Modélisation multi-échelle des transferts en milieux fracturés : application au site de Äspö (Suède)

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fracturés : application au site de Äspö (Suède)

Andre Fourno

To cite this version:

pour l'obtention du grade de

Do teur de l'université de Poitiers

(Fa ulté des s ien es Fondamentales etAppliquées)

(DiplmeNational -Arrêté du 25avril2002)

************** **

E ole do torale : Ingénierie Chimique Biologique et Géologique

Se teur de re her he : Terres solides et enveloppe super iell e

************** **

Présentée par : André FOURNO

Modélisation multi-é helle des transferts

en milieux fra turés :

appli ation au site de Äspö (Suède)

Soutenue le 3 juin 2005 devant la Commission d'Examen

Jury :

M. Quintard Institut Mé anique des Fluides de Toulouse Président et rapporteur

P. A kerer Institut Mé anique des Fluides de Strasbourg Rapporteur

F. Delay Université de Poitiers Dire teur de thèse

C. Grenier Commissariat à l'Energie Atomique Co-dire teur de thèse

B. Noetinger Institut Français du Pétrole

H. Benabderrahmane Agen e Nationnal pour la gestion des Dé hets RAdioa tifs

Invités :

E. Mou he Commissariat à l'Energie Atomique

pour l'obtention du grade de

Do teur de l'université de Poitiers

(Fa ulté des s ien es Fondamentales etAppliquées)

(DiplmeNational -Arrêté du 25avril2002)

************** **

E ole do torale : Ingénierie Chimique Biologique et Géologique

Se teur de re her he : Terres solides et enveloppe super iell e

************** **

Présentée par : André FOURNO

Modélisation multi-é helle des transferts

en milieux fra turés :

appli ation au site de Äspö (Suède)

Soutenue le 3 juin 2005 devant la Commission d'Examen

Jury :

M. Quintard Institut Mé anique des Fluides de Toulouse Président et rapporteur

P. A kerer Institut Mé anique des Fluides de Strasbourg Rapporteur

F. Delay Université de Poitiers Dire teur de thèse

C. Grenier Commissariat à l'Energie Atomique Co-dire teur de thèse

B. Noetinger Institut Français du Pétrole

H. Benabderrahmane Agen e Nationnal pour la gestion des Dé hets RAdioa tifs

Invités :

E. Mou he Commissariat à l'Energie Atomique

Cettethèsen'auraitpasvulejoursansl'Agen eNationalepourlagestiondesDé hets

RAdioa tifs(ANDRA) etleCommissariatàl'EnergieAtomique(CEA) de Sa lay.Aussi,

je tiensà remer ier es organismes pour leurs a ueils,pour lesnan ementsdontj'ai pu

béné ier et pour les nombreuses onféren es auxquelles j'ai eu la han e de parti iper

et surtout pour la onan e qu'ils m'ont témoignée en me onant e sujet de thèse. Je

tiensparti ulièrementàremer ier,lelaboratoiredeModélisationdesTransfertsenMilieux

Solides(MTMS)quim'aa ueillidurant estroisdernièresannéesainsiquelelaboratoire

d'étude desTransferts etde Mé aniquesdes Fluides(LTMF),dontlaproximitéaété très

enri hissante.

En parti ulier, je tiens à remer ier Monsieur Emmanuel Mou he pour m'avoir oné

e sujet de thèse, Monsieur Hakim Benabderrahmane pour ses onseils, son soutien et

sa gentillesse, mon dire teur de thèse Monsieur Frédéri Delay pour avoir a epté de

diriger ette thèse et dont les onseils et le soutien ont grandement fa ilité mon travail

et enn, Messieurs Philippe A kerer et Mi hel Quintard pour avoir a epté d'être les

rapporteurs de ette thèse. Ces remer iements s'adresse nt aussi plus parti ulièrement à

mon odire teur de thèse Monsieur Christophe Grenier dont l'enthousiasme, les onseils

etl'ouvertured'espritont onduitàl'aboutissementde etravailtoutenm'apportantune

visioninattendue du her heur shaolin hez qui s ien es, philosophie et art ohabitent.

A son onta t, je pense avoirtiré un enseignementdont je luiserai toujours redevable.

Cha une des réunionsee tuées ave es derniersa ontribué,de manièreimportante,

àl'avan ement de montravailtout en m'insuant l'énergiené essaire àsapoursuite.Un

grandmer iaussiàMonsieurGillesBernard-Mi helquiaétéimpliquédansmathèselors

des dernières étapes.

Pourm'avoira epté àleur oté, jetiens aussiàremer ier l'ensemble des membres de

laTASKFORCEde Äspö.Aleur onta t,j'aiénormémentapprissur letravailen équipe

ave des ollaborationsinternationales, sur lesdi ultésliées auxétudes expérimentales.

L'é oledo toraleGRNdeParisVIetsesthèsardsméritentaussidesremer iements.Grâ e

à euxj'ai pu m'initier auxgéos ien es et ee tuerdeux stages de terraintrès instru tifs.

Durantlestroismoisd'isolementfor é onsé utifsàlande mon ontrat,jene

remer- ieraijamaisassezMessieursAlainCartalade,AlexandreBleyeretdenouveauChristophe

pourl'intérêtqu'ilstémoignaientàmontravail,leursen ouragements,leurbonnehumeur,

leurs oups de téléphone et visitequi rompaientainsi es durs joursde solitude.

Ces trois années de thèse m'auraient sans doute paru beau oup plus longues sans la

présen e de stagiaireset thèsards qui se sontsu édées dans mon bureau. Aussi, mer i à

Caro, Sophie, Céline et Nina pour leur gentillesse et bonne humeur. Ces remer iements

s'adresse nt aussi auxautres thèsards et postdo s du laboratoire Ni o,Thibault, Karima,

Nathalie, Elise dont le onta t a été très enri hissant et agréable. Un grand mer i à

l'ensemble de mes amis de ly ée, de promo, et sportifsen tout genre ... Leremer iement

nal ira bien entendu à papa, maman et à la soeurette à qui mon travail doit aussi

Dans le adre des travaux de re her he et de développement des laboratoires

souter-rainsdédiésàlaproblématiquedu sto kage desdé hets radioa tifsen milieuxgéologiques

profonds, l'étude des transferts dans les milieux fra turés né essite des outils de

modé-lisation performants. Ces outils permettent d'analyser la phénoménologie du transport

et de la rétention des radionu léides à l'é helle des expérimentations et de ontribuer à

la onstru tion des modèles on eptuels de sûreté du sto kage sur plusieurs entaines de

milliers d'années.

La omplexité géométrique a onduit à la mise au point de deux prin ipauxtypes

d'ap-pro hes pour modéliser l'é oulementetle transport. Une première famille onnue sous le

nom d'appro hes dis rètes limite la résolution des transferts aux réseaux de fra tures.

Dansle adre de es appro hes, diérentsoutils de générationdu maillageontété misau

point (maillage des fra tures déterministes et/ou maillages sto hastiques de fra tures de

diérentesé helles).Unese onde lasse,appartenantàlafamilledesappro hes ontinues,

s'appuie sur la notion de volume élémentaire représentatif (VER) et repose sur des

pro- essus d'homogénéisation pouvant omporter diérents ontinua. L'in onvénient de es

appro hes est que, pour les appro hes dis rètes, la modélisation de la diusion

matri- ielle onduit à des oûts informatiques élevés tandis que, pour les appro hes ontinues,

lagéométriedesfra turesn'estpaspriseen ompte.Ainsi,des appro hes hybridesontété

misesaupoint.Lesappro heshybrides ombinentlareprésentationen diérents ontinua

des fra turesse ondairesave unereprésentationdis rète des prin ipalesfra tures.

Néan-moins, bien qu'étant e a es pour la résolution de l'é oulement, les appro hes hybrides

n'ontpas été étendues à larésolution du transport.

L'appro he Smeared fra tures,objet de e travail,appartientà ettedernière lasse

d'ap-pro hes. Elle onsiste à représente r les ara téristiques du milieu fra turé par un hamp

ontinu hétérogène sur un maillage régulier. Les fra tures prin ipales sont dire tement

prisesen omptegrâ eàl'ae tationde propriétés orrigées auxmailleslesreprésentant;

lesautres maillespouvant fairel'objet de diérents pro essusd'homogénéisationprenant

en ompte les fra tures de moindre importan e ou représentant uniquement le blo sain

aussi appelématri e.

Notre appro he Smeared Fra tures se distingue des autres appro hes Smeared Fra tures,

utilisées par diérents auteurs, par l'obtention d'un ux exa t lors de la résolution de

l'é oulement dans une fra ture unique. La modélisation du transport, non abordée

jus-qu'àprésentpour e typed'appro he, estee tuéede manière ontinuedans lesfra tures

ainsi que dans lesblo s de ro hes saines.

La génération du maillage ainsi que l'implémentation des propriétés asso iées ont été

mises en oeuvre pour le problème de l'é oulement et du transport eulérien dans un

ré-seau de fra tures. La quali ation et la validation de l'appro he Smeared Fra tures ont

été ee tuées par la omparaison des résultats ave des al uls de référen e utilisant un

maillagedédié àlagéométrie du milieu. Letravail aété ee tué dans CAST3M ( ode de

al ul développé au CEA) pour un s héma de résolution des équations en éléments nis

mixtes hybrides. L'appro he a été testée sur diérentes géométries, (2D et 3D), allant

de la géométrie simple d'une fra ture unique au problème plus omplexe appliqué à un

réseau de fra tures et pour diérents jeux de propriétés. Ayant donné de bons résultats

en termesde pré isiondes al uls,fa ilitédegénération dumaillageet e pour destemps

de al ul inférieurs,l'appro he Smeared Fra ture onstitue un nouveloutil intéressant de

modélisationdes transfertsen milieuxfra turésàl'é helled'un blo ,partiellement

homo-généisé, ne possédant qu'un nombre limitéde fra tures.

A partir des diérents tests de validation, les domaines d'appli ation de l'appro he ont

pu être misen éviden e. L'utilisationoptimalede l'appro he orrespond, d'une part, aux

simulationsde l'é oulementetdu transportave unediusionmatri iellene jouantau un

rle, (les transferts sont modélisés uniquement dans les fra tures) et, d'autre part, pour

des simulationspour lesquellesladiusiondans leszonesmatri iellesest importanteetse

traduitparuneforteprofondeur depénétrationde lamatièredanslamatri eetunretard

dans les temps de sortie de la matière (simulation au temps longs). Ce se ond domaine

d'appli ation orrespond aux onditions des études de la faisabilitéd'un site de sto kage

de dé hets nu léaires en profondeur. Cette appro he répond don aux besoins formulés

parl'Agen eNationalepourlagestiondesDé hetsRAdioa tif(ANDRA)et onstitueune

nouvelle alternative de modélisation pour les études phénoménologiques et d'évaluation

de performan e menées dansle laboratoiresouterrain de Äspö.Diérentes appli ationsà

e site granitiquesuédois seront présentées.

La prise en ompte d'une faiblediusion dans lamatri e, aumoyen d'un traitement par

double porosité, ainsi que le traitement des in ertitudes des propriétés physiques du

mi-lieu pourront faire l'objet de perspe tives intéressantes à la suite de e travail. De plus,

la problématique du sto kage géologique profond ne onstitue pas le seul domaine

d'ap-pli ationde ette appro he. D'autres problématiques sontsus ep tibles d'utiliser et outil

1 Introdu tion 9

1.1 Problématiquedu sto kage de dé hets radioa tifs etaspe t multi-é helle. . 10

1.2 Milieu géologiqueétudié . . . 11

1.2.1 Lesmilieuxfra turés : dénition etpro essus de formation . . . 11

1.2.2 Phénomènes physiques . . . 16

1.2.3 Etudepédagogique d'unefra ture1D:inuen ede ladiusion ma-tri ielle. . . 17

1.2.4 Apports et ontraintes liésà l'utilisationd'un maillagerégulier. . . 22

1.3 Lesdiérentes appro hes de modélisation etl'appro he Smeared Fra tures 27 1.3.1 Solutionsanalytiques . . . 28

1.3.2 Modèles dis rets. . . 30

1.3.3 Modèles ontinus . . . 32

1.3.4 Modèles hybrides . . . 33

2 L'appro he Smeared Fra tures : développements théoriques et implé-mentation 37 2.1 Prin ipes de base de l'appro he Smeared Fra tures . . . 39

2.2 Smeared Fra tures pour le2D . . . 40

2.2.1 Maillage asso ié àl'appro he Smeared Fra tures . . . 40

2.2.2 FormulationEFMH etappli ations . . . 41

2.2.3 Appro heSmeared Fra turespourl'é oulement:perméabilité équi-valente . . . 44

2.2.4 Appro he Smeared Fra tures pour le transport eulérien . . . 46

2.2.6 Bilande l'appro he 2D . . . 49

2.2.7 Cohéren e du temps de sortie en onve tion pure . . . 50

2.2.8 Perspe tive : modélisation des hétérogénéités ausein d'unefra ture 54 2.2.9 Implémentation, travailinformatique dans CAST3M . . . 55

2.3 Smeared Fra tures pour le3D . . . 56

2.3.1 Maillage asso ié àl'appro he Smeared Fra tures . . . 56

2.3.2 Propriétés équivalentes : s alairesou tensorielles? . . . 59

2.3.3 FormulationEFMH etappli ations . . . 61

2.3.4 Appro heSmeared Fra turespourl'é oulement:perméabilité équi-valente . . . 70

2.3.5 Appro he Smeared Fra tures pour le transport eulérien . . . 76

2.3.6 Orientationdes tenseurs équivalents . . . 81

2.3.7 Critères de monotonie . . . 81

2.3.8 Bilande l'appro he 3D . . . 83

2.3.9 Cohéren e du temps de sortie en onve tion pure . . . 85

2.3.10 Implémentation, travailinformatique dans CAST3M . . . 85

3 Quali ation et Validation de l'appro he Smeared Fra tures 89 3.1 Stratégie pour la quali ation etla validationde l'appro he. . . 89

3.2 Génération du maillagedédié 2D . . . 90

3.3 Quali ationet validation: appro he 2D . . . 92

3.3.1 Inuen e de l'in linaison :fra ture unique 2D . . . 92

3.3.2 Transport : inuen e des phénomènes modélisés . . . 93

3.3.3 Synthèse sur la validationde l'appro he Smeared Fra ture2D . . . 123

3.4 Quali ationet validation: appro he 3D . . . 124

3.4.1 Fra tureunique 3D . . . 124

3.4.2 E oulement . . . 124

3.4.3 Transport . . . 127

4 Appli ation au site expérimental de Äspö 139

4.1 Présentation du site de Äspö . . . 139

4.2 Tâ he 6 . . . 141

4.3 Etude d'un réseau2D de fra tures . . . 143

4.4 Modélisation3D : Tâ he 6D (test de traçage) . . . 160

4.5 Modélisation3D : Tâ he 6E . . . 165

4.5.1 Sensibilitéaunombre de fra tures . . . 166

4.5.2 Modélisationdu transport . . . 168

5 Con lusions 175

Introdu tion

L'exploitation de l'énergie nu léaire, que e soitdans ses appli ations ivilesou

mili-taires, onduitàs'interrogersurdiérentesproblématiques. Parmi elles- i, ertaines sont

liées àlagestionde l'avaldu y le ommelesproblèmesd'entreposageetde sto kage des

dé hets faiblement oufortementradioa tifs ouà latransmutation de es dé hets.

L'étudedu sto kagegéologiqueprofond desdé hets aété onéeà l'Agen eNationale

pour la gestion des Dé hets RAdioa tifs(ANDRA) ave l'obje tif de fournir tous les

élé-ments permettant de dé ider en 2006 la réation éventuelle d'un entre de sto kage en

formationgéologiqueprofonde(deuxmilieuxsonten oursd'étude:l'argileoulegranite).

Les on epts de sto kage reposent sur un prin ipe de barrières multiples omprenant le

olis de dé hets (le dé het et le matériau qui le stabilise dans un emballage adéquat),

la barrièreouvragée qui est interposée entre le olis de dé hets et la ro he, et la barrière

géologiquequiestlaro heelle-même.Les ara téristiquesdessites(barrièresgéologiques)

sont étudiées, en premier lieu, à partir de la surfa e puis, dans un se ond temps, in situ

en laboratoires de re her he souterrains. Ainsi, l'ANDRA parti ipe a tivement au

pro-gramme de ara térisation géologique, hydrogéologique et hydrogéo himique du granite

et de sa fra turation mené sur des sites expérimentaux étrangers, parmi lesquels le site

granitique de Äspö en Suède ([1℄). L'extrapolation dans le temps et l'espa e de ette

ara térisation est d'abord appro hée par la modélisation d'expérien e s puis par des

si-mulationsdu omportement des milieuxetdes phénomènes sur une période de temps de

sûretédeplusieurs entainesdemilliersd'années.Dans emilieu,lesfra tures onstituent

leszonesprivilégiéesdetransfertsderadio-éléments.La ompréhensionetlamodélisation

des phénomènes physiques et himiques agissant dans e milieu représente nt, don , une

étape lef dans la onstru tion des modèles de al ul de sûreté. Les études menées sur

es sites sont ee tuées pour deux types de onditions d'é oulement. Un premier type

orrespond àdes étudessur lestemps ourts(quelquesmois), 'est-à-direpour des

ondi-tions d'é oulements perturbés (test de traçage, onditions expérimentales). Un se ond

typed'études apour objet de prédirelestransferts de radio-éléments aprèsfermeture du

site de sto kage ( onditions naturelles).Pour es études prédi tives, les é oulements sont

lents ets'ee tue nt sur des temps longs (quelques millénaires). Suivant les onditions de

Ave pourobje tifledéveloppementd'unmodèledesimulationdesphénomènesauxtemps

longs, une appro he Smeared Fra tures a été développée etimplémentée dans le ode de

al ul, CAST3M,du CEA, [BET ANDRA 2002℄.

L'originalitéde etyped'appro heestdesesoustraireaumaillagenonstru turédumilieu

fra turé,étapené essitantdegrosmoyensinformatiques,entravaillantsurunmaillage

ré-gulier.Le hoixde représente r lemilieu fra turéparun maillagerégulierné essited'avoir

hoisi l'é helle de travail et de fournir les propriétés asso iées pour modéliser lemilieu à

ette é helle. La résolution des transferts est ee tuée de manière ontinue par une

ré-solution en éléments nis mixtes hybrides mais né essite, préalablement, de déterminer

des propriétéséquivalentesàasso ierauxfra tures,ande tenir omptede leur

représen-tation géométrique. Notre appro he se distingue des autres appro hes de type Smeared

Fra tures par une détermination de propriétés équivalentes assurant la onservation des

ux pour des problèmes 2D. Pour les problèmes 3D, la onservation des ux est assurée

pour deux dire tions prin ipales, minimisant ainsi l'erreur ommise pour des dire tions

quel onques toujours dé omposablessuivant es deux dire tions prin ipales. L'apport de

notre appro he réside, aussi, dans son extension à la résolution du transport, jusqu'à

présent non abordée par les autresappro hes Smeared Fra tures.

Testée sur diérentes géométries, pour diérentes ongurations d'é oulement et de

transport, ette appro he Smeared Fra tures se révèletrès prometteuse par sa fa ilité de

mise en oeuvre et des gains de temps de al ul obtenus. Elle ouvre des perspe tives de

tests de sensibilité aux nombres de fra tures, aux paramètres physiques. Son extension

aux problèmes de modélisation de l'adsorption, à la prise en ompte de l'hétérogénéité

peut être omplétée par la mise au point, pour le transport, d'une version en volumes

nis (évitant les problèmes de on entrations négatives liés aux EFMH dûs non respe t

du prin ipe du maximum liés), par une utilisation dans le adre de simulation de type

Monte Carlo(an de tenir ompted'in ertitudes géométriques ou physiquesdu milieu).

Néanmoins, ommetouteslesappro hes,unebonneétudedestransfertsenmilieux

na-turelspasse par unebonne onnaissan edes problèmesliésàlamodélisationetaumilieu

naturellui-même.Ainsi,avantd'aborderlamiseaupointde etteappro he,savalidation

etlesdiérentes appli ationsee tuées,laproblématiquedu sto kage de dé hets

radioa -tifs, lesmilieuxfra turés, lesphénomènes physiques ren ontrés et leurs onséquen es sur

la modélisationdes milieux naturelsvont être présentés.

1.1 Problématique du sto kage de dé hets radioa tifs

et aspe t multi-é helle

Les études liées au sto kage de dé hets radioa tifs présentent ertaines spé i ités et

obje tifsdontilfaudra tenir ompte.Il est ainsi possible,parmi eux- i,de distinguer un

double aspe t :

Unsitede sto kage dedé hetsradioa tifss'étend surplusieurs kilomètres.Suivant,

que l'ensemble du site ou une portion de e site est étudié, diérentes é helles de

fra turation vont pouvoir être ara térisées. Ainsi, deux é helles sont

parti ulière-ment étudiées :

⇒

Le hamp pro he qui orrespond à l'é helle d'un blo fra turé in luant quelques fra tures.

⇒

Le hamplointainpourlequel leréseauetlesblo smatri ielsinterviennent. L'aspe t multi-é helle de la géométrie modélisée pour es études onstitue, don ,

une spé i itéimportantedes études de sto kage de dé hets radioa tifs.

⋆

Aspe t temporel :Performan e Assessment (PA) time

L'aspe t temporel onstitue une se onde spé i itéimportantedes études de

sto- kage de dé hets radioa tifs.Deux é helles de temps sont onsidérées :

⇒

E helle expérimentale (quelques mois àquelques années).

Les expérien es ne peuvent pas être ee tuées en onditions naturelles ar

leurdurée seraittrop importante. Ainsi,ellesontee tuées pour des

ondi-tions d'é oulements for és limitant leur durée de quelques mois à quelques

années.

⇒

E helle de sûreté (quelques entaines àquelques millionsd'années).

En onditions naturelles d'é oulement, lesé helles de temps sont beau oup

plusimportantesquel'é helleexpérimentale.Laduréedes simulationspeut

aller jusqu'à des millions d'années et onstitue une deuxième é helle de

temps.

Que e soitparl'importan e des dimensionsspatialesoutemporelles,un telproblème

vané essiter des ressour esinformatiques importantes.Aussi, des hypothèses vontdevoir

être formulées, puis justiées, an de rendreabordableune modélisationen ondition de

fermeture de site. Ces hypothèses vont onduire à l'élaboration d'un modèle simplié, le

modèle PA, àpartir duquel seront ee tuées les études prédi tives. Outre les hypothèses

simpli atri essurlesquellesilestbasé,lemodèlePAseraaussi ara tériséparlesdonnées

qu'il faudra lui fournir. C'est dans e ontexte que l'appro he Smeared Fra tures, objet

de e travail,a été mise au point.

1.2 Milieu géologique étudié

1.2.1 Les milieux fra turés : dénition et pro essus de formation

Intéressons nous tout d'abord à e qu'est une fra ture. Les fra tures résultent de

Fig. 1.1 (a) La fra ture et son front de propagation (b) les trois modes fondamentaux

joints (mode I) and faults (mode II ouIII) tirés de [Pollard et Aydin 1988℄.

ou surfa es. D'une manière générale, leterme 'fra ture' désigne tous les types de

dis on-tinuité dansune ro he. Deux grandes lassesde fra tures, dépendant du typede

dépla e-mentdes fa esde lafra ture, peuvent être distinguées [2℄ :

•

(i)fra turesdilatées(joints).Lesdeuxsurfa esdelafra tureontunmouvement op-posél'une del'autre.Ladire tion du mouvementest perpendi ulaireauxsurfa es.

Ce type de fra ture est aussi appelé fra ture de mode I [Law etWilshaw1975℄

(mode opening, g. 1.1).

•

(ii)fra turesde isaillement(faults).Lessurfa esde lafra tureontunmouvement parallèlel'une par rapport à l'autre.Sile mouvement est perpendi ulaire aufront

de propagation de la fra ture, la fra ture est dite de mode II, s'il est parallèle de

mode III (mode 2,3 shearing, g. 1.1).

Néanmoins, es fra tures peuvent, aussi, être fermées. Celles- i sont en ore appelées

anti rakset orrespondentàdesfra turesdansdesro hessédimentaires,dontlessurfa es

sont soudées.

Diérents mé anismes peuvent être à l'origine de la formation des fra tures [2℄, et

peuvent être lassés en deux atégories :

•

la variation du poids de ou hes provoquée par des soulèvements ou de l'érosion(lithostatique).

•

des pressions dues à un uide.

•

des mouvements te toniques.

•

des pro essus géologiques ( a tivité vol anique, séismes ...).

•

un impa td'objetsextraterrestres.

⇒

les mé anismes thermiques.

Ces phénomènes peuvent s'étendre sur des temps extrêmements longs, se ombiner,

pourgénérerun milieufra turé omplexe.D'autrepart,lemilieuestae tésurdiérentes

é helles. Parexemple, un mouvementte tonique aura un impa t àgrande é helle,tandis

qu'une variation de la température aura un eet plus lo alisé. La géométrie d'un milieu

fra turé va don dépendre de l'é helle onsidérée. La gure 1.2 illustre parfaitement la

variation de la géométrie du milieu fra turé suivant l'é helle à laquelle il est regardé.

Ainsi, à l'é helle de quelques entimètres, le milieu fra turé se réduit à une fra ture

uniqueau onta tave deux typesde zonesmatri ielles(desmatériauxde remplissageou

gouge et du granite altéré).A l'é helle de quelques mètres, lagéométrie est totalement

diérente et beau oup plus omplexe. Le réseau de fra tures est formé, à ette é helle,

d'unefra turationdefonda ompagnéed'unezonedefra turationplusimportante.Enn

pour une é helle de quelques entaines de mètres, le réseau est omposé de stru tures

fortementperméablesde onne tivitédiérentede elleren ontréeauxé hellesinférieures.

Ainsi, suivant les diérents types de fra tures et leurs mé anismes de formation, des

matériaux de ara téristiques physiques diérentes sont observés à leur voisinage, gure

1.3.

[Winberg etal. 2000℄ proposent une représentation on eptuelle d'une fra ture

(fra tureA)pourlesite de Äspö,gure1.3. A partirde ettereprésentation,on onstate

qu'une fra ture peut être onstituée de diérents henaux onne tés, que son ouverture

est variabledans l'espa e etqu'ellepossède deszones stagnantes. Elleest en onta t ave

diérents matériaux omme la ata lasite, la mylonite ou des matériaux de remplissage.

La ro he peut, quant à elle, être dé omposée en deux zones, la ro he altérée et la

ro he non altérée, gure 1.3. An d'illustrer l'hétérogénéité de es matériaux, il est

intéressant de seréférer aux travaux de [Mazurek etal. 2003℄et [Dershowitz etal.2003℄,

dans le adre des études menées sur le site granitique de Äspö en Suède. Ainsi à Äspö,

les fra tures dilatées ou dia lases sont entourées dire tement par une zone altérée de

ro he, tandis que les fra tures de isaillement sont au onta t de diérents matériaux

omme la mylonite, la ata lasite ou des matériaux de remplissage (fault gouges),

[Mazurek et al.2003℄.Les propriétés de es matériaux diérent, [Dershowitz etal.2003℄,

et le milieu fra turé n'est pas ex lusivement onstitué d'un type de fra tures mais de

ombinaisons dont les plus lassiques sont les fra tures dilatées isaillées (faulted joints)

Fig. 1.2  Série de modèles on eptuels montrant la géométrie de fra tures à diérentes

(a)A l'é hellede5mm:TrueBlo kS ale

(b)Al'é hellede1mm :FeatureA

Fig.1.4Formationdefra turesdilatées isaillées.(a)et( )fra turesdilatéesoriginales,

(b) et (d) fra tures dilatées isaillées d'aprés[Pollard et Aydin 1988℄.

Un milieu fra turé est don un milieu très hétérogène : diérents types de fra tures,

diérents matériaux omposent la matri e. Il possède, de plus, une géométrie omplexe

ave diérentes é helles de fra turation. L'identi ation des propriétés est di ile voire

impossible et des in ertitudes existent que e soit sur la géométrie ou sur les propriétés

physiques des diérents matériaux.Ces in ertitudes sont généralement appréhendées par

des méthodes et des pro essus sto hastiques s'appuyant sur la variabilité des données

d'observation sur site.

1.2.2 Phénomènes physiques

Aux ara téristiques hétérogènes et à la omplexité de la géométrie des milieux

fra turés, s'ajoutent des mé anismes de transferts de inétiques très diérentes, faisant

intervenir diérentes dis ipliness ientiques,[De Marsily1981℄.Ces mé anismespeuvent

être lassés en deux atégories :

⋆

Les phénomènes onve tifs etdispersifs.

Ces phénomènes sont aussi les plus rapides. Ils se omposent prin ipalement des

phénomènesde onve tionetde dispersion danslesfra tures ir ulantes( ertaines

fra tures peuvent être olmatées). Le tra eur, sur lequel ils agissent, se propage

rapidementdes fra tures vers l'extérieur.

•

E oulement :

saturé,l'é oulementdu uide peut se ramener à un système de deux

équa-tions [De Marsily1981℄ : l'équation de Dar y dont l'arti le [Brown 2002℄

retra el'historique etl'équation de onservation de masse.La ombinaison

de es deux équationsforme une équation de diusion.

( ~q = − ¯¯

K

_{∗ ~}

gradh

(équationde Dar y)

div(~q) = s

(équationde onservation de masse)

Où

~

q

est la vitesse de Dar y,

K

¯¯

letenseur de perméabilité,

h

la harge et

s

leterme puit-sour e.

•

Transport :

L'équationdu transport est l'équationde onve tion-dispersion suivante :

ω.R.

∂C

∂t

= div(ω. ¯¯

D

∗

_{. ~}

_gradC

_{− C.~q)}

(1.1) ave



















C

la on entration

(kg.m

−3

₎

¯¯

D

∗

le tenseur de dispersion

(m

2

_.s

−1

₎

ω

laporosité

(−)

~

q

lavitesse de Dar y

(m.s

−1

₎

R

le oe ient de retarddû àl'adsorption

(−)

.

⋆

Les phénomènesde rétention.

Aux phénomènesrapides pré édents sontasso iés d'autres plus lents.Ces derniers

tendentàralentirle heminementdelamatière.Parmieux,undesplusinuantest

le phénomène de diusion dans la matri e. Son a tion se traduit par la rétention

d'une partie de la matière, entraînant des temps de sorties beau oup plus longs,

[Neretnieks 1980℄. A e phénomène, s'ajoutent des phénomènes physi o himiques

omme l'adsorption, la pré ipitation, et autres réa tions himiques diverses. Le

problème de transport de olloïdes n'est pas onsidéré.

1.2.3 Etude pédagogique d'une fra ture 1D : inuen e de la

dif-fusion matri ielle

An d'illustrer lesa tionsdu phénomènede diusion, exposons leproblème lassique

du transport dans une fra ture unique (g. 1.5). L'équation générale de transport peut

s'é rire sous deux formes, suivant que le milieu fra turé est onsidéré en globalité ou en

deux ontinua. En onsidérant le milieu dans sa globalité,l'équation de transport s'é rit

lassiquementsous laforme:

ω.R.

∂C

∂t

= div(ω. ¯¯

D

∗

_{. ~}

_gradC

_{− C.~q)}

Fra ture Matri e

ω

ω

f r

ω

m

¯¯

D

∗

D

∗

L

0

0

0

D

∗

T

0

0

0

D

_T

∗

ω

m

∗ d

~

q

~

q

~0

R

R

a

= 1 +

2

_e

K

a

R

d

= 1 +

1−ω

_ω

_m

m

ρ

s

K

d

Tab. 1.1  Expressiondes paramètresde transport pour lafra ture et lamatri e

Suivant que la zone onsidérée sera la fra ture ou la matri e, les indi es

f r

ou

m

seront ae tés aux paramètres de l'équation 1.2, omme indiqué dans le tableau 1.1.

Les expressions des oe ients de retards sont déterminées ave l'hypothèse que la

on entration massique, représentant la masse d'éléments absorbés par unité de masse

solide, est proportionnelle àla on entrationdu milieu (

F

= K

d

.C

),[De Marsily 1981℄.

ave































































C

la on entration

(kg.m

−3

₎

¯¯

D

∗

le tenseur de dispersion

(m

2

_.s

−1

₎

ω

la porosité

(−)

e

l'ouverture

(m)

~

q

la vitesse de Dar y

(m.s

−1

₎

d

le oe ientde diusion matri iellede pore

(m

2

_.s

−1

₎

D

∗

L

= d

f r

p

+ α

L

∗

_ω

q

f r

le oe ient de diusion longitudinale

(m

2

_.s

−1

₎

D

T

∗

= d

f r

p

+ α

T

∗

_ω

q

_{f r}

le oe ient de diusion transverse

(m

2

_.s

−1

₎

α

le oe ient de dispersivité : Ttransverse L longitudinal

(m)

R

le oe ient de retard dû à l'adsorption

(−)

K

a

le oe ient d'adsorptionsurfa ique

(m)

K

d

le oe ient d'adsorptionmatri ielle

(m

3

_.kg

−1

₎

ρ

s

lamasse volumique

kg.m

−3

.

Si le blo fra turé est modélisé par deux ontinua, (matri e et fra ture),un terme de

ouplage,

S

=

2

e

ω

m

d

∂C

m

∂z

|

z=0

,doitêtre rajoutédansl'équationde transport de lafra ture, [Bear etal.1993℄ oùz est la dire tion orthogonale au plan de fra ture. Les équations de

transport deviennent alors :

•

pour lafra ture (suite à l'homogénéisationverti alesur e)

Fig.1.5 Illustration du problème de la fra ture unique.

•

pour lamatri e

R

d

∂C

m

∂t

= d

∂

2

C

m

∂x

2

(1.4)

ave omme ondition à l'interfa e fra ture-matri e

C

m

= C

f

Etude analytique

[Neretnieks 1982℄ propose une solutionanalytique au problème 1.3 et1.4, en réponse

à une inje tion ontinue de on entration

C

0

, en se plaçanten onve tion pure dans une fra ture unique etpour une matri einnie.

C

C

0

= erf c(

ω

m

.d.τ

w

eω

f r

pD

a

.

(t − τ

w

.R

a

)

)

(1.5) où

D

a

=

d

R

d

.

Apartirde ettesolution,ilestpossiblededéterminerlasolutionenréponseàun réneau

∇h 10

−2

₁₀

−3

₁₀

−4

R

p

1.2 3.4 25.

Tab.1.2 Valeur du oe ientde retard:sensibilitéaugradientde harge(

e

= 2.6.10

−2

m)

e(m)

2.6.10

−2

₁₀

−2

_5.10

−3

R

p

1.2 1.6 2.3

Tab. 1.3  Valeur du oe ient de retard : sensibilité à l'ouverture de fra ture (

∇h =

10

−2

)

Le but de ette étude est de déterminer une expression du temps du maximum de

on entration,

τ

max

, 'estàdireletempsannulantladérivéede lasolution1.6en réponse à un Dira de on entration. Ce temps peut être exprimé en fon tion d'un oe ient de

retarddupi ,

R

p

etdutempsdesortie onve tif,

τ

w

,aprèsavoiree tuéundéveloppement limité en onsidérant

t

0

petit.

τ

max

= R

p

.τ

w

(1.7)

R

p

= R

a

+

2

3

ω

_m

2

.d.R

d

ω

2

f r

.e

2

τ

w

(1.8)

Cette étude du maximum de la solution de [Neretnieks1982℄ ne fournit pas

d'informa-tion sur la forme de la ourbe mais permet d'établir une estimation du temps de sortie

du maximum de on entration. Dans le as du problème simple du transport dans une

fra ture unique, de transmissivité

10

−7

_m

2

_.s

−1

et de porosité

2.1.10

−1

, le oe ient de

retard,

R

p

,peut être al uléen onsidérantdiérentesvitesses d'é oulementetdiérentes ouvertures de fra ture. La matri e onsidérée est de porosité

6.10

−3

et de oe ient de

diusion de pore,

d

= 5.10

−11

_m

2

_.s

−1

. Lestableaux1.2 et 1.3 présententlesvaleurs

obte-nues pour une longueur de par ours de 230 m. Dans les deux as, les eets d'adsorption

sont négligés. L'ouverture importantede la fra ture est due à la prise en ompte de

dif-férentes zones entourant elle- i etqui ont faitl'objetd'un pro essus d'homogénéisation,

expliquantainsi laporosité de fra ture diérente de 1.Lesvaleursutilisées sont elles du

site expérimental de Äspö, dont le gradient de harge, en é oulement naturel, est estimé

à

0.1%

.

Lesrésultatsdes tableaux1.2et1.3 indiquentqueletempsde sortieest d'autantplus

grand que l'ouverture de la fra ture ou la vitesse d'é oulement sera faible. La diusion

matri iellejoue,par onséquent,unrled'autantplusimportantlorsquelafra tureest de

faible ouverture ou lorsque l'é oulement est lent. Un phénomène de diusion matri ielle

importantest ara térisé par un temps de sortie beau oup plus important.Ainsi,la

mo-délisationdutransportdansunmilieufra turéné essitelapriseen ompteduphénomène

Fig.1.6Evolutionde la on entrationàlasortiedelafra ture:inuen edeladiusion

matri ielle.

Etude numérique

Après l'étude des solutions analytiques, une analyse des résultats d'une modélisation

numérique du transport d'un tra eur dans une fra ture unique est maintenant ee tuée.

Seuls les phénomènes de onve tion dispersion et de diusion matri ielle sont i i

onsi-dérés. L'étude de la sensibilité des résultats à la variation du oe ient de diusion de

la matri e permet de ara tériser l'a tion plus ou moins importante de la matri e. Plus

le oe ient de diusion de la matri e est élevé, plus le terme sour e,

2

e

ω

m

d

∂C

m

∂z

|

z=0

, de l'équation1.3estimportant.Lamasseprélevée àlafra tureest,par onséquent,d'autant

plus importantequele oe ientde diusion matri ielleest important.L'inuen ede la

diusion matri ielle,

d

,sur letransport est illustrée par les ourbesgure 1.6.

Les résultats indiquent que la diusion matri ielle inue sur la hauteur du pi des ux

massiques. Plus la diusion matri ielle joue un rle important, moins le maximum de

on entration est élevé. Cette baisse du maximum de on entration s'a ompagne d'une

faiblepentede laqueue de la ourbe. Ladé roissan e de la valeur de lapente s'explique

fa ilementparlafaible inétiquedu phénomènedediusionmatri ielle.Letra eur,ayant

pénétrédanslamatri e,est restituépar elle iave une inétiquetrès faible,parrapport

à sa vitesse de propagation dans la fra ture. Plus la diusion matri ielle est importante,

plus la profondeur de pénétration de matière est importante et plus la restitution de la

matièrepar lamatri e s'ee tue sur des tempslongs. Le maximum de on entration est,

lui aussi, inuen é par ladiusion. Étant donné que de la masse séjourne dans leszones

matri ielles, le maximum de on entration est d'autant plus faible que la diusion

ma-tri ielle est importante. Si la diusion est vraiment très importante, un retard dans les

de la diusion matri ielle,il est possiblede seréférer à[Carrera et al.1998℄.

Dans la problématique du sto kage de dé hets radioa tifs, (é oulements naturels),

la diusion matri ielle joue don un rle essentiel dans les pro essus de rétention. Son

a tion, loind'êtrenégligeable,devra don être prise en ompte.

1.2.4 Apports et ontraintes liés à l'utilisation d'un maillage

ré-gulier.

La modélisationdes transferts en milieux naturels serévèleêtre une tâ he omplexe.

Les ara téristiques géométriques, les diérentes zones, ainsi que les phénomènes

phy-siques ren ontrés dans un milieu fra turé ontribuent à réer un ensemble de di ultés

auxquelles toutes les appro hes de modélisation her hent à pallier. Avant de présenter

es appro hes, hapitre1.3, ilest intéressantde onfronter lesdi ultés ren ontrées ave

des solutions apportées par une appro he s'appuyant sur un maillage régulier ( omme,

par exemple, une appro he de type Smeared Fra tures). Lors d'une modélisation en

milieuxfra turés, trois familles de di ultés peuvent être distinguées:

⋆

Les di ultés liées à la géométrie du milieu.

La formation des fra tures, leur géométrie, résultent de phénomènes omplexes

onduisant à des géométries di ilesà modéliser, [2℄. Un milieu fra turé est

om-posédediérentesé hellesde fra turation.A haqueé helle,peuvent orrespondre

diérentesdistributionsdefra tures,[Brown 2002℄.Ladépendan ede lagéométrie

vis à vis de l'é helle onsidérée, les in ertitudes sur la position des fra tures

rajoutent en ore un degré de di ulté. Ainsi, pour ertaines modélisations, il

est né essaire de s'intéresser à des é helles de fra turation inférieures, tout en

travaillant àune é helle supérieure.

La matri e joue, elle aussi, un rle important ( hapitre 1.2.3). De volume très

supérieur aux volumes des fra tures, la matri e onstitue une zone de rétention

potentiellement forte. Il est don essentiel de dénir l'é helle de travail, pour

ensuite pouvoir s'attaquer aux problèmes de la représentation géométrique d'un

milieu fra turé (matri e et fra tures). Une modélisation dédiée, 'est à dire pour

laquelle la géométrie du milieu est prise dire tement en ompte, semble être une

bonne solution. Cependant, la omplexité du milieu et les oûts de al ul trop

importantsrendent ette solutionpeu pratique.

⇒

Apports d'un maillage régulier.

Les di ultés liées à la prise en ompte de la géométrie omplexe du réseau

sur le maillage régulier, par un hamp hétérogène de propriétés. Ainsi, les

diérentes zones du milieu ne sont pas diéren iées par leurs géométries mais par

la variationde leurs ara téristiquesphysiques. De ette manière,lemaillaged'un

blo fra turé, partiellement homogénéisé, ne possédant qu'un nombre limité de

fra tures, ne pose plus de di ultés. Cependant, les propriétés ae tées à haque

mailledoivent faire l'objet d'une étude an de les déterminer. En e qui on erne

le hoixde l'é hellede travail,elleest dire tementliéeau hoixdu pasdu maillage

utilisé.

⋆

Les di ultés d'identi ation des propriétés asso iées aux réseaux de fra tures et aux blo s matri iels.

L'a ès aux fra tures est souvent di ile et la détermination de leurs propriétés

est ee tuée par deux types de mesures : des mesures dire tes ou des mesures

indire tes. Les mesures dire tes onsistent àanalyser les aeurements de surfa es

du site, les arottes de diérentsforagesan de déterminerle pendage, l'extension

des fra tures,leur ouverture ...Lesmesures indire tes orrespondent auxrésultats

obtenus par la modélisation d'essais de pompages ou d'autres expérien es ([2℄

et exemple de l'expérien e TRUE Blo k S ale réalisée dans le laboratoire

expé-rimental de Äspö [Anderson et al.2002℄). Une démar he de ara térisation du

site de Äspö est présentée par [Mazurek et al.1996℄. Elle s'appuie lassiquement

sur les données géologiques, hydrogéologiques de l'é helle du mètre au dé amètre

pourfournir une première ara térisation desdiérentes stru tures géologiques du

milieu. L'ensemble onstitue un jeu de données d'entrée pour les modélisations.

Ces mesures indire tes se heurtent à un problème lié aux é helles de temps

onsidérées. Les expérien es sont ee tuées pour des é helles de temps assez

ourtes orrespondant àdes vitesses d'é oulement assez élevées dans les fra tures.

Les zones tou hées par es tests restent don lo alisées auvoisinagedes fra tures.

Les informations obtenues par les données expérimentales orrespondent don ,

généralement, aux fra tures et à une zone de faible profondeur les entourant.

Notre domained'appli ation,modélisationdes transferts dans un site de sto kage

après fermeture, orrespond, au ontraire, à des vitesses d'é oulement lentes et

sur des é helles de temps importantes (plusieurs dizaines de milliers d'années).

Lorsqu'une modélisation pour des temps longs (vitesses d'é oulement lentes)

est ee tuée, les zones explorées par le tra eur sont beau oup plus étendues et

les phénomènes, omme la diusion matri ielle, qui jouaient peu de rle pour

les vitesses d'é oulemnt rapides, jouent, dans e as-là, un rle important. La

ara térisation des zones plus éloignées devient, par onséquent, indispensable.

De plus, la géométrie et les ara téristiques du milieu à modéliser sont souvent

a ompagnées d'in ertitudes e dont il faudra tenir ompte. Ainsi une dernière

étape d'analyse de sensibilité est né essaire, an d'évaluer l'ensemble des

ara -téristiques du milieu. An de prendre en ompte es in ertitudes, il est possible

de faire des simulations de type Monte Carlo. Pour ela, les outils mis en oeuvre

problème. La validation des modèles est obtenue par omparaison des résultats

numériquesave lesrésultatsexpérimentaux.

⇒

Fa ilités apportées par l'utilisation d'un maillage régulier.

L'attraitdesappro hesutilisantunmaillagerégulier,outrelefaitdene pasàavoir

à mailler le milieu, vient de la fa ilité de mise en oeuvre d'études de sensibilité.

Ces études de sensibilité peuvent porter à la fois sur la géométrie du milieu ou

sur ses propriétés physiques. Un hangement de géométrie est, en eet, fa ile à

prendre en ompte grâ e à la souplesse induite par l'utilisation d'un maillage

régulier.Ainsi,ilest toutàfaitpossibled'envisager dessimulationsde type Monte

Carlo an de prendre en ompte les in ertitudes pouvant exister sur la position

des fra turesou sur les ara téristiquesdu milieu.

⋆

Les di ultés liées à l'hétérogénéité des propriétés du milieu.

En milieux naturels la matri e est onstituée de diérents matériaux (suivant

le type de fra ture onsidéré, par exemple) ayant des omportements diérents

et présentant de forts ontrastes entre leurs propriétés. Ces diérentes zones

doivent être modélisées ar elles jouent un rle important dans la rétention de

la matière. Leur représentation pose une série de questions auxquelles le

modé-lisateur devra répondre : un maillage de es diérentes zones est-il né essaire?

Un pro essus d'homogénéisation serait-il possible? Quelle est la répartition de

es zones le long des fra tures? ... A es questions, relevant plus du hoix de la

modélisation, un problème supplémentaire se superpose. Dans un as simplié,

un milieu fra turé peut être onsidéré omme omposé de deux stru tures : les

fra tures et le blo matri iel. Les ara téristiques du milieu ainsi que les vitesses

d'é oulement varient fortement au niveau de l'interfa e matri e fra ture : les

fra tures onstituant les zones d'é oulement, tandis que la matri e onstitue des

zones de sto kage de vitesses d'é oulement faibles. Ces dis ontinuités ajoutent

une di ulté supplémentaire à la modélisation des phénomènes se produisant à

l'interfa ematri e-fra ture.Enparti ulier,pourlevolet transport,ilestimportant

de bien oupler le transport dans les fra tures (relativement rapide) ave le

transport dans les blo s matri iels (relativement lent). Ainsi, dans une appro he

mono domaine, ave un maillage dédié à la géométrie du milieu, il faut veiller à

mailler nement l'interfa e an de rendre ompte des gradients de on entration

[Grenier etal. 1999℄et [Grenieret Mou he 1997℄.

⇒

Fa ilités apportées par l'utilisation d'un maillage régulier.

Comme pour toutes les appro hes de modélisation, l'utilisation d'une appro he

en ompte des diérentes zones. Son avantage est que, par sa représentation du

milieu,une étudede sensibilitéàlavariationde lalo alisationde diérentes zones

hétérogénes, par exemple pour un problème inverse, ne né essite pas de remailler

le milieu pour ha une des ongurations étudiées. Une résolution basée sur un

pro essus de type Monte Carloest alors envisageable.

⇒

Contraintes dues à l'utilisation d'un maillage régulier.

•

Choix de la dis rétisationspatiale.

Un milieu fra turé étant un milieu multi-é helle, le hoix de l'é helle de

travail va être un paramètre important de la modélisation. L'utilisation

d'un maillage régulier nous ontraint à hoisir un pas de dis rétisation

unique pour l'ensemble du domaine. Ce pas de dis rétisation peut, alors,

être assimilé à un volume élémentaire de référen e VER. Le ranement

né essaire autraitementnumériquedes phénomènes aux interfa es matri e

fra ture onstitue, don , la ontrainte prin ipale de l'appro he. Le hoix

d'un pas de dis rétisation uniforme sur l'ensemble du domaine implique

un ranement identique à l'interfa e fra ture matri e et sur l'ensemble

du domaine. Ainsi, pour des ongurations (vitesses d'é oulement rapides

dans les fra tures) où la matri e se révèle peu a tive, un ranement est

né essaire, entraînant des oûts informatiques trop importants.Par ontre,

pour des vitesses lentes, entraînant une inuen e plus importante de la

matri e (diusionmatri ielleimportante),lepas du maillagepeutêtre plus

grossier. Le domained'appli ationre her hé , modélisationde l'é oulement

et du transport après fermeture du site de sto kage de dé hets nu léaires,

orrespond à ettese onde ongurationet permet d'envisager l'utilisation

de e type d'appro he.

•

Choix de la dis rétisationtemporelle.

Dans le as d'un milieu fra turé onstitué d'une fra ture et de la matri e,

des ontrastes importants de vitesses d'é oulement dans la matri e,

(é oulementsquasi nuls), etdans la fra ture, (zoned'é oulements rapides),

existent. L'utilisation d'un maillage régulier pour modéliser deux vitesses

d'é oulement diérentes peut poser des problèmes de monotonie ou de

onvergen e. Le respe t de ritèresde monotonie doit don être vérié lors

du hoix de la dis rétisationtemporelle.

Le domaine d'appli ation de es appro hes est imposé par l'importan e de la

dif-fusion matri ielle. Néanmoins, pour les as vraimentdéfavorables (faiblediusion

matri ielle), d'autres solutions peuvent être envisagées omme la résolution du

problème dans lesmaillesde vitesses d'é oulement élevées et une prise en ompte

de la diusion matri ielle par un terme d'é hange évalué grâ e à une solution

Bien que représentant un milieu fortement hétérogène mal déni, il est possible de

pallier à ertaines des di ultés de modélisation des milieux fra turés par l'utilisation

d'un maillage régulier. Cependant, les appro hes s'appuyant sur des maillages réguliers

présentent, aussi, des ontraintes, né essitant de s'interroger sur le hoixde la

dis rétisa-tion et sur les paramètres à ae ter. Néanmoins, en se replaçant dans la problématique

du sto kage de produits radioa tifs pour laquelle les é oulements sont lents et le

phéno-mène de diusion dans la matri e important, les dis rétisations spatiales et temporelle

sont moins ontraignantes. De telles appro hes ne représentent qu'une solution parmi

d'autres. Un grand nombre d'appro hes existe, résolvant ertaines des di ultés et se

heurtant à d'autres. Un rapide tour d'horizon de es diérentes appro hes est proposé

1.3 Les diére ntes appro hes de modélisation et

l'ap-pro he Smeared Fra tures

Comme le hapitre pré édent l'annonçait, une des di ulté de la modélisation des

transferts en milieu fra turé réside dans la dénition de l'é helle de travail. Ainsi,

reprenant[Berkowitz 1994℄, l'appro he de modélisation,suiviedans une appli ationà un

site, dépend :

•

des informations disponibles sur le site,

•

des ara téristiquesdominantes de l'é oulement,

•

de l'é helle de travail,

•

du type de résultatsre her hé s.

Iln'existepasd'appro hesuniversellespourletraitementdesproblèmesdetransfertsdans

les milieux fra turés. Une démar he intéressante pour lassier, en première appro he,

les diérents types de modèles est proposée par [Bear et al.1993℄ et [Berkowitz 1994℄,

s'appuyant sur quatre é helles de fra turation diérentes :

•

Le hamp très pro he (quelques métres): prise en ompte des transferts dans une fra ture isolée.

•

Le hamp pro he (quelques entaines de métres) : blo fra turé in luant quelques fra tures identiées de façon déterministe ou statistique (via des densités de

fra -turation etd'orientation).

•

Le hamp lointain (quelques kilométres) : le réseau et les blo s matri iels inter-viennent et on tient ompte des diérentes inétiques par une appro he double

porosité; (transfertdans deux milieux ontinuséquivalentsà haque sous-systè me

ave des termes de ouplage entre lesdeux).

•

Le hamp très lointain (é helle régionale) : Les transferts sont modélisés dans un milieu ontinu équivalent qui rend ompte de la présen e des fra tures ainsi

que des blo s matri iels.Typiquement, l'é helle d'observation est plus importante

que l'é helle de fra turation, onduisant à la dénition de grandeurs ontinues

équivalentes.

Avant de nous intéresser à es appro hes, un inventaire des solutionsanalytiques

1.3.1 Solutions analytiques

Ces solutionsanalytiquessonttoutesobtenues àpartird'uneformulationduproblème

sur deux ontinua.C'est-à-dire quel'équationde transport de lafra tureest ouplée, par

l'intermédiaire d'un terme sour e, à l'équation de transport dans la matri e, équations

1.3 et 1.4. Toutes les solutions proposées partent de l'hypothèse d'une diusion

matri- ielle1Dorthogonale.Cessolutionssontrappeléesi i ar ertainesserontutiliséesensuite.

⋆

Diusion dans un milieu poreux (diusion matri ielle).

Pour unmilieu poreux homogène,de oe ient de diusion

d

,en onta t pendant un temps,

τ

,ave des espè es stables,lasolution de l'équationde diusion 1D, en réponse à une inje tion ontinue de on entration

C

0

en z = 0 et dans un milieu inni, est donnée par [Neretnieks 1980℄.

C

m

C

0

= erf c

z

2

√

dτ

(1.9)

Une appli ation lassique faite par [Neretnieks 1980℄, est la détermination de la

pénétrationdanslamatri e.Lanotation

η

0.01

est utiliséepour indiquerqu'ils'agit de lapénétration pour

C

m

C

0

= 0.01

etson expression est :

η

0.01

= 4

√

dτ

.

⋆

Solution au problème de onve tion dans la fra ture et diusion dans la matri e ave dé roissan eradioa tive.

[Neretnieks 1980℄ généralise la solution de [Carslaw etJaeger 1959℄ en y ajoutant

une dé roissan e radioa tive(de vitesse de dégradation,

λ

),pourune inje tion de tra euràl'entréed'unefra tureautemps

τ

0

de laforme

C

0

.e

−λτ

pendantuntemps

∆τ

. Seules la onve tion dans la fra ture et la diusion dans la matri e, ave la dé roissan e radioa tive, sont modélisées. Lasolution obtenue est :

C

m

C

0

= exp(−λτ).(erfc

G

pτ − (τ

w

+ τ

0

)

− erfc

G

pτ − (τ

w

+ τ

0

+ ∆τ )

)

(1.10)

G

=

D

m

+

q.e.z

2x

2e.

√

d

τ

w

(1.11)

ave

τ

w

le temps de sortie en onsidérant uniquement la onve tion dans la fra ture. L'évolution de la on entration dans lafra ture est obtenue pour

z

= 0

.

⋆

Prise en ompte de la dispersion dans les fra tures et des phénomènes

d'adsorp-tion.

[Tang etal.1981℄ puis [Maloszewski etZuber1985℄ étendent ette solution à

un problème de onve tion, dispersion dans la fra ture, ave de la diusion

1D dans la matri e. L'adsorption ainsi que la dé roissan e radioa tive sont

aussi prises en ompte. Une solution analogue à elle de Tang est obtenue par

[Sudi ky etFrind 1982℄pourun systèmede deux fra turesparallèles.Unesolution

Un modèle, prenant en ompte lesphénomènes de onve tion, dispersion,

adsorp-tion dans la fra ture etde diusion, adsorption dans la matri e peut s'é rire sous

laforme[Maloszewskiet Zuber1990℄(en reprenantlesnotations deMalozewski):

•

pour la fra ture:

R

af

∂C

f

∂t

= D

∂

2

C

f

∂x

2

− ~v

∂C

f

∂x

+

n

p

D

p

b

∂C

p

∂y

|

y=b

(1.12) où

R

af

est le oe ient de retard dû à l'adsorption instantanée dans la fra ture,

D

le oe ient de dispersion dans les fra tures,

v

la vitesse de Dar y,

C

f

la on entration dans la fra ture,

b

sa demi-ouverture et

n

p

,

D

p

,

C

p

, respe tivement la porosité, le oe ient de diusion de pore et la on entrationdans la matri e.

•

pour la matri e (diusion 1D):

n

p

∂C

p

∂t

= n

p

D

p

∂

2

C

p

∂y

2

− (1 − n

p

)ρ(Φ

1

− Φ

2

)

(1.13) ave

ρ

la densité de la matri e,

Φ

1

= k

3

∂C

p

∂t

et

Φ

2

= k

1

n

p

C

p

(1−n

p

)ρ

− k

2

q

2

le

transfert de masse, entre les phases solide et liquide dans la matri e, dû

à une adsorption linéaire isotherme en équilibre instantané et le transfert

de masse entre les phases solide et liquide dans la matri e, dû à une

réa tion inétique d'ordre 1.

k

1

,

k

2

,

k

3

sont les oe ients de distribution, respe tivement,d'avan éeet de retour de la réa tionnon instantanéeet de

laréa tioninstantanée.

Pour les onditions aux limites suivantes :

C

f

(x, 0) = 0 C

f

(0, t) =

M

Q

δ(t) C

f

(∞, t) = 0

(1.14)

C

p

(y, x, 0) = 0 C

p

(b, x, t) = C

f

(x, t) C

p

(∞, x, t) = 0

(1.15)

q

1

(x, 0) = 0

q

2

(x, 0) = 0

(1.16)

ave

M

lamassedu tra eurinje té,

Q

ledébitd'inje tionet

δ(t)

lafon tionDira ; lasolutionauxéquations1.12et1.13 estfourniepar[Maloszewski etZuber 1990℄:

Si

Φ

2

= 0

ette solutions'é rit plus simplement:

C

f

(t) =

aM

2ΠQ

q

P

e

t

′

₀

.(

Z

t

0

e

−

Pe

4ut

′

0

(t

′

₀

−u)

2

_−k

′

1

(t−u)−

a2u2

t−u

.

du

pu(t − u)

3

)

(1.20)

Trois oe ientsapparaissentdanslaformulationde ettesolution,

a

= n

p

√

_D

p

R

ap

2bR

af

,

P

e

=

vx

_D

et

t

′

0

=

xR

af

v

= R

af

t

0

ave

k

′

1

=

R

k

ap

1

,

R

ap

=

(1−n

p

)ρk

3

n

p

. Ainsi, pour un

tra eur non sorbant (

R

ap

= R

af

= 1

), es trois oe ients,

a

,

P

e

et

t

′

0

ontrlent le transport. Lorsque

a

roît, suivantque ladiusion de pore,

d

, augmenteouque l'ouverture,

2b

, de la fra ture diminue, la diusion dans la matri e est favorisée. Dans e as là, le maximum de on entration est plus faible et un dé alage dans

les temps de sortie peut être observé.

Cessolutionsanalytiquesserventàmieux omprendre ertainsphénomènesren ontrés

danslesmilieuxfra turéstoutenpermettantde validerlesdiérentsmodèlesdéveloppés.

Une bonne vision de es modèles utilisés pour la simulation des transferts en milieux

fra turés est proposée par [Ezzedine 1994℄. Ces modèles peuvent être lassés en trois

grandes familles: les modèles dis rets, lesmodèles ontinus etles modèles hybrides.

1.3.2 Modèles dis rets

Les modèles dis rets onsistent à travailler sur la géométrie réelle du milieu fra turé.

Dans e as là,onparlera de représentations dis rètes. Ils sont généralement appliqués à

l'é helledes hamps tréspro hes, pro hes etlointains.Diérentes optionsontété hoisies

pour obtenirleréseaudis retde fra tures.Ainsi,ilestpossiblede distinguerdeuxé oles:

⋆

les modèles àfra tures dis rètes ou modèles DFN.

LesmodèlesDFN onsistentàgénérerdesréseauxdefra turesàpartird'objets

géo-métriques simples s'appuyant sur une distribution statistique des ara téristiques

géométriques (ouverture, position, orientation) et des ara téristiques du réseau

(transmissivité des fra tures, densité de fra turation). Diérentes géométries ont

été utilisées pour générer les réseaux de fra ture. [Ezzedine 1994℄ ite quelques

modèles s'appuyant sur lagénération de disques([Bae her 1983℄et[Barton 1978℄)

ou sur une génération de surfa es planes ([Dershowitz 1985℄). Plus ré emment,

[Koudina etal. 1998℄ dé rivent la génération d'un réseau dis ret de fra tures à

partir de polygones sur lesquels l'é oulement est résolu. Les gros oûts

informa-tiques né essaires à es appro hes ont in ité les diérents auteurs à optimiser

leurs outils par l'exploitation d'idées diérentes. Ainsi, [Delay et Bodin 2001℄ et

[Bodin et al.2003℄ ont, par exemple, proposé une autre appro he de résolution.

Parune appro he lagrangienne,larésolutiondel'é oulementetdu transport

en s'intéressantauxtempsde transitionentredeuxpointsxesd'unréseaudeliens

symbolisantunréseaudefra tures2D.De ettemanière,larésolutionestbienplus

rapide.

⇒

L'avantagede esappro hesestde onserverunereprésentationexpli itede lagéométrie dumilieu,pour diérentes é helles.Lesfra tures,parfaitement

ara térisées, sont fa ilement prises en ompte. Ces odes sont rapides et

optimisés mais né essitent de gros moyens informatiques. De plus, le

trans-port est souvent simulé uniquementdans leréseau de fra tures,ladiusion

dans la matri e étant prise en ompte par des solutions analytiques, ave

l'hypothèse d'une diusionhomogène 1D innie.

⇒

Les in onvénients de es appro hes résident dans leur maniabilité omme, par exemple,pour des études de sensibilitéàlagéométrie des fra tures. En

eet, à haque modi ation de la géométrie du milieu, un remaillage est

né essaire onduisantàde forts oûtsinformatiques. L'hypothèsed'une

dif-fusion1D inniedans lamatri epeut aussi serévéler non justiée. Dans le

as d'é oulements pour lesquels la diusion matri ielle joue un rle

impor-tant, il est tout à fait envisageable que le tra eur ir ule d'une fra ture à

uneautrepar l'intermédiairedelamatri e.Ce heminementest omplexeà

modéliserave lesappro hes DFNpourdes oûts informatiquesabordables.

⋆

les modèles à henaux oumodèles CN.

Les modèles à henaux dé oulent dire tement des modèles DFN. Une fra ture

est, pour e type de modèles, représenté e par diérents liens, ou henaux,

in-ter onne tés. L'idée de henaliser une fra ture provient de e que l'é oulement

dans des fra tures suit des hemins préférentiels. Ceux- i forment ainsi des

liens plus ou moins onne tés . Ces henaux peuvent être générés dire tement

à partir des points d'interse tion des objets géométriques des modèles DFN,

[Ca as etal. 1990a℄, [Ca as et al.1990b℄ et [Dverstorp et al.1992℄. Le modèle de

[Moreno et Neretnieks1993℄, quant à lui, s'appuie sur un réseau de henaux de

géométrie régulièreet ubique.

⇒

L'utilisation de henaux réduit énormément les di ultés et les temps de al uls. Cependant, la prise en ompte de la diusion dans la matri e est

uniquement déterminée àpartir de solutionsanalytiques. L'utilisationd'un

modèle à henaux semble être justiée dans le as d'é oulements rapides

pour lesquels les é oulements dans lesfra tures sont henalisés.

⇒

Pourdesé oulementsde inétiquesfaibles,(é oulementsnaturels, onditions d'é oulement pour des al ulsde sûreté), letra eur s'é oule beau oup plus

lentement. Il est, par onséquent, sus ep tible d'explorer une surfa e

beau- oup plus importante de la fra ture. Dans la fra ture, les zones les moins

ondu tri es, restéesina essibleslorsdes é oulementsrapides,peuvent, au

ontraire, jouer un rle important en fournissant au tra eur des zones

im-portantes de diusion.Dans es onditions,l'hypothèsede henalisationest