gh . dA gy . sin . dA

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LICENCE LPA_L3-S5 2009-2010 Mécanique des Fluides

Cours – TD - Hydrostatique

Allée de von Karman derrière un

cylindre-Image équipe ITD-IMFS Dany Huilier – 29 septembre 2009

Eléments d’hydrostatique.

Lorsqu’une surface est immergée dans un fluide, des forces se développent à la surface, dues à la présence du fluide (chocs moléculaires). La détermination de ces forces est importante pour la conception (le design) des cuves de stockage, les coques de navires, contenaires, digues, barrages et autres structures hydrauliques. Pour les fluides au repos, on sait que la force de pression est perpendiculaire à la surface, vu qu’il n’y a pas d’effet de contrainte de cisaillement. On sait également que la pression varie linéairement avec la profondeur si le fluide est incompressible. Pour une surface horizontale, comme le fond d’une cuve remplie de liquide, la force résultante est simplement F_R = p.A où p est la pression uniforme au fond de la cuve et A la surface du fond de la cuve.

Pour la cuve ouverte de la figure, p = ρgh. On notera que si c’est la pression atmosphérique qui règne sur la surface du liquide et sur la face extérieure du fond, la force résultante est simplement due au liquide dans la cuve. Comme la pression est constante et uniformément répartie sur le fond, la force résultante F_R

= ρgh .A s’applique au centre de gravité de la surface.

Pour le cas plus général d’une surface plane inclinée et immergée dans un fluide, la détermination de la force résultante sur la surface est plus complexe. Dans le cas présent, on supposera que la surface libre est à pression atmosphérique. Le plan contenant la surface A (qui peut être de forme arbitraire) coupe la surface libre à l’origine 0. On prendra un repère x-y avec Ox la direction horizontale et Oy la direction du plan incliné faisant un angle θ avec Ox. On se propose de déterminer la direction, la grandeur et la localisation de la force résultant de la présence du liquide en contact avec la surface A sur l’une des faces.

A une profondeur h donnée, la force élémentaire agissant sur l’élément différentiel de surface dA vaut dF

= ρgh.dA et est perpendiculaire à la surface. Ainsi la résultante totale est la somme (l’intégrale) des forces élémentaires sur la surface totale :

∫

^ρ ⁼ ^ρ ^θ

= A A

R

gh . dA gy . sin . dA

F

, sachant que h = y.sinθ

1

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Si ρ et θ sont constants :

F

R ⁼^ρ

g sin

^θ

∫

A

y . dA

L’intégrale dans la formule précédente est le moment d’ordre 1 de la surface A par rapport à l’axe x, et l’on peut écrire :

A

y . dA

=

A . y

C

∫

^{où y}^C est la coordonnée y du centre de gravité mesuré à partir de l’axe x passant par 0.

C R

g sin . A . y

F

=ρ θ ou encore

F

_R =ρ

gA . h

_C

Où h_C est la distance verticale entre la surface libre et le centre de gravité de la surface A. On notera que l’amplitude de la force ne dépend pas de l’angle, mais seulement de la masse spécifique ρg du fluide et de la profondeur du centre de gravité de la surface. La force est en fait égale au produit de la surface fois la pression au centre de gravité. Comme toutes les pressions différentielles dF sont normales à la surface dA, il en est de même de la force intégrale F_R

Notre intuition nous suggère que la force résultante passé par le centre de gravité de A, mais ce n’est pas le cas. L’ordonnée y de la force résultante peut être déterminée par sommation des moments élémentaires autour de l’axe x. Ici le moment résultant doit être égal au moment de la distribution des forces de pression élémentaires, soit :

∫

⁼ ^ρ ^θ

= A

2 R A

R

y y . dF gy . sin . dA

F

et puisque

F

_R =ρ

g sin

θ

. A . y

_C

2

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A y

dA y y

C A

2 R

=

∫

L’intégrale du numérateur est le moment d’ordre 2 / moment d’inertie de la surface, Ix, par rapport à l’axe Oz (intersection de la surface libre Oxz et du plan Oyz contenant la surface A. En utilisant le théorème des moments, il vient que :

2 C XC

X I A.y

I = +

où IXC est le moment d’inertie de la surface par rapport à un axe parallèle à Oz passant par le centre de gravité.

C C

XC

R

y

A y y

=

I

+

Ceci montre que la force résultante ne passe pas par le centre de gravité mais par un point qui est en dessous car

I

_XC

/ y

_C

. A

>

0

.

L’abscisse xR du centre de poussée peut être déterminée de la même manière : On a :

∫

⁼ ^ρ ^θ

= A A

R

x x . dF gxy . sin . dA F

A y

I A y x xydA

C XY C

A

R =

∫

=

et comme : I

_XY =

I

_XYC +

A . x

_C

y

_C

C C

XYC

R

x

A y x

=

I

+

3

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