R 1.

Par rapport ^{à deux axes} rectangulaires ^{(~~ et} Oy ( f’zg. 2), placer ^le point ^N origine ^{des arcs de la} spirale, point ^{dont les} coordonnées sont :

la tangente ^{NP en ce} point ^est perpendiculaire ^{à Ox.}

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rl’racer les droites OU,, OU,, OU3, ^..., qui ^font respectivement

avec Ox des angles ^{de 15°,} 30°, ~~°, ^{..., etc.}

Porter sur ces droites selon l’angle qu’elles ^{font avec Ox les lon-}

gueurs qui figurent dans le tableau III dans la colonne 0,06002911.

Dans le cas considéré, ^{la colonne} envisagée s’arrête à 2101, ^{se re-} porter ^{alors aux} tableaux II et 1 qui donnent, ^{l’un, la valeur py du}

rayon vecteur et l’autre l’argument 8~ de l’extrémité E de la courbe.

Si R _r, les nombres donnant les coordonnées de N et les rayons vecteurs sont ^à multiplier ^{par r. La} tangente ^en chaque point ^{M s’ob-}

tient en traçant ^la droite MT qui fait, ^avec le rayon ^vecteur O:~’I,

l’angle ^{V == - 7t -} ₂ ^,g~ ’

(tableau 1) ^étant défini par la relation :

Par N mener une parallèle ^{NC à} Ox, prendre :

C est le centre du cercle projection ^des spires.