Lois d'aimantation et interactions magnétostatiques dans les structures en domaines simples

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Lois d’aimantation et interactions magnétostatiques dans les structures en domaines simples

J.-L. Porteseil, R. Vergne

To cite this version:

J.-L. Porteseil, R. Vergne. Lois d’aimantation et interactions magnétostatiques dans les structures

en domaines simples. Journal de Physique, 1976, 37 (7-8), pp.929-938. �10.1051/jphys:01976003707-

8092900�. �jpa-00208488�

929

LOIS D’AIMANTATION ET INTERACTIONS MAGNÉTOSTATIQUES

DANS LES STRUCTURES EN DOMAINES ^SIMPLES (*)

J.-L. PORTESEIL et R. VERGNE

Laboratoire de

Magnétisme

^du

C.N.R.S., B.P.166,

CT-38042 Grenoble

Cedex,

^France

(Reçu

^le

3 fevrier 1976, accepté

^{le 23 mars}

1976)

Résumé. ²⁰¹⁴ Les auteurs étudient le comportement

magnétique

^d’un cadre monocristallin de fer-silicium contenant une, deux ou trois parois de Bloch à 180°. La forme des courbes d’aimantation et des cycles ^{varie en} fonction du nombre de parois. ^Une paroi isolée suit une loi de

Rayleigh

^{dans les}

champs

^faibles. Des interactions notables se manifestent dès _que deux

parois

^{sont en} présence.

On

explique

^ces phénomènes ^en introduisant des

couplages

magnétostatiques dus à la courbure des

parois ^{entre deux} points d’ancrage. Les résultats expérimentaux s’interprètent bien dans le cadre de ce modèle simple.

Abstract. ²⁰¹⁴ The authors study ^the magnetic behaviour of a

single crystal

^{of Fe-Si cut to the} shape

of a picture frame which contains one, two or three 180° Bloch walls. The

shapes

^{of the} virgin ^curve

and the hysteresis

cycle

change according ^to the number of walls. A single wall follows a

Rayleigh

law in weak fields. Strong interactions appear ^{as soon as two} 180° walls are present. ^These phenomena

are explained by assuming ^{that the walls are} slightly ^{curved between two} pinning points, giving ^{rise to} magnetostatic couplings. ^A simple ^model correctly ^{accounts for the} experimental ^results (English

translation available).

LE JOURNAL DE PHYSIQUE ^TOME 37, JUILLET-AOÚT 1976,

Classification Physics ^Abstracts

8.550

1. Introduction. ^-

Malgr6

^leur

importance

^techno-

logique considerable,

^{les mat6riaux}

ferromagn6tiques

sont relativement mal connus du

point

^{de vue de leurs}

m6canismes d’aimantation

microscopiques.

^{Cela tient}

essentiellement au fait

qu’un

echantillon

ferromagn6- tique

^{ordinaire se subdivise}

spontan6ment

^{en un}

grand

nombre de domaines 616mentaires

couples

^les

uns avec les autres. Les processus d’aimantation _y sont par

consequent

^tres

complexes.

^De

plus

^on

connait mal les interactions du

systeme

^de

parois

^avec

les nombreux defauts du reseau cristallin. C’est

pourquoi

^{on s’est souvent} borne a d6crire les

ph6-

nomènes rencontr6s _par des modeles formels

qui

abordent les

problemes

^d’un

point

^{de vue}

statistique.

Grace aux

progres

^{de la}

cristallogenese

^on

dispose

actuellement d’echantillons

ferromagn6tiques

^mono-

cristallins de dimensions notables dont la

qualite

permet d’obtenir des structures en domaines

parti-

culièrement

simples.

^D’autre part, 1’existence d’un

appareillage

^{de mesure 61abor6 nous a}

permis

^d’enre-

gistrer

^en continu de tres faibles variations de flux

magnetique

auparavant inaccessibles. n

s’agit

^essen-

tiellement d’un

amplificateur galvanom6trique

^{a cou-}

rant continu

qui

^a

deja

^{ete decrit en detail}

[2, 3].

Lorsqu’on

^{l’utilise comme un}

^Suxmctre,

^cet

appareil pr6sente

^des

caracteristiques particulierement

^int6-

ressantes. Son entrée etant

court-circuit6e,

^{la derive}

correspond

^{a une tension} moyenne ramen6e a l’entree de

quelque ^10-11

^V

pendant

des durees de l’ordre d’une heure. L’erreur

correspondante

^{sur le flux}

magnetique

^ne

depasse

pas

10 M/h.

^{La bande} pas- sante a ± ⁶ dB est de

plusieurs

milliers de Hertz et le temps ^{de montee vaut} 100 tis, ^ce

qui

permet ^d’etudier des variations de flux

rapides.

^Les

amplificateurs

purement

electroniques

^{actuels ne} peuvent ^atteindre simultan6ment ces ordres de

grandeur. Disposant

d’un tel

appareil,

^on peut

esp6rer

obtenir des rensei- gnements

plus precis

^sur les mecanismes d’aimantation faisant intervenir un

petit

^{nombre de}

parois.

2. L’echantillon. ^- Nous avons 6tudi6 un mono-

cristal de fer-silicium a

3 %

^{de silicium}

environ.

L’echantillon est taille en forme de cadre

rectangulaire

et ses cotes sont

paralleles

^{aux axes}

cristallographiques

du

type 100 > qui

^sont les directions de facile aiman- tation

(Fig. 1).

^Les dimensions exterieures du cadre sont 15 x 10 mm et ses dimensions interieures 9x4 mm. Son

epaisseur

^{est de}

0,39

^{mm. La structure}

magnetique comprend

essentiellement un

petit

^nombre

de domaines

s6par6s

par des

parois

^{a 1800}

paralleles

aux cotes du cadre. Ces

parois

^{sont mobiles et conti-}

nues, tout autour de 1’echantillon.

Quatre parois

^{a 90°}

fixes assurent la rotation de 1’aimantation dans les

angles.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01976003707-8092900

FIG. 1. - Structure en domaines du cadre de fer-silicium ; ^le nombre de parois ^{a 180° est} generalement compris ^{entre 1 et 3.}

Du fait de la

grande qualite cristallographique

^du

cadre,

les defauts du reseau

n’imposent

^{pas une confi-}

guration

^{immuable au}

systeme

^de

parois.

^{Le nombre}

et la

position

^des

parois

^{a 180° sont} aleatoires dans une

large

^{mesure. Nous avons} etudie la structure en

domaines _par effet Kerr en reflexion.

Chaque

^desai-

mantation alternative de

grande amplitude

^{conduit à}

un nombre n de

parois

^{a 180°}

g6n6ralement compris

entre 1 et 3. Le tableau I

indique

^la

frequence d’appa-

rition de ces structures relevees sur 100 d6saimanta- tions consecutives

d’amplitude

^maximale

egale

^à

10 Oe environ.

TABLEAU I

Nous avons constate _que des desaimantations de

plus

^faible

amplitude (1

^Oe

environ)

^{ne modifient} pas le nombre de

parois

^{a 180° obtenues} par ^une desaiman- tation de

grande amplitude.

Cette circonstance permet de faire une serie

d’exp6riences

^en retrouvant

chaque

fois le meme nombre de

parois.

Cette stabilite de la structure n’est _pas etonnante. En

effet, plusieurs

auteurs

[4

^a

9]

^{ont constate} que les

parois peuvent

^se coller l’une contre 1’autre ou contre une surface

plane

en conservant leur individualite. La structure initiale

r6apparait

lors de la decroissance du

champ.

^Des

champs

relativement 6lev6s

(quelques Oe)

^{sont n6ces-}

saires pour faire

disparaitre

d6finitivement les

parois.

Signalons egalement

que la moindre contrainte

mecanique appliquee

^a 1’echantillon d6truit sa struc-

ture

magnetique simple

^{et fait}

apparaitre

des dizaines de domaines de fermeture de dimensions notables.

Pour cette

raison,

les enroulements

magnetisants

^{et de}

mesure sont bobines sur une carcasse d’araldite entourant un des

grands

^{cotes du cadre avec un}

jeu

^de

quelques

dixiemes de millimetre.

Nous avons effectu6 toutes les mesures

magn6- tiques apres

^avoir

plonge

le cadre dans l’azote

liquide.

On s’affranchit ainsi du

trainage

de diffusion du a la

migration

^{des atomes} interstitiels de carbone et de silicium. Par contre on ne peut 61iminer le

trainage

^de

fluctuations

thermiques qui

^est

present

^{a toute tem-}

p6rature.

^{Dans toutes les}

experiences

^{nous avons}

impose

^{au courant}

magnetisant

des variations lineaires

au cours du temps

toujours

^{a la meme vitesse. On rend}

ainsi le

trainage

de fluctuation

reproductible

^dans

toute la mesure du

possible.

3. Les résultats

exp6rimentaux.

^- 3 .1 COURBES DE

PREMIERE AIMANTATION ET CYCLES A SATURATION. ^-

Nous avons 6tudi6 le comportement

magnetique

^du

cadre dans des

champs

^ne

d6passant

pas 10 m0e.

Cette valeur est suffisante _pour atteindre

pratique-

ment la saturation tout en

preservant

^{la structure en}

domaines initiale. La

figure

²

reproduit

quatre ^enre-

gistrements

^{de la courbe de}

premiere

aimantation et du

cycle.

^Le

champ

^coercitif

He

^est tres variable mais reste de l’ordre de

quelques

m0153 dans toutes les

expe-

riences.

Remarquons egalement

que le

point

^de

depart

obtenu

apres

^une désaimantation n’a aucune raison d’etre

equidistant

^des deux saturations.

FIG. 2. ^- Courbes de premiere aimantation et cycles d’hysteresis

du cadre contenant une (a), ^deux (b ^et c) ^{ou trois} (d) parois ^{a 180°.}

Lorsque

le cadre contient une

paroi

^a

180°,

^les

retoumements d’aimantation sont tres brutaux

(a).

Les

phenomenes

^sont

deja

différents dans le cas de deux

parois. Lorsque

1’6tat initial est

plus proche

^{de la}

saturation

positive,

la courbe de

premiere

aimantation et les

parties sup6rieures

^des

cycles

^sont

accidentees,

tandis _que les

parties

inferieures sont

abruptes (b).

Si au

contraire, l’état

^{initial est}

proche

de la saturation

negative,

l’aimantation croit

rapidement

^et les allures des

parties superieures

^et inferieures du

cycle

^sont

inversees

(c).

^On observe enfin des

cycles

^{de forme}

931

plus complexe lorsque

^le cadre contient trois

parois

a

180- (d).

3.2 AIMANTATION DANS LES CHAMPS FAIBLES. -

Nous avons

enregistr6

les courbes de

premiere

^aiman-

tation du cadre dans des

champs

de l’ordre de

Hc/ 10

pour les structures a _une, deux et trois

parois.

3.2.1 Aimantation du cadre à ^une

paroi.

^{- La} courbe

(a)

^{de la}

figure

^{3 montre} des variations d’aiman- tation assez

regulieres lorsque

^le

champ applique

^ne

depasse

pas

0,5

^m0153 environ. Ces variations sont mesur6es a

partir

de 1’etat initial

qui

^n’est pas ^un 6tat d’aimantation totale nulle.

FIG. 3. ^- Courbes de premiere aimantation dans les champs ^faibles

du cadre contenant une (a), ^deux (b ^et c) ^{ou trois} (d) parois ^{a 180°.}

On constate

qu’une

^loi

parabolique

^du type J ⁼ aH +

bH’ (loi

^de

Rayleigh)

^d6crit correctement les

phenomenes

observes dans les

champs

^faibles.

A

partir

des donn6es

experimentales

^{nous avons}

ajuste

les valeurs des coefficients a et b _par une m6thode de moindres carr6s. Le tableau II regroupe les valeurs de a et b

correspondant

^a

cinq

^{essais ou la}

paroi

^{a 180°}

avait des

positions

^initiales

différentes,

^ainsi que leurs

moyennes a > et b >.

Pour la

commodit6,

^{les unites}

employees

^{sont les}

u.e.m. pour 1’aimantation et les mO pour le

champ.

Les valeurs

experimentales

^{sont assez bien}

group6es

autour de leurs moyennes

respectives ( ±

⁶

%

pour a,

±

10,5 %

pour

b).

11 ressort de ces resultats

qu’une

^{loi de}

Rayleigh

d6crit bien les

d6placements

^d’une

paroi

^{de Bloch}

isolee soumise a un

champ

^{faible. De}

plus,

les coeffi- cients a et b semblent caract6riser le cristal

ind6pen-

damment de la

position

^{initiale de la}

^paroi.

^Ces

observations viennent a

1’appui

des modeles

[10

^a

13]

qui

d6duisent les lois de

Rayleigh

^d’une

analyse statistique

^des

d6placements

^d’une

paroi

^{dans un}

potentiel irr6gulier. Signalons

^au passage que

1’appa-

rente continuite des courbes d’aimantation

provient

de 1’echelle a

laquelle

^on 6tudie ici les

ph6nom6nes.

A une 6chelle

plus fine,

^on observe de nombreuses discontinuites d’aimantation

qui

refl6tent les

d6place-

ments irr6versibles des

parois.

^{Ces sauts}

presentent

un

int6r4t

^{par eux-m8mes et feront}

l’objet

^d’une

publication

ult6rieure.

3.2.2 Aimantation du cadre à deux

parois.

^{- Les} courbes

(b)

^et

(c)

^{de la}

figure

^{3 ont} ete tracees dans la

configuration

^{a deux}

parois.

^{Elles sont}

plus

^acciden-

tees que la courbe

(a),

^{et on} remarque de

plus

^une

inversion de la concavite

g6n6rale.

^{L’allure est} cepen- dant

parabolique

^{dans des}

champs

^ne

d6passant

pas

0,2

^ou

0,3

^{m0e et} nous avons verifie

qu’une

^{loi de}

Rayleigh

^{J = a’ H}

+ b’ H2 represente

bien 1’aiman- tation dans cette gamme de

champs.

^Par contre, ^la valeur

experimentale

^{de J dans un}

champ

^de

0,5

^m0153

est inferieure de presque 50

%

^a la valeur obtenue en

extrapolant

^{la loi J = a’ H + b’ H2} determinee en

champs

^faibles.

Le tableau III donne sept

couples

de valeurs mesu-

r6es des coefficients a’ et b’.

La

dispersion

^{est bien}

plus grande

que dans les

experiences

faisant intervenir une seule

paroi.

^La

plupart

des valeurs sont nettement inferieures aux

doubles des valeurs _moyennes d6termin6es _pour une

paroi

^isolee.

3.2.3 Aimantation du cadre à trois

parois.

^{- La} courbe

(d)

^{de la}

figure

^{3 a} ete tracee dans la

configura-

tion a trois

parois.

^{Elle est encore}

plus

accidentee _que les courbes

(b)

^et

(c)

^et 1’aimantation devient meme

temporairement negative.

^{Le tableau IV donne deux}

couples

de valeurs d’ et b" d6termin6es en

ajustant

une loi J = a" H

+ b" H2

sur des courbes

plus regulieres

^{trac6es dans les memes} conditions.

11 est difficile d’estimer la

dispersion

^en

disposant

seulement de deux

essais, mais,

^on peut remarquer

que a"

^{et b"} sont nettement inferieurs a

3 a >

^et

3 b >.

11 ressort de ce

qui precede

que les _processus d’aimantation dans un

systeme

^de

quelques parois

ne se r6duisent _{pas a} la

simple superposition

^des

phenomenes qui

seraient dus a chacune des

parois

TABLEAU II

prises-isol6ment.

^On peut donc conclure a l’existence de

couplages

^{notables entre les}

parois

^de

Bloch,

^et cela meme dans les

champs

^faibles.

TABLEAU IV

4.

Interpretation

des r6sultats. ^- 4.1 ORIGINE DES COUPLAGES ENTRE PAROIS. ^- Pour

expliquer

^les

phe-

nomenes d6crits ci-dessus nous proposons ^un modele d’actions

magnetostatiques

^{entre les}

parois

^{de Bloch.}

Nous avons

suppose

que des masses

magnetiques pouvaient apparaitre

^{sur les}

parois,

cr6ant ainsi dans la matiere aimantee des

champs

^de

dispersion

^sus-

ceptibles d’agir

^{sur les autres}

parois.

^{11 faut} pour cela que certaines

regions

^des

parois

^{fassent un}

angle

^non

nul avec 1’aimantation

spontanee.

¹¹ y

apparait

^alors

une densite de masses

magnetiques 6gale

^{a la dis-}

continuite _que subit la composante normale de Js a la travers6e de la surface de

separation.

Les defauts du reseau cristallin

(dislocations, joints

de

grains, inclusions...)

^{sont des}

points d’accrochage

pour les

parois.

^Celles-ci peuvent ^se courber locale-

ment sous 1’effet de la

pression magnetique

^{due au}

champ applique.

^On peut penser a ^un tel mecanisme pour

expliquer

^les

couplages. Cependant,

les defauts du reseau

susceptibles

d’accrocher les

parois

^{sont tres}

nombreux meme dans un materiau monocristallin de haute

qualite.

^{M. Schlenker et ses} collaborateurs

[14]

en etudiant le cadre _par

topographie

^aux rayons X et aux neutrons, ^ont mis en evidence de nombreuses dislocations isol6es ou

regroup6es

^en

sous-joints.

La densite des dislocations isolees est de

quelque

104

cm-2.

Ces

accrochages microscopiques

^créent

sur la

paroi

^{des masses}

magnetiques

altemativement

positives

^et

negatives

^{a une} echelle de 1’ordre de

10-2

cm. Les

champs

^de

dispersion qui

^{leur sont dus}

decroissent

rapidement

^en fonction de la distance et

leur _moyenne

spatiale prise

^{sur toute la}

longueur

^{de la}

paroi

^{est nulle. On} peut difficilement

invoquer

^{un tel}

mecanisme _pour

justifier

les fortes interactions obser- v6es. C’est

pourquoi

nous avons cherch6 une autre

explication

^en

supposant

que les

parois

^{sont accro-}

ch6es dans les

angles

^{du cadre}

plus

^fortement

qu’ailleurs.

^En

^effet,

l’intersection de deux

parois

^à

1800 et 90° doit

interagir

^avec les defauts du reseau differemment de la

paroi

^{a 180°}

proprement

^dite.

D’autre

part,

^{le cadre} comporte in6vitablement des

imperfections geometriques

que la

figure

⁴

reproduit

en les

exagerant.

^Une

paroi

^{a 900}

rectiligne

^ne peut exister dans ces conditions car cela

impliquerait 1’apparition

^{d’une tres} forte densite de masses

magnetiques

^a la surface de 1’echantillon. On a

plus

vraisemblablement une

paroi

^{a 900 en forme de}

baionnette ^sur

laquelle

^les

parois

^{a 180° se raccordent}

en des

points

diff6rents. De telles situations ont effectivement ete observ6es. Le

deplacement

^d’une

paroi

^a

180° implique

^{alors le}

deplacement

^d’un

morceau de

paroi

^{a 900}

(Fig. 5). Or,

^{cette derniere est}

en

principe plus

^{difficile a}

deplacer.

^En

effet,

^la pres- sion

magnetique qui

^{s’exerce sur une}

paroi

^etant

proportionnelle

^{a sa}

polarisation (1),

^{elle est}

fi

^fois

plus petite

pour ^une

paroi

^{a 90°. De}

plus

^la

paroi

^{a 90°}

est environ deux fois

plus

^{6troite et} par

consequent

elle

integre

moins les

irregularites d’energie

poten- tielle dues a tous les defauts de

petites

dimensions

[11].

FIG. 4. ^- Raccordement du systeme ^de parois ^{dans les} angles du cadre.

FIG. 5. ^- Deplacement simultane d’une paroi ^{a 180° et d’un}

morceau de paroi ^{a 90°.}

Si des

accrochages plus importants

^se manifestent dans les

angles

^du

cadre,

^il

apparait

^{alors une courbure}

de l’ensemble de la

paroi,

^et par suite des masses

magnetiques

^{et un}

champ

^de

couplage (Fig. 6).

^Cette

courbure a

grande

^6chelle

s’accompagne

^{de d6for-}

mations locales de dimensions bien inferieures dont les influences se moyennent ^{a zero des}

qu’on

^les

observe a une distance suffisante. Le

champ

^{de cou-}

plage

^au niveau d’une autre

paroi

^se r6duit a celui cree _par la courbure _moyenne.

(’) ^La polarisation ^d’une paroi s6parant deux domaines d’aiman- tation Jl ^et J2 ^est par definition le vecteur J2 - J1.

933

FIG. 6. ^- Courbure des parois ^a grande echelle. Pour la clarte de la figure, ^{on n’a} represente que les champs ^de couplage ^{dus aux}

charges ^en surface de la paroi ^AB.

4.2 ORDRE DE GRANDEUR DE LA COURBURE DES PAROIS. ^- La courbure des

parois

^sans

d6placement

de leurs extr6mit6s ne peut provoquer que de faibles variations d’induction. On a vu que 1’aimantation initiale due au

deplacement

^d’une

paroi

^{isolee suit}

une loi de

Rayleigh

^assez

reguliere jusqu’a

^{des induc-}

tions de l’ordre de 70 G. C’est dans cette

region

que

nous

suggerons

de rechercher un m6canisme

prepon-

d6rant d’aimantation _par courbure.

Pour d6crire de

faron simple

la deformation d’une

paroi

^de

longueur

^{totale 2}

L,

^nous

adopterons

^{une loi}

parabolique :

Si on suppose que les

points d’ancrage

^{aux extr6-}

mit6s A et B restent

fixes,

^la variation d’aimantation de 1’echantillon est

proportionnelle

^{a 1’aire}

S = 4/3

4

^{zo L}

comprise

^{entre la}

parabole

^{et sa corde AB. Une}

paroi plane qui

donnerait le m8me effet se

d6placerait

^de

z’

0

- 2

_zo. Or un

d6placement

^{de 3 mm}

(largeur

^des

3 ^o p ,g

cotes du

cadre) correspond

^{a une variation} d’induction de l’ordre de 40 000 G. On en deduit _{zo pour} une

induction de 70 G :

Le montage ^{d’effet Kerr dont nous}

disposions

^avait

une resolution de N

10 u ;

^{des lors il ne nous etait} pas

possible

de detecter une telle courbure.

Effectivement,

nous avons

toujours

observe des

parois d’aspect parfaitement rectiligne.

^Cette

technique

^doit cepen- dant permettre ^{de voir et de mesurer} la courbure de la

paroi.

^Pour

cela,

^il faut d’abord avoir un

appareillage

a haute resolution

(

¹

g),

^ce

qui

^est

possible.

^Mais

ce n’est pas li la seule difficult6. En

effet,

^{le faible}

champ

d’observation d’un tel montage ^et la distance des

points d’ancrage

^{de la}

paroi (N 1,5 cm)

^conduisent

a des difficultes

mecaniques

s6rieuses. Ces raisons font que dans une

premiere 6tape,

^{nous n’avons} pas ^entre-

pris

^cette verification.

4.3 COMPORTEMENT DES MOMENTS

MAGNTTIQUES

^AU

VOISINAGE DE LA PAROI. - Les deformations a

grande

6chelle de la

paroi

^{sont bien}

superieures

^{a son}

epaisseur (2

⁰⁰⁰

^A environ).

^On peut donc considerer la

paroi

comme une surface sans

epaisseur

portant ^une

r6par-

tition de masses

magnetiques.

^{Les moments situes au}

voisinage

^{de cette surface sont soumis a un}

champ

^et

devient

legerement

^{de la} direction de facile aiman- tation

(Fig. 7).

^Leur nouvelle orientation

repr6sente

FIG. 7. ^- Comportement ^{des moments} magnetiques ^au voisinage de la paroi.

un

compromis

^entre

1’energie

^{des masses}

magnetiques

et

1’energie d’anisotropie magnetocristalline.

^On

montre

[15]

que la densite

qui apparait

pour ^{une cour-} bure donnee est

egale

^{a celle}

qui apparaitrait

^si

I’anisotropie

^etait

infinie,

^divisee par le facteur

Pour le

fer-silicium,

^{Js est} de 1’ordre de 1 600 u.e.m.

a la

temperature

^ambiante

[16].

^On

n6gligera

^la

variation

thermique

^{de Js}

qui

n’introduirait

qu’une

correction de 1’ordre de 1

%.

^D’autre part ^on peut estimer

K1

^{a la}

temperature

de 1’azote

liquide

^a

partir

des resultats

exp6rimentaux

concernant

1’anisotropie d’alliages

de fer-silicium

[17]

^et la variation

thermique

de

1’anisotropie

^{du fer}

[18].

Cela conduit a attribuer a

K1

^une valeur de 1’ordre de 4 x 105 _ergs. cm-

3.

On trouve ainsi _que

p*

^est voisin de 40.

Par

consequent,

^{un element de}

paroi

^faisant

1’angle a(x) -

tg

a(x)

^{avec la corde AB} porte ^{une densite}

4.4 LOI D’AIMANTATION DE DEUX PAROIS COUPLEES

DANS LES CHAMPS FAIBLES. ^- La densite

u(x)

^est

proportionnelle

a la deformation de la

paroi.

^{Si on}

suppose que les extrcmites A et B sont

fixes, 6(x)

^est

alors

proportionnelle

^a I’aimantat7ion J due a la cour-

bure de la

paroi

consideree. Dans ce cas, les

lignes

^du

champ

^de

couplage

^{6H sont fixes et son module en}

tout

point

^varie

proportionnellement

^{a J. Dans tout}

ce

qui

^suit nous ne nous interesserons

qu’a

^sa compo- sante active 6H

parallele

^{a la}

polarisation

^{de la}

paroi.

11

s’agit

maintenant de decrire le comportement d’une

paroi

^se

déplaçant

^{dans un} milieu cristallin

perturbé

^sous 1’action simultanee du

champ appli-

que

^{H et d’un}

champ

^de

couplage inhomogene

^6H

du a une autre

paroi.

^Devant

l’impossibilite

^{de traiter}

rigoureusement

^{un tel}

probleme,

^{nous avons cherch6}

a

exprimer

^de

façon simple

^1’effet

global

^d’un

champ

de

couplage

^{6H sur une}

paroi.

^Une

paroi

isolee donne dans les

champs

^{faibles une} aimantation du type J ⁼ aH +

bH2.

Si elle est soumise de

plus

^{a un}

champ

^{6H non}

uniforme,

^nous

repr6senterons

^1’aiman-

tation _{par la} loi

Les valeurs _moyennes des

premiers

^et seconds ordres ainsi introduites sont a

prendre

^{sur toute la}

longueur

de la

paroi.

Elles visent a

representer

de maniere

ph6nom6nologique simple

1’effet des

couplages magn6- tostatiques

^{sur les termes} r6versibles et irr6versibles.

Nous ne

pr6ciserons

pas pour l’instant la

facon

^dont

on

peut

^{calculer ces} moyennes

spatiales.

Nous supposerons de

plus

que les deux

parois

contribuent

egalement

^a 1’aimantation et que les

champs

^de

couplage

que chacune d’elles exerce sur

1’aimantation sont

sym6triques

^en

premiere approxi-

mation. Cela est evidemment faux en toute

rigueur puisque

^{les deux}

parois

a 180° n’ont pas ^exactement la meme

longueur

du fait de la forme de l’echantillon.

L’erreur ainsi introduite sera d’autant moins _grave que les

parois

^seront

plus longues.

^Les resultats du tableau III ont d’ailleurs ete choisis

d’apres

^{ce critere}

parmi

de nombreux essais.

Le

champ

^H 6tant uniforme

(2),

^les

quantités H >

et H2 >

^sont

respectivement egales

^{a H et}

^H2.

L’aimantation due a une

paroi

^{s’ecrit :}

Compte

^{tenu de}

I’hyp6th6se

^de

proportiontlalite

entre 6H et

J,

^nous d6finirons deux constantes sans

dimensions A et J1 par les relations

J est alors solution de

1’equation

^{du second}

degr6

(2) ^{Tout au moins sur la} plus grande partie ^{de la} paroi. ^Des inhomog6n6it6s apparaissent certainement dans les angles ^du cadre, mais ces regions contribuent tres peu ^au mecanisme d’aimantation par courbure.

qui

^admet

toujours

^{des racines reelles}

lorsque

^le

champ

^{H est} suffisamment faible. La solution

qui

s’annule

pour H

^{= 0 est :}

En

d6veloppant

^cette

expression

suivant les

puis-

sances de

H jusqu’au

^{2e ordre on trouve :}

Les deux

parois

^{se courbant}

simultan6ment,

^1’echan-

tillon suit dans les

champs

^{faibles une loi de}

Rayleigh

dont les coefficients valent

respectivement :

Dans tout ce calcul nous avons

suppose

^{que les deux}

parois

^en

presence

^se comportent ^de

fagon parfaite-

ment

symetrique. L’apparition

d’une eventuelle

dissy-

m6trie conduit a des

phenomenes

int6ressants _que

nous avons

analyses

dans la reference

[1]

^et

qui

^feront

1’objet

^d’une

publication

ulterieure.

4. 5 EXAMEN

NUMTRIQUE

DES VALEURS EXPTRIMEN-

TALES DE a’ ET b’.

- A ^partir

des resultats du tableau

III,

nous avons

deduit a

de a’

grace

^a

1’expres-

sion

a’ - 2 a .

^{Nous avons} ensuite recalcule la 1 ^-

valeur

th6orique

^{de b’} que nous avons

compar6e

^{a sa}

valeur

experimentale.

^Ne connaissant _pas le _para-

mètre /1,

^{nous avons fait}

provisoirement 1’approxi- mation p

⁼

^{À 2} qui

^serait

rigoureuse

^{si le}

champ

^de

couplage

etait uniforme. On verra

plus

loin comment

on peut

preciser

^ce

point moyennant

^une

hypothese complementaire.

Le tableau V

indique

les valeurs de A ainsi obtenues et compare les rapports

b’12 b

^{mesures et calcules.}

TABLEAU V

935

Compte

^{tenu de la}

simplicite

du modele et des

approximations introduites,

^I’accord

numerique

^entre

les deux derni6res

lignes

^{est assez} surprenant. ^Nous pouvons maintenant calculer la valeur _moyenne

ðH > qui represente

^I’action

int6gr6e

^{du .}

champ

^de

couplage

^{sur une}

paroi.

^En supposant ^{que H =}

0,1

^m0153

et en reprenant ^les sept colonnes du tableau

V,

^on

trouve :

On voit donc _que des

couplages

^tres

importants

^entre

parois

^{de Bloch} peuvent

apparaitre

^{dans les}

champs

faibles.

Signalons

que le coefficient du terme en H3 dans le

developpement

^{de J en} fonction des

puissances

^{de H}

a le

signe

de A. L’aimantation totale a tendance à croitre

plus

^{ou moins}

rapidement qu’une

^{loi de}

Rayleigh

^selon que les mecanismes de courbure des deux

parois

^{s’aident ou se}

g8nent

mutuellement. Cet effet est vraisemblablement a

l’origine

de l’inversion de concavite observee sur les courbes

(b)

^et

(c)

^{de la}

figure

^3.

Nous avons

négligé jusqu’à present

^les

deplacements

des

points d’ancrage

^{A et B. En}

fait, lorsque

^{le cou-}

plage

^entre

parois

^{est fortement}

negatif,

^le

champ

^6H

peut compenser la

plus grande partie

^du

champ magn6tisant

^{et le}

deplacement

des extr6mit6s peut ^alors devenir bien

plus important

que dans le cas d’une

paroi

isolee. Nous

interpr6tons

ainsi les accidents bien visibles sur les courbes

(b)

^et

(c) (Fig. 3).

On remarque

egalement

que 1’6cart relatif entre les valeurs calculees et

experimentales

^du

rapport b’/2 b parait

croitre pour les valeurs les

plus negatives

^{de Z.}

De

plus,

^toutes les valeurs

theoriques

^{sauf une sont}

superieures

^aux valeurs mesurees. Or le

deplacement

des extremites

correspond

^{a un mecanisme d’aiman-}

tation

plus

^difficile que le

deplacement

^{de la}

paroi

proprement

dite,

^{et se} caracterise donc _par un rap- port

bla plus petit [10, 12].

^{Comme on} observe simul- tan6ment ces deux processus, ^on sous-estime b’ _par rapport ^{a a’}

lorsqu’on

^{attribue ces} coefficients au seul mecanisme de courbure. L’ecart

syst6matique

^entre

les deux dernieres

lignes

du tableau V

parait

^donc

logique.

4.6 CALCUL DU CHAMP CREE PAR UNE PAROI

COURBÉE. ^- Nous supposerons pour

simplifier

que la forme

parabolique

^{de la}

paroi

^{courbee se conserve}

lorsqu’un champ

^de

couplage inhomogene

^se super-

FIG. 8. ^- Notations employees ^{dans le calcul du} champ ^d’interac-

tion.

pose ^au

champ applique.

^{On a vu} que la densite de

masses

magn6tiques

^{vaut dans ce cas :}

On peut donc calculer le

champ

^de

couplage

^{en tout}

point

^de

1’espace

par ^une

integration

^{sur cette densite}

de surface.

Compte

^tenu de la faiblesse des d6forma- tions d’une

paroi (moins

^{de 10}

p)

^on peut ^considerer celle-ci comme une surface

pratiquement plane portant

une densite

qui

^{est une} fonction lin6aire de l’abscisse.

La

figure

⁸

indique

^la

g6om6trie

^du

probleme.

^Le

champ,de couplage

^{au niveau de la}

paroi A’, B’, C’,

^D’

est du a la

paroi

^ABCD

qui

lui fait face mais

egalement

aux

parois

^{situ6es dans les autres} cotes du cadre.

En

fait,

seuls les elements de surface de ces dernieres

qui

^{ne sont} pas trop

eloignes

^{de AD et} de BC donne- ront des contributions non

n6gligeables.

On

exprime

facilement

6(x)

^en fonction de J si

on remarque que le

deplacement

^du

plan

moyen

equivalent

^{a la}

paroi

^{courb6e est}

2/3 Zo

^et

qu’un deplacement

^{de 21}

(largeur

^du

cadre) correspond

^à

une variation d’aimantation de 2 Js :

Rappelons egalement

que la seule composante ^int6-

ressante du

champ

^de

couplage

^{est celle}

parallele

a 0’ x’. Un element de surface dS cr6ant a la distance r un

champ

_p ^dH

= a dS ,

^on

^exprime

facilement 6H

r2

^p

comme la somme de deux termes :

Nous avons calcul6

num6riquement

^ces

int6grales

^dans

les conditions suivantes : 2 1 ⁼ 3 _{mm ;} 2 e ⁼

0,39

mm ; 2

L1

^{= 12} mm; 2

L2

^{= 7 mm}

(paroi

^{situ6e au milieu}

du

cadre); p*

^{= 40. Nous avons v6rifi6} que la valeur exacte de la borne inferieure

d’int6gration

^{sur z n’a}

pas

d’importance

^et que

6Hi

^et

6H2 dependent

^tres

peu de

y’.

^La

figure

⁹

indique

les variations de

6H(x’, 0) en

fonction de la variable reduite

x’ l L’

avec d comme

parametre.

^{On constate} que le

champ

de

couplage

^est

n6gatif

^{dans toute la}

region

^centrale

de la

paroi

^et

positif sur

les extr6mit6s.

FIG. 9. ^- Variation spatiale ^du champ d’interaction _pour diff6- rentes valeurs de la distance entre parois ^d.

, 4.7 CALCUL DES QUANTITfS lu ^ET u. ^-

Jusqu’à . present

nous avons considéré À et It ^{comme des} para- m6tres

phenomenologiques

que

1’experience

permet d’estimer. Pour aller

plus loin,

^il faut maintenant d6finir un mode de calcul des _moyennes

spatiales

^du

champ

^de

couplage ðH > et ^6H’ >.

^{Pour traiter}

rigoureusement

l’interaction il faudrait savoir d6crire le comportement ^d’une

paroi

consideree comme une

membrane deformable en introduisant son

energie superficielle, 1’energie

^{de la}

repartition

^{de masses}

magn6tiques, 1’energie

^{des moments dans un}

champ inhomogene

^et les diverses interactions avec les defauts du reseau. Nous avons fait une nouvelle

hypothese simplificatrice

^en supposant que

chaque

^{morceau de}

paroi

^{suit une loi de}

Rayleigh

^{dans le}

champ

^local

auquel

^{il est soumis. Nous avons de}

plus

^{donne la}

meme

pond6ration

^{a tous} les elements de

paroi

^{en leur}

attribuant les constantes a et b determinees

experi-

mentalement sur une

paroi complete.

A et p

qui

valent par

d6finition a -

se deduisent alors sans difficultes des variations _spa-

ð H (x’)

tiales de

6H(x’)

^{par deux}

inte g rations numenques.

Les

figures

^{10 et 11}

repr6sentent respectivement

^les

variations de A et p ^en fonction de la distance d

qui s6pare

^les

parois.

^Le

point

interessant est

que A

FIG. 10. ^- Variation de la quantite ^{A en fonction de d.}

FIG. 11. ^- Variation de la quantit6 p ^en fonction de d.