Développement de méthodes d'identification des propriétés thermo-physiques de matériaux semi-transparents

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Submitted on 8 Jun 2020

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propriétés thermo-physiques de matériaux

semi-transparents

Yang Liu

To cite this version:

Yang Liu. Développement de méthodes d’identification des propriétés thermo-physiques de matériaux semi-transparents. Autre. ISAE-ENSMA Ecole Nationale Supérieure de Mécanique et d’Aérotechique - Poitiers, 2019. Français. �NNT : 2019ESMA0019�. �tel-02860060�

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THESE

Pour l’obtention du grade de

DOCTEUR DE L’ECOLE NATIONANLE SUPERIEURE DE

MECANIQUE ET D’AEROTECHNIQUE

(Diplôme National - Arrêté du 26 Mai 2016)

´

Ecole doctorale :

Sciences et ing´

enierie des mat´

eriaux, m´

ecanique, ´

energ´

etique

Secteur de Recherche : ´

Energie, Thermique, Combustion

Pr´esent´ee par

Yang LIU

***************************************************************************************

D´

eveloppement de m´

ethodes d’identification des propri´

et´

es

thermo-physiques des mat´

eriaux semi-transparents

*************************************************************************************** Directeur de th`ese : Didier SAURY

Co-encadrant : Yann BILLAUD *****************************************

Soutenue le 11 d´ecembre 2019 devant la Commision d’Examen

*****************************************

JURY

Mme Agnès DELMAS Maˆıtre de Conférences, INSA de Lyon M. Manuel GIRAULT Chargé de recherche, CNRS-PPRIME

M. Philippe LE MASSON Professeur, Univ. Bretagne Sud Rapporteur M. Christophe LE NILIOT Professeur, Univ. Aix-Marseille Rapporteur M. Denis LEMONNIER Directeur de recherche, CNRS-PPRIME

M. Benoit ROUSSEAU Directeur de recherche, CNRS-LTEN Nantes M. Yann BILLAUD Maˆıtre de Conf´erences, IUT GTE Univ. Poitiers M. Didier SAURY Professeur, ISAE-ENSMA

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Remerciements

Je commencerai ce mémoire par adresser un grand merci à toutes les personnes sans qui ce travail de thèse n’aurait pas pu aboutir. Je remercie tout d’abord MM Yves Gervais et Didier Saury de m’avoir accueilli au sein de l’équipe de COST (Convection, Optimisation, Systèmes Thermiques) de l’Institut Prime.

Un grand merci également à MM Didier Saury et Yann Billaud, qui ont été très savants et toujours très responsables et sympathiques pendant ces trois années. Votre guide et votre encadrement pour ce travail m’ont fourni une grande passion et courage pour avancer et résoudre des problèmes dans les moments difficiles. Je remercie grandement Denis Lemonnier pour les précieux conseils qu’il m’a prodigués concernant le rayonnement. Je veux aussi donner mes grands remerciements à Manuel Girault pour ses conseils, soutiens et patience indispensables sur la réduction du modèle par la méthode modale d’identification.

J’adresse de chaleureux remerciements aux membres du jury, Mme Agnes Delmas et MM Christophe Le Niliot, Philippe Le Masson, Benoit Rousseau, Manuel Girault, Denis Lemonnier, Yann Billaud et Didier Saury, qui ont pris le temps de lire ce mémoire ainsi que de venir évaluer la soutenance de cette thèse. Vos remarques et votre expertise m’ont apporté un éclairage extérieur très précieux sur ces travaux ainsi que des idées intéressantes sur de futures perspectives pour ce travail.

Je veux également remercier grandement Yann, Christophe, Cyril, André, Ca-therine pour leurs connaissances techniques et leur expérience dans la réalisation de l’étude expérimentale. Merci à Catherine Lavallade pour son soutien administratif sans pareil.

Je tiens à remercier en particulier les chercheurs/enseignants thermiques de COST pour leur soutien professionnel, sans ordre de préférence et de fa¸con sûrement non-exhaustive, j’adresse ces mots à Vincent Ayel, Adel Benselama, Yves Bertin, Yann Billaud, Dominique Couton, Eva Dorignac, Matthieu Fenot, Manuel Girault, Gildas Lalizel, Denis Lemonnier, Florian Moreau, Frédéric Plourde, Didier Saury, Etienne Videcoq.

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j’adresse ces mots `a Alexandre, Amal, Bach, Bo, Dimitri, Elissa, Romain, Mickael, Cl´ement, Fang, Filippo, Flavio, Ge, Hang, Louis, Nicolas, Paul, Ruiying, Shuiran, Stella, Soizic, Tandi, Thibault, Tung, Wei, Wen, Xiaodong, Xiaoyu, Xiaowen, Yanxuan, Ying, Yifei, Yu, Yujun, Yuyao, Ze, etc...

Je donne aussi mes grand remerciements à Civil Aviation University of China (CAUC) et China Scolarship Council (CSC) pour leur soutien financier. Merci également à mes collègues à CAUC pour leur soutien administratif.

Enfin et surtout, j’adresse toute ma gratitude envers mes parents et toute ma famille sur qui j’ai toujours pu compter et qui ont toujours apport´e leur soutien dans ma vie.

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Table des mati`

eres

Table des mati`eres v

Nomenclature vii

Introduction g´en´erale 1

1 Modélisations directes du problème étudié 11

1.1 Introduction . . . 13

1.2 Mod`ele direct 1D instationnaire conducto-radiatif . . . 13

1.3 R´esolution du mod`ele direct 1D . . . 18

1.4 Validation du mod`ele direct 1D . . . 30

1.5 Mod`ele direct 2D axisym´etrique . . . 37

1.6 Résolution du modèle direct 2D axisymétrique . . . 40

1.7 Validation du mod`ele direct 2D axisym´etrique . . . 55

1.8 Conclusion . . . 61

2 Dispositif expérimental et modèle d’identification basé sur PSO 63 2.1 Introduction . . . 64

2.2 Algorithme PSO . . . 77

2.3 Test de performance de l’algorithme PSO . . . 82

2.4 Test de robustesse de l’algorithme PSO . . . 84

2.5 Application . . . 85

2.6 Conclusion . . . 88

3 Modèle réduit d’identification basé sur un réseau de neurones 89 3.1 Introduction . . . 90

3.2 Histoire du r´eseau de neurones artificiels . . . 91

3.3 Etude de sensibilit´e´ . . . 94

3.4 Construction du modèle réduit d’identification basé sur un réseau de neurones . . . 98

3.5 Test de robustesse. . . 106

3.6 Etude statistique´ . . . 110

3.7 Application . . . 111

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4 Modèle réduit basé sur la méthode d’identification modale (MIM) 117

4.1 Introduction . . . 118

4.2 M´ethode d’identification modale (MIM). . . 118

4.3 Modèle réduit non-linéaire . . . 120

4.4 Modèle réduit linéaire paramétrique . . . 128

4.5 Conclusion . . . 140 Conclusion g´en´erale et perspectives 143

Bibliographie 154

Liste des figures 155

Liste des tableaux 163

A Algorithme de r´etropropagation du gradient I A.1 Introduction . . . I A.2 Principe de fonctionnement . . . II A.3 Avantages et inconv´enients . . . IX

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Nomenclature

Symboles latins

A param`etre r´eel dans la fonction objectif Rastrigin (-)

b(l)i valeur du biais li´e au ième neurone situ´e sur la lième couche (-)

Bir nombre de Biot suivant r (-)

Biz nombre de Biot suivant z (-)

c0 vitesse de la lumi`ere dans le vide m·s−1

c1 facteur de connaissance cognitive (-)

c2 facteur de connaissance sociale (-)

Cp capacit´e thermique massique J·kg−1·K−1

d raison de suite g´eom´etrique (-)

dp dimension de l’espace o`u les particules se situent (-)

dk(I) sortie attendue du vecteur d’entr´ee ~x(I) (ANN) (-)

D(x, Ω) terme de renforcement par le rayonnement suivant Ω _{W ·m}−2_·sr−1

e ´epaisseur du mur (1D) m

E erreur totale qudratique moyenne de tous les ensembles de don-n´ees d’entraˆınement

(-)

E(I) erreur totale correspondant au Iième _{ensemble de donn´ee}

d’en-traˆınement

(-)

fc fr´equence du cam´era infrarouge Hz

G(x, t) rayonnement incident Ω _{W ·m}−2

h coefficient de convection _{W ·m}−2_·K−1

he rayon-hauteur rapport (-)

hP constante de Planck J·s

h(l)i sortie de la fonction d’activation (-)

H hauteur du cylindre m

I intensit´e du bruit (ANN) K

IP SO intensit´e du bruit (PSO) %

J(β) fonction objectif (-)

kB constante de Boltzmann J·K−1

L(x, Ω) luminance au point x dans la direction Ω _{W ·m}−2_·sr−1

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L0

η(T ) luminance spectrale (en fonction du nombre d’onde) de corps

noir `a la temp´erature locale

W ·m−2

Lν luminance spectrale (en fonction de la fr´equence) W ·m−2

Lη luminance spectrale (en fonction du nombre d’onde) W ·m−2

Ls

η(Ts) luminance spectrale du source (en fonction du nombre d’onde) W ·m−2

m ordre du mod`ele r´eduit (-)

mP SO nombre total des particules (-)

n indice de r´efraction (-)

~

n vecteur normal (-)

net(l)_i entr´ee de la fonction d’activation (-)

Ncr nombre de Planck (-)

Nm nombre des mailles suivant l’axe x (1D) (-)

Nc nombre d’it´erations temporelle critique (-)

Ncp nombre des couples (λ, κ) utilis´es dans la construction des

mo-dèles réduits linéaires (MIM)

(-)

Nβ nombre des vecteurs des quantités (paramétrant le modèle

ré-duit) utilisés dans la construction des modèles réduits (MIM)

(-)

NP SO nombre des it´erations dans l’algorithme PSO (-)

Nt nombre de pas de temps total (-)

Ntest nombre total des ensembles de donn´ees de test (-)

Ntrain nombre total des ensembles de donn´ees d’entraˆınement (-)

Nx nombre des nœuds suivant l’axe x (1D) (-)

Nr nombre des nœuds suivant l’axe r (2D-axisym´etrique) (-)

Nz nombre des nœuds suivant l’axe z (2D-axisym´etrique) (-)

pik(t) la meilleure position locale de la particule i dans la kème

dimen-sion `a l’instant t

(-)

pgk(t) la meilleure position globale de toutes particules dans la kème

dimension `a l’instant t

(-)

q”

0 densité de chaleur imposée à la face avant (2D-axisymétrique) J·m−2

q”

0c densité de chaleur créneau imposée à la face avant (quadripôle) J·m−2

q”

0d densité de chaleur Dirac imposée à la face avant (quadripôle) J·m−2

q” _{densit´e de flux} _{W ·m}−2

q”

c densit´e de flux conductif W ·m−2

q”

r densit´e de flux radiatif W ·m−2

rlaser rayon de flux impos´e m

r1 valeur al´eatoire uniforme (PSO) (-)

(10)

R rayon du cylindre m sl nombre des neurones situ´es sur lième couche cach´ee (-)

ss nombre des neurones situ´es sur la couche de sortie (-)

Sn surface nord du volume contrˆol´e m2

Ss surface sud du volume contrˆol´e m2

Se surface est volume contrˆol´e m2

Sw surface ouest du volume contrˆol´e m2

Sβ sensibilité des paramètres à identifier K

tc temps de calcul s

tp dur´ee de flux impos´e s

tref temps de r´ef´erence s

ts temps de simulation s

t0.5 temps de demi-montr´ee s

T (x, t) temp´erature au point x `a l’instant t K

Tini temp´erature initiale K

Texp temp´erature obtenue par l’exp´erience K

Tnum temp´erature obtenue par la simulation num´erique K

T∞ temp´erature d’environnement K

Tp temp´erature `a la paroi du mur (1D) K

Tr réflectivité à l’interface entre l’échantillon et l’air (-)

Re transmittivité à l’interface entre l’échantillon et l’air (-)

xik(t) position de la particule i dans la kème dimension `a l’instant t (-)

(xk)min position inf´erieure pour toutes les particules (-)

(xk)max position sup´erieure pour toutes les particules (-)

Xi(t) position de la particule i `a l’instant t (-)

yk(I) sortie du kième neurone situ´e sur la couche de sortie du vecteur

d’entr´ee ~x(I) (ANN)

(-)

Y (t) vecteurs de sortie (MIM) (-)

Ydata_(t) _{vecteurs de sortie à la phase de génération (MIM)} _(-)

vik(t) vitesse de la particule i dans la kème dimension `a l’instant t (-)

(vk)min vitesse inf´erieure pour toutes les particules (-)

(vk)max vitesse sup´erieure pour toutes les particules (-)

Vi(t) vitesse de la particule i `a l’instant t (-)

W_ij(l) poids de connexion reliant le jème _{neurone dans la (l − 1)}ième

couche du r´eseau de neurones de type retropropagation du gra-dieint et le ième _{neurone dans la l}ième _couche

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Symboles grecs

α diffusivit´e thermique (1D, 2D-axisym´etrique) m2_·s−1

α taux d’apprentissage pendant l’entraˆınement (ANN) m2_·s−1

β paramètres à identifier unité des β

β∗ _{valeurs r´eelles de β} _{unit´e des β}

ˆ

β valeurs identifi´ees de β unit´e des β

βdata _{paramètres à identifier à la phase de génération (MIM)} _{unité des β}

γβ la zone de valeurs la plus fr´equente des β unit´e des β

ǫβ erreur d’estimation moyenne des β unit´e des β

σ constante de Stefan-Boltzmann _{W ·m}−2_·K−4

σY(m) ´ecart quadratique moyen K

σβ ´ecart type des β unit´e des β

µβ valeur d’esp´erance (moyenne) des β unit´e des β

∆ _{´ecart sur une grandeur} _(-)

∆_t _{pas temporel} _s

∆_t_i _{pas temporel initial} _s

∆_t_f _{pas temporel final} _s

∆_t₁ _{pas temporel d’´echantillonnage de strat´egie 1} _s

∆_t₂ _{pas temporel d’´echantillonnage de strat´egie 2} _s

∆_t_adi _{pas temporel adimensionn´e} _(-)

∆_x _{pas spatial suivant l’axe x (1D)} _m

∆_r _{pas spatial suivant l’axe r (2D-axisym´etrique)} _m

∆_z _{pas spatial suivant l’axe z (2D-axisym´etrique)} _m

∆_V _{volume contrôlé (2D-axisymétrique)} _m−3

λ conductivit´e thermique _{W ·m}−1_·K−1

λc longueur d’onde centr´e du cam´era infrarouge µm

κ coefficient d’absorption moyen/effectif m−1

κd coefficient de diffusion moyen/effectif m−1

κe coefficient d’extinction (att´enuation) moyen/effectif m−1

κη coefficient d’absorption spectral m−1

η nombre d’onde cm−1

ν fr´equence du rayonnement s−1 _{ou Hz}

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Θ _{vecteurs des paramètres fixés du modèle réduit} _(-)

θ angle d’azimut dans les coordonn´ees cylindriques ➦

θi angle entre le rayonnement incident et la normale ➦

ψ colatitude dans les coordonn´ees sph´eriques ➦

φ longitude dans les coordonn´ees sph´eriques ➦

Φ _{fonction de phase} _(-)

φ(T /G)_k fonctions propres spatiales (-)

ϕ(t) vecteurs des chargements thermiques (-)

ϕdata_(t) _{vecteurs des chargements thermiques à la phase de génération} _(-)

τ ´epaisseur optique (-)

τη transmittivit´e spectrale (-)

ω poids d’inertie (PSO) (-)

ωmin poids d’inertie minimal (PSO) (-)

ωmax poids d’inertie maximal (PSO) (-)

Ω _{direction de propagation du rayonnement} _(-)

π constante d’Archimède (-) Indices n nord/north (2D-axisymétrique) s sud/south (2D-axisymétrique) w ouest/west (2D-axisymétrique) e est/east (2D-axisymétrique) c conductif (densité de flux) r radiatif (densité de flux) T conduction (MIM) G rayonnement (MIM) x axe x (1D)

r axe r (2D-axisym´etrique) z axe z (2D-axisym´etrique)

P nœud au central du volume contrôlé étudié N nœud au central du volume contrôlé nord S nœud au central du volume contrôlé sud W nœud au central du volume contrôlé ouest E nœud au central du volume contrôlé est train phase d’entraˆınement (ANN)

test phase de test (ANN)

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n instant

′ _{grandeur physique adimension´e}

T conduction (MIM) G rayonnement (MIM)

Sigles et abr´eviations

ANN Artificial Neural Network (réseau de neurones artificiels) CNN Convolutional Neural Network (réseau de neurones convolutif) cv volume contrôlé

EDP Equation aux Dérivées Partielles ETR Equation de Transfert Radiatif MD Modèle Direct

MDF Méthode des Différences Finies MIM Méthode d’Identification Modale MR Modèle Réduit

MVF M´ethode des Volumes Finies

PMMA Poly Methyl Methacrylate (polym´ethacrylate de m´ethyle)

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Introduction g´

en´

erale

Le but de cette thèse consiste à identifier simultanément les propriétés thermo-physiques relatives au transport et à la diffusion de l’énergie thermique au sein de milieux semi-transparents solides. Dans ce contexte, la présente introduction a pour objectif de définir ce qu’est un milieu semi-transparent, de présenter les mécanismes relatifs aux transferts de chaleur qui œuvrent au sein de ces milieux et enfin de discuter des différentes méthodes d’identification des propriétés qui permettent de quantifier ces transferts.

Un milieu semi-transparent, généralement abrégé par l’acronyme MST est suscep-tible, en plus de potentiellement réfléchir une partie du rayonnement incident à sa surface, d’absorber, de diffuser ou de transmettre une partie du rayonnement qui pé-nètre dans le milieu, ainsi que d’émettre du rayonnement en fonction de la température locale. Selon la pénétration des photons au sein du milieu avant d’être absorbés ou diffusés, les milieux peuvent se caractériser en trois catégories, les milieux opaques, les milieux transparents et les milieux semi-transparents. Si la pénétration est nulle (ou négligeable) devant les dimensions du milieu étudié, le milieu est dit opaque et le mode de transfert de chaleur dominant est la conduction. Inversement, dans le cas où les photons peuvent traverser le milieu sans être absorbés, le milieu est considéré comme transparent. Entre ces deux cas particuliers se situe la problématique des mi-lieux semi-transparents. De plus, la distance à laquelle se produit la majeure partie de l’interaction onde-matière (i.e. absorption, diffusion) permet de qualifier le milieu d’optiquement épais en cas d’absorption/diffusion sur de faibles épaisseurs par rapport à celle de l’échantillon ou d’optiquement mince en cas de plus faibles interactions sur le chemin optique. Une étude de la propagation du rayonnement à l’intérieur de la ma-tière, inutile pour les matériaux opaques ou transparents, est donc indispensable dans le cas d’un MST.

Les milieux semi-transparents solides sont donc caractérisés par leur mécanisme de transfert de chaleur interne couplé. D’une part, la chaleur est transférée par conduc-tion, dont le principe repose sur la transmission de proche en proche de la vibration des atomes ou molécules qui constituent le réseau de la matière solide. Dans ce cas, le paramètre caractéristique lié à ce phénomène est la conductivité thermique λ qui s’exprime en W ·m−1_·K−1_{. Les milieux caractérisés par une conductivité thermique}

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faible sont considérés comme des milieux thermiquement isolants, tandis que les mi-lieux caractérisés par une conductivité thermique élevée sont considérés comme des milieux conducteurs. Il est à noter que cette grandeur macroscopique dépend forte-ment de l’homogénéité du milieu, de la température et d’autres facteurs (Yang and Tao [2006]). D’autre part, la chaleur est également transférée par rayonnement dont le principe repose sur la propagation d’ondes électromagnétiques. Cette fois-ci, le para-mètre caractéristique est le coefficient d’extinction κe qui s’exprime en m−1. En effet,

le rayonnement interagit avec le milieu qu’il traverse, qui plus est en fonction de la lon-gueur d’onde du rayonnement. En plus de la réflexion qui peut survenir à l’interface, le rayonnement incident peut être absorbé et diffusé (i.e. dévié dans une autre direction). Le coefficient d’extinction est donc défini comme la somme du coefficient d’absorption et du coefficient de diffusion (Lemonnier [2015-2016]). Dans le contexte de cette thèse, le milieu semi-transparent étudié est considéré comme absorbant, émettant et non diffu-sant. Ainsi, le coefficient d’extinction se réduit seul au coefficient d’absorption. Compte tenu de la nature ondulatoire du rayonnement, le coefficient d’absorption est une fonc-tion de la longueur d’onde. Une distribufonc-tion spectrale est donc souvent utilisée pour décrire l’absorption du rayonnement par les milieux semi-transparents. Pour des raisons de simplicité, cette caractérisation spectrale du coefficient d’absorption n’est pas prise en compte dans le présent travail. Par conséquent, un coefficient d’absorption moyen, qualifié également d’effectif, κ, est utilisé pour représenter le comportement spectral du coefficient d’absorption. Les propriétés thermo-physiques à identifier, relatives au transfert de chaleur au sein des milieux semi-transparents, sont donc la conductivité thermique λ et le coefficient d’absorption effectif κ. Les matériaux semi-transparents sont largement utilisés dans tous les secteurs de l’industrie ainsi que celui des trans-ports (cf. Fig. 1). Ainsi la céramique est souvent utilisée comme revêtement isolant thermique autour de certaines pièces métalliques dans les moteurs d’avions (aubes par exemple, Wang et al. [2000], Wang et al. [2002]), le PMMA ou le verre sont quant à eux utilisés comme pare-brise et/ou fenêtre.

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L’étude de la propagation du rayonnement dans un MST est un problème rela-tivement complexe, que ce soit d’un point de vue physique ou mathématique. Les techniques expérimentales utilisées à l’heure actuelle pour déterminer les propriétés de tels milieux sont difficiles à mettre en oeuvre et les techniques d’inversion encore dif-ficiles à appliquer car la résolution numérique des équations reste accessible, i.e. dans des temps raisonnables, pour des configurations géométriques particulières et avec des hypothèses simplificatrices difficiles à reproduire expérimentalement. Ce travail de dé-veloppement d’outils de caractérisation de propriétés de matériaux semi-transparents repose sur la méthode Flash proposée par J. Parker en 1961 (Parker et al. [1961]). Initialement, la méthode flash permet de mesurer la diffusivité thermique d’un maté-riau opaque, homogène et isotrope. Son principe est de mesurer l’évolution temporelle de la température en face arrière d’un échantillon isolé dont la face avant est soumise à une excitation thermique de type impulsionnel. L’échantillon étant isolé de l’envi-ronnement, et selon le principe de conservation de l’énergie, la température de la face arrière converge vers une valeur limite. La diffusivité thermique de l’échantillon peut être déterminée à partir de l’épaisseur de l’échantillon et du temps de demi-montée (i.e. instant où la température de la face arrière atteint la moitié de la température limite, Milosoevic [2008]). Une fois la diffusivité thermique α obtenue, la conductivité thermique λ peut être calculée facilement en connaissant la capacité thermique volu-mique (ρ·Cp). En plus de la méthode flash, il existe également de nombreuses autres

méthodes pour estimer la conductivité thermique telles que la méthode de la plaque chaude gardée (NF X 10-021) utilisée en régime permanent, les méthodes utilisées en régime transitoire comme la méthode de hot disk (Gustafsson [1991]), la méthode du fil chaud (Nagazaka and Nagashima [1981]), la méthode des sondes thermique (ou plan chaud, Zhang and Degiovanni [1993]), la méthode de ruban chaud (Hammerschmidt [2003]), etc. Les conseils concernant le choix de ces méthodes pour estimer la conduc-tivité thermique λ en fonction de la gamme de λ sont proposés par Yves JANNOT (Jannot [2011]). Cependant, pour des matériaux semi-transparents, la relation tempé-rature/diffusion thermique n’est plus vraie à cause des effets radiatifs. La conductivité thermique d’un milieu semi-transparent peut être considérée en première approxima-tion comme la contribuapproxima-tion couplée des transferts dûs à la conduction, et aux effets radiatifs. Cela rend la détermination expérimentale de la conductivité thermique d’un milieu semi-transparent plus difficile.

Le présent travail présente et compare plusieurs stratégies permettant l’identifica-tion simultanée des propriétés de transport de chaleur par conducl’identifica-tion et rayonnement au sein de matériaux semi-transparents en combinant la méthode flash et la simulation numérique directe du problème conducto-radiatif couplé. Quelle que soit la stratégie, le principe consiste à ajuster les valeurs des paramètres à identifier de sorte à compenser les différences entre la simulation numérique directe et les données expérimentales (Ruf-fio [2004]). Par rapport aux mesures expérimentales mentionnées précédemment, cette

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stratégie permet de choisir librement le type et le nombre de paramètres à identifier. Les paramètres à identifier sont souvent une partie des propriétés thermo-physiques mais peuvent également concerner des paramètres relatifs à l’excitation (problème inverse de type conditions aux limites) ou autres. De plus, hormis les cas où les paramètres sont fortement corrélés entre eux ou bien les cas pour lesquels la température est faiblement sensible aux paramètres, l’identification simultanée de plusieurs paramètres est possible.

Dans un premier temps, il s’agit donc de résoudre ici un problème conducto-radiatif couplé. Pour la résolution des équations couplées, une méthode purement analytique n’existe pas à cause de la complexité du problème étudié. Cependant, une méthode semi-analytique est peut-être disponible, comme la méthode quadripôle thermique (Maillet et al. [2000]). Outre les méthodes semi-analytiques, les méthodes numériques aussi jouent un rôle important. Dans un premier temps, les méthodes numériques ba-sées sur les formulations mathématiques, comme la méthode zonale (Tan and Lalle-mand [1989]), la méthode des multi-flux (Heinemann et al. [1996]), la méthode des différences finies (André and Degiovanni [1995]), etc., ont été proposées. Ensuite, avec le développement des calculs numériques, des méthodes numériques comme la méthode des ordonnées discrètes (Liu and Tan [2001]) et la méthode de Monte Carlo ont été utilisées (Le Foll et al. [2013]). Parmi ces méthodes, la méthode zonale, la méthode des ordonnées discrètes et la méthode de Monte Carlo sont basées sur le principe du “lancer du rayon” (ray-tracing) et conviennent à la résolution de problèmes des confi-gurations complexes. Cependant, à cause du nombre important de rayons requis, le temps de calcul est très élevé et ces méthodes ne sont donc pas adaptées à la résolution rapide de problèmes couplés (Tan et al. [2009]). Pour résoudre ce problème de temps de calcul, Ghannam [2012] a utilisé la technique de calcul parallèle (GPU) pour la réso-lution rapide des facteurs de transferts radiatifs en milieu semi-transparent 3D non gris. Dans le cas présent, le système étudié correspond à un modèle direct conducto-radiatif 2D axisymétrique soumis à un flux imposé localisé en espace et en temps et sujet à un refroidissement convectif (cf. Chapitre 1). La sortie du modèle utilisé pour résoudre le problème inverse correspond à l’évolution de la température à la face avant, i.e. la face où le flux est imposé. Cette évolution de la température est enregistrée par une caméra infrarouge dont la fréquence d’acquisition est réglée à 50 Hz. On notera que d’un point de vue expérimental un grand soin est apporté pour conserver le plus possible le caractère axisymétrique, et ce afin de simplifier la complexité mathématique et numérique du modèle et ainsi réduire le temps de résolution du problème direct. Ce temps de calcul est crucial car il conditionne la vitesse du processus d’identifica-tion. Le système de coordonnées axisymétriques est compatible avec des échantillons de formes cylindriques, l’enjeu réside dans la fa¸con d’exciter l’échantillon. Pour résoudre

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aux milieux optiquement épais correspondant au cas étudié ici. Par la suite, les équa-tions couplées continues sont discrétisées par la méthode des volumes finis (Li [2005]) puis adimensionnées. Finalement, les équations couplées discrètes adimensionnées sont résolues par l’algorithme de Thomas (Datta [2010]) : une procédure itérative par ba-layages successifs, efficace et classique pour ce type de problèmes couplés, permettant ainsi d’atteindre un bon équilibre entre la précision et le temps de calcul.

Au dela de la construction du modèle direct, l’objectif de cette thèse est de cher-cher et d’explorer de nouvelles stratégies pour améliorer l’identification des propriétés thermo-physiques de milieux semi-transparents. Nous rappelons qu’un aspect impor-tant des méthodes inverses évoquées ci-dessus est la procédure qui consiste à ajuster les paramètres, ce qui peut être réalisé par des méthodes déterministes parmis lesquelles les méthodes de type descente de gradient (dérivée première) et de type Newton (dé-rivée seconde) sont les plus utilisées. Les méthodes de type Newton adaptées aux pro-blèmes thermiques incluent la méthode de Gauss-Newton, la méthode de Levenberg Marquardt, la méthode du gradient conjugué, etc. Par exemple, Li [1999] a utilisé la méthode du gradient conjugué pour estimer simultanément l’épaisseur optique, l’albédo de diffusion, le nombre de Planck et la phase de diffusion pour un problème inverse conducto-radiatif 1D en régime stationnaire. Park and Yoon [2000] ont utilisé la mé-thode du gradient conjugué pour estimer simultanément le coefficient d’absorption et le coefficient de diffusion pour un problème inverse conducto-radiatif 3D en régime sta-tionnaire. Daouas et al. [2008] ont réalisé l’estimation simultanée la conductivité ther-mique, la capacité therther-mique, le coefficient d’absorption et le coefficient de transfert de chaleur d’une cellule cylindrique à fil chaud par la méthode de Levenberg Marquardt. Dans un premier temps, nous avons remplacé ces méthodes classiquement utilisées par une méthode de type évolutionnaire (cf. Chapitre 2), l’algorithme d’optimisation par essaims particulaires (ou Particle Swarm Optimization, PSO). L’algorithme PSO, pro-posé en 1995 (Eberhart [1995]), repose sur l’idée d’une recherche de région optimale dans un espace complexe au moyen de l’interaction et la collaboration entre les par-ticules représentant chacune une solution potentielle dans l’espace des solutions. Par rapport aux méthodes de type descente de gradient traditionnelles pour lesquelles la performance dépend largement de la position initiale (convergence très rapide pour une position initiale bien choisie et convergence très lente ou blocage dans les minimums locaux pour une position initiale mal choisie), l’algorithme PSO présente des avantages comme une vitesse de convergence plus rapide mais surtout une capacité de recherche globale l’empéchant de tomber dans un minimum local (Divband [2010]). Compte tenu de ces avantages, l’algorithme PSO ainsi que sa version optimisée ont été appliqués pour résoudre des problèmes inverses, par exemple, Chopade et al. [2011] ont utilisé l’algo-rithme PSO pour l’estimation du coeffiicent d’extinction et de l’albédo de diffusion dans un problème de transfert de chaleur conducto-radiatif transitoire 1D. Zhang et al. [2015] ont développé un algorithme amélioré d’optimisation quantique par essaims

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particu-laires (IQPSO) afin d’augmenter l’efficacité et la précision de l’algorithme QPSO. Pour montrer la performance de l’algorithme IQPSO proposé, le nombre de Planck du milieu de changement de phase semi-transparent unidimensionnel est estimé en mesurant les températures transitoires. Wei et al. [2018] ont proposé un algorithme hybride d’optimi-sation par essaims particulaires stochastique (SPSO) et de programmation quadratique séquentielle (SQP) pour estimer simultanément le coefficient d’absorption dépendant de l’espace et le coefficient de diffusion d’un milieu semi-transparent 1D. Qi et al. [2015] ont développé un algorithme d’optimisation par essaims particulaires de type simplex Bare-Bones basé sur le clustering K-means (KSM-BBPSO) et un algorithme optimisé hybride simplex d’optimisation par essaims particulaires basé sur le clustering K-means (KSM-PSO). Ensuite, le nombre de Planck, l’albédo de diffusion et l’émis-sivité d’un milieu semi-transparent 1D homogène sont estimés simultanément pour la performance de ces algorithmes développés. De plus, Udayraj et al. [2015] ont comparé l’algorithme de colonies de fourmis (ACO), l’algorithme “coucous” (CS) et l’algorithme PSO pour les problèmes inverses de l’estimation des flux de chaleur. Parmi les autres méthodes d’optimisation, on citera Das et al. [2008] qui ont utilisé la méthode de Lat-tice Boltzmann et la méthode des volumes finis couplées avec l’algorithme génétique pour l’estimation de plusieurs paramètres dans un problème de transfert de chaleur conducto-radiatif transitoire 1D. Chopade et al. [2013] ont appliqué l’algorithme à évo-lution différentielle (Rahnamayan et al. [2008]) pour l’analyse inverse d’un problème de transfert de chaleur conducto-radiatif transitoire 1D. La plupart des problèmes inverses conducto-radiatifs étudiés ci-dessus sont unidimensionnels et il exsite peu d’étude sur la configuration 2D-axisymétrique. Les résultats finaux montrent que le couplage entre la simulation directe et l’algorithme PSO présente une grande robustesse et une bonne efficacité pour la résolution du présent problème.

La stratégie qui consiste à ajuster les paramètres recherchés à l’aide d’un algo-rithme évolutionnaire de type PSO pour minimiser l’écart entre les résultats issus de simulations et les données expérimentales a porté ses fruits mais occasionne des temps de calculs conséquents, pas toujours compatibles avec une utilisation dans un concept de contrôle de fabrication, par exemple. C’est pourquoi, il a été envisagé une nou-velle stratégie permettant une identification au moins aussi précise que les méthodes développées jusqu’à présent, pour des temps de calcul moindres. La nouvelle straté-gie proposée ici s’appuie sur un modèle réduit d’identification basé sur un réseau de neurones artificiels multi-couches. Un réseau de neurones peut être considéré comme une boˆıte noire, qui, pour un jeu de données d’entrée, renvoie un jeu de données de sortie correspondant, en fonction de la relation apprise au préalable entre les données d’entrée et de sortie. En raison de leur forte capacité d’auto-apprentissage, d’imitation et de prédiction, les réseaux de neurones artificiels ont le potentiel de rivaliser avec les méthodes inverses traditionnelles et devenir une méthode alternative de résolution

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conditions aux limites a été étudiée. Deng et al. [2005] ont développé une méthode d’es-timation du flux de chaleur transmis à une pièce basée sur des mesures de température interne et un réseau de neurones multicouches. Deng and Hwang [2006] ont utilisé un réseau de neurones analogique Hopfield en temps continu pour calculer la distribution de la température de manière directe dans le but d’identifier les conditions aux limites inconnues. Ponce [2016] a développé un algorithme de réseau de neurones amélioré et l’a appliqué à un problème radiatif inverse pour estimer simultanément la fonction de distribution granulométrique et la constante optique de milieux particulaires. De fa¸con plus générale, les problèmes inverses en thermique incluent la conception d’expérience (Bélanger and Gosselin [2009]) ainsi que l’identification des propriétés thermophysiques des matériaux, qui font également l’objet d’études. Grieu et al. [2011] ont proposé un outil basé sur l’intelligence artificielle pour estimer la diffusivité thermique de maté-riaux de construction à partir des réponses à une excitation aléatoire. Maneesh and Pradeep [2014] ont utilisé un réseau de neurones artificiels pour estimer simultané-ment les conductivités thermiques d’un composite constitué d’une feuille d’aluminium et d’une couche adhésive. Yilmaz et al. [2014] ont présenté un modèle de réseau de neurones artificiels permettant de prédire les propriétés thermodynamiques et thermo-physiques du CO2. Cependant, l’utilisation de réseaux de neurones artificiels destinés à l’identification de propriétés thermo-physiques de matériaux semi-transparents n’a pas encore été étudiée.

Dans ce contexte, un modèle d’identification basé sur un réseau de neurones arti-ficiels multicouches (cf. Chapitre 3) entraˆıné par un modèle direct de résolution des transferts conducto-radiatifs 2D axisymétrique est développé pour identifier simulta-nément la conductivité thermique λ et le coefficient d’absorption effectif κ de milieux semi-transparents. Une distribution Gaussienne des paramètres à identifier, paramé-trée selon les attendus a priori du matériau à caractériser, est utilisée pour générer des données simulées qui sont utilisées comme données d’entraˆınement. Cette straté-gie a permis, comparativement à un entrainement avec des données générées via une distribution purement aléatoire des paramètres, d’améliorer les performances d’identi-fication du réseau. Les réseaux de neurones utilisés à des fins d’identid’identi-fication souffrent des mêmes limitations que les méthodes traditionnelles, à savoir qu’ils sont capables d’identifier des paramètres tant que la sensibilité des paramètres est suffisante et que les sensibilités ne sont pas corrélées. L’identification des paramètres par un réseau de neurones préalablement entrainé est quasi instantanée et constitue une approche origi-nale qui intègre la phase d’identification (modèle réduit d’identification). Un réseau de neurones entrainé sur une gamme suffisamment étendue est réutilisable pour un grand nombre de matériaux, ce qui peut largement réduire le temps d’identification par rap-port aux méthodes inverses traditionnelles. De plus, la rapidité de calculs qu’offre cette approche a permis d’identifier les configurations, en termes de conductivité et de coef-ficient d’absorption (via le nombre de Planck), pour lesquelles les effets conductifs et

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radiatifs sont indiscernables.

Cette méthode est appliquée sur un échantillon de PMMA à l’aide du banc d’es-sais développé au sein de l’équipe. Les résultats de l’identification sont comparés à des valeurs de la littérature ainsi qu’à des mesures effectuées à l’aide d’un spectromètre récemment acquis par l’équipe (cf. Chapitre 2). L’estimation du coefficient d’absorp-tion moyen de plusieurs échantillons semi-transparents de PMMA est ainsi réalisée au moyen d’un spectromètre à transformée de Fourier (BRUKER VERTEX V70v). Les distributions spectrales de la transmissivité et de la réflectivité de l’échantillon sont tout d’abord mesurées. En se basant sur ces résultats, la distribution spectrale du coefficient d’absorption est ensuite obtenue en fonction du modèle de réflexions internes utilisé. Finalement, le coefficient d’absorption moyen est calculé en considérant la moyenne des résultats obtenus par l’approximation de Planck (adaptée aux milieux optiquement minces, Collin-Zahn [2010]) et par l’approximation de Rosseland (adaptée aux milieux optiquement épais, Collin-Zahn [2010]). Les résultats obtenus sont en bon accord avec les résultats issus de l’estimation par réseaux de neurones.

Finalement, l’exploration d’une identification des propriétés thermo-physiques à l’aide d’un modèle d’ordre faible s’appuyant sur des considérations physiques est par-tiellement réalisée (cf. Chapitre4). Ce modèle réduit permet de prédire, pour une condi-tion aux limites de type flux imposé, l’évolucondi-tion de la température au point central de la face avant, sortie qui est choisie comme observable dans les travaux d’identification pré-sentés précédemment. D’une part, le développement d’un modèle d’ordre faible permet de réduire le temps de calcul et donc, quelle que soit la méthode d’identification (i.e. déterministe ou stochastique), d’accélérer l’identification (Park and Cho [1996], Park et al. [1999], Scott Larson and Jones [2008]). D’autre part, un modèle d’ordre faible peut être plus facile à dériver, rendant le calcul des dérivées partielles, opérations es-sentielles dans le cadre d’une méthode basée sur la descente de gradient, analytique et donc bien plus rapide. Dans un premier temps, un modèle d’ordre faible non-linéaire relatif à un matériau donné (λ, κ fixés) est construit par la méthode d’identification modale (MIM, Girault et al. [2011]) et testé. Dans ce cas, les effets non-linéaires dus au rayonnement sont pris en compte pour la construction des équations du modèle d’ordre faible. Cependant, les données numériques utilisées dans la phase de construc-tion présentant peu d’effets non-linéaires (en raison des faibles niveaux et écarts de température considérés) l’identification des paramètres du modèle réduit relatifs aux non-linéarités s’est averé ne pas être pertinente, occasionnant une dérive des prédic-tions du modèle non linéaire. Ce constat nous a conduit à développer un modèle linéaire d’ordre faible paramétrique. Dans un second temps donc, la construction et les tests de validation d’un modèle linéaire d’ordre faible sont présentés. Contrairement au modèle

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réduit peut reproduire le comportement du modèle direct pour différents signaux de flux imposé et pour une large gamme de couples [λ, κ]. Un tel modèle peut donc être utilisé pour la résolution du problème inverse visant à l’estimation de λ et κ à partir de la connaissance de l’évolution de la température au centre de la face avant.

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(26)

Chapitre 1

Mod´

elisations directes du probl`

eme

´

etudi´

e

Sommaire

1.1 Introduction . . . 13 1.2 Modèle direct 1D instationnaire conducto-radiatif. . . 13 1.2.1 L’approximation P1 . . . 14 1.2.2 Système couplé conducto-radiatif instationnaire . . . 17 1.3 Résolution du modèle direct 1D. . . 18 1.3.1 Adimensionnement . . . 18 1.3.2 Méthode des différences finies . . . 19 1.3.3 Méthode des volumes finis . . . 22 1.3.4 Méthode de quadripôle thermique . . . 23 1.4 Validation du modèle direct 1D . . . 30 1.4.1 Cas 1 : Ncr = 10, τ = 1 . . . 32

1.4.2 Cas 2 : Ncr = 1, τ = 1 . . . 33

1.4.3 Cas 3 : Ncr = 0.1, τ = 1 . . . 34

1.4.4 Cas 4 : Ncr = 0.01, τ = 1 . . . 35

1.5 Modèle direct 2D axisymétrique . . . 37 1.5.1 Equations conducto-radiatives couplées . . . 37 1.5.2 Conditions initiales . . . 38 1.5.3 Conditions aux limites . . . 38 1.5.4 Distribution des maillages . . . 39 1.6 Résolution du modèle direct 2D axisymétrique . . . 40 1.6.1 Méthode des volumes finis . . . 40 1.6.2 Application au problème étudié . . . 40 1.6.3 Résolution de la partie conductive . . . 43 1.6.4 Résolution de la partie radiative . . . 51 1.7 Validation du modèle direct 2D axisymétrique . . . 55 1.7.1 Densité de chaleur imposée de type créneau . . . 56 1.7.2 Densité de chaleur imposée de type Dirac . . . 57

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1.7.3 Maillage temporel variable. . . 58 1.8 Conclusion . . . 61

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1.1. INTRODUCTION

1.1 Introduction

Dans ce chapitre, un modèle direct 1D instationnaire décrivant le transfert de cha-leur au sein du milieu semi-transparent avec conditions aux limites de type température imposée est tout d’abord développé et validé. En se basant sur ce modèle direct 1D, un modèle direct de simulation prenant en compte le couplage des transferts conducto-radiatifs dans une configuration 2D axisymétrique et de conditions aux limites de type flux imposé avec refroidissement convectif, est alors présenté et validé. Ensuite, la mé-thode de quadripôle thermique est appliquée à 3 modèles différents dans une configu-ration 1D. Parmi ces 3 modèles, le 2ème _{modèle absorbant, émettant, non diffusant est}

utilisé comme une référence de validation du modèle direct conducto-radiatif 2D axi-symétrique. Finalement, une amélioration du modèle direct (dans le cas où l’on impose une densité de chaleur de type Dirac) est réalisée en utilisant un maillage temporel variable pour reduire le temps de calcul.

1.2 Mod`

ele direct 1D instationnaire conducto-radiatif

Nous savons que le transfert de chaleur au sein des matériaux opaques n’est réalisé que par la conduction alors que pour les matériaux semi-transparents, deux modes de transfert de la chaleur existent en même temps : la conduction et le rayonnement. Donc il est nécessaire de prendre en compte le couplage entre ces deux modes de transfert de chaleur pour modéliser ou déterminer correctement le comportement ou les propriétés de matériaux semi-transparents. La difficulté de la prise en compte du couplage tient au fait que l’équation de la chaleur est très fortement couplée à l’équation du transfert radiatif. De plus, il n’existe pas de solution analytique à ce problème thermique. Dans ce chapitre, nous verrons une résolution numérique des équations couplées conduction-rayonnement par la méthode P1 et par la méthode des volumes finis.

Tout d’abord, nous présenterons ici un modèle pouvant décrire le transfert de cha-leur par conduction et rayonnement au sein d’un milieu semi-transparent homogène, isotrope, absorbant, émettant, non diffusant et gris. L’approximation P1 est utilisée pour simplifier l’équation de transfert radiatif. Le modèle complet est décrit sous forme adimensionnelle et fait intervenir deux paramètres : l’épaisseur optique τ du mur et un nombre caractéristique de l’importance relative du rayonnement et de la conduction (nombre de Planck : Ncr). En outre, des équations couplées sont discrétisées

respective-ment par la méthode des différences finies et la méthode des volumes finis puis résolues par l’algorithme de Thomas (Datta [2010], Ford [2015]) selon un processus itératif.

Hypoth`eses et param`etres principaux

La mise en œuvre des hypothèses ci-dessous nous permet de simplifier le problème étudié :

— L’objet étudié ici est un mur fini dont le milieu interne est fait d’un matériau semi-transparent solide, homogène, isotrope, absorbant, émettant, non diffusant

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et gris (ses propriétés radiatives sont supposées constantes sur tout le spectre). La paroi avant et la paroi arrière du mur sont supposées comme noires.

— Deux températures différentes sont imposées respectivement à la paroi avant et à la paroi arrière du mur. En effet, les grandeurs physiques adimensionnés sont utilisées ici pour simplifier les équations.

— La convection entre les parois du mur et l’air ambiant est n´eglig´ee.

— A l’instant initial, le mur est isotherme et en ´equilibre thermique avec l’environ-nement.

— Le transfert de chaleur au sein du mur est unidimensionnel.

Les paramètres principaux intervenants dans problème étudié ainsi que leurs unités et symboles correspondants sont rappelés dans le Tableau 1.1 ci-dessous :

Paramètre Définition et unité

e ´epaisseur du mur [m]

Nx nombre de nœuds suivant l’axe principal du mur

Nm nombre de mailles suivant l’axe principal du mur

Nt nombre de pas de temps total

ts temps de simulation [s]

∆_x _{pas spatial [m]}

∆_t _{pas temporel [s]}

τ ´epaisseur optique

Ncr nombre de Planck : λ·κ/(4n2·σ·Tini3 )

T₁′ température adimensionnée imposée en face avant du mur

T₂′ température adimensionnée imposée en face arrière du mur

σ _{constante de Stefan-Boltzmann [W ·m}−2_·K−4_]

Tableau_{1.1 – Param`etres importants intervenant dans le mod`ele direct 1D}

Ensuite, nous verrons tout d’abord la simplification de l’équation de transfert ra-diatif par l’approximation P1. Après, nous présenterons la discrétisation des équations conducto-radiatives par la méthode des différences finies et la méthode des volumes finis. Finalement, nous parlerons de la résolution itérative de système d’équation par l’algorithme de Thomas.

1.2.1 L’approximation P1

Nous prenons un exemple de milieu absorbant, émettant mais non diffusant pour expliquer la mise en œuvre de la méthode P1 (Lemonnier [2015-2016]). Nous rappelons tout d’abord l’expression générale de l’équation de transfert radiatif (ETR) :

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1.2. MOD`ELE DIRECT 1D INSTATIONNAIRE CONDUCTO-RADIATIF

Avec

— L(x, Ω) est la luminance au point x dans la direction Ω.

— L0_{(T ) est la luminance de corps noir `a la temp´erature locale T (x).}

— κ et κd sont respectivement le coefficient d’absorption moyen et le coefficient de

diffusion moyen du milieu, κe = κ+κdest le coefficient d’extinction (att´enuation)

moyen.

— D est le terme de renforcement par diffusion du rayonnement suivant Ω. Il intègre la contribution de toutes les autres directions, pondérées par la fonction de phase Φ _: D(x, Ω) = 1 4π Z 4π 0 L(x, Ω ′ )·Φ(Ω′, Ω) dΩ′ (1.2) Nous supposons que toutes ces grandeurs sont considérées comme des grandeurs monochromatiques. Pour un milieu non diffusant, l’équation de transfert radiatif se réduit alors à :

div(Ω·L) + κ·L = κ·L0(T ) (1.3) Pour résoudre cette équation, la méthode des harmoniques sphériques sera tout d’abord appliquée. L’idée consiste à décomposer la luminance sur une base de fonctions orthogonales (développement en série de Fourier généralisé) en posant :

L(x, Ω) = ∞ X l=0 l X m=−l Lm_l _(x)·Y_lm(Ω) (1.4) O`u Ym

l (Ω) sont les harmoniques sph´eriques d´efinies par :

Y_lm_{(Ω) = (−1)}m+|m|2 · " (l − |m|)! (l + |m|)! #1 2

·eimφ·Pl|m|(cosψ) (1.5)

Nous remarquons que ψ et φ sont les angles polaires caractérisant Ω dans le repère local attaché au point courant et P_l|m| les polynômes de Legendre associés. L’intérêt de cette décomposition est de remplacer la luminance inconnue L(x, Ω) par les coefficients

Lm

l (x) qui ne d´ependent pas de la direction.

Pour la suite, il suffit de remplacer L par son développement dans l’équation de transfert radiatif réduit, et puis multiplier l’équation résultante successivement par chacune des fonctions Ym

l , et ensuite int´egrer le r´esultat sur toutes les directions.

L’or-thogonalité des harmoniques sphériques nous permet d’obtenir autant d’équations aux dérivées partielles que d’inconnues Lm

l , c’est-`a-dire un nombre infini. Ainsi, en pratique,

le développement est tronqué en supprimant les termes dont l’ordre est supérieur à 1 et nous avons :

(31)

Puisque P0

0(cosψ)=1, P10(cosψ) = cosψ et P11(cosψ) = sinψ, la luminance peut

encore s’écrire : L(x, Ω)≈L00(x) + L−11 (x) √ 2 ·e −iφ ·sinψ + L01(x)·cosψ − L1 1(x) √ 2 ·e iφ ·sinψ (1.7) Cette approximation présentée ci-dessus s’appelle l’approximation P1. Il existe quatre fonctions inconnues dans cette approximation qui sont respectivement L0

0, L01, L−11

et L1

1. Puisque eiφ = cosφ + i·sinφ, ce développement peut être également exprimé sous

forme suivante :

L(x, Ω)_{≈a(x) + b(x)·Ω} (1.8) Nous remarquons que a(x) est un scalaire qui est ´egale `a L0

0(x), b(x) et Ω sont deux

vecteurs qui sont d´efinis comme :

b(x) =     b1(x) b2(x) b3(x)    =         L−11 (x) − L_√ 11(x) 2 −i·L −1 1 (x) + L_√ 11(x) 2 L0 1(x)         (1.9) Ω₌     µ η ζ    =     sinψ·cosφ sinψ·sinφ cosψ     (1.10)

En int´egrant L, puis Ω·L, sur toutes les directions de l’espace, nous obtenons :

a(x) = 1 4π Z 4π 0 L(x, Ω) dΩ = G(x) 4π (1.11) b(x) = 3 4π Z 4π 0 L(x, Ω)·Ω dΩ = 3 4π·q ′′ r(x) (1.12) AvecR₀4π dΩ = 4π,R₀4πΩ_{dΩ = 0 et} R4π 0 Ω·Ω dΩ = 4π

3 δ, o`u δ est le tenseur unit´e :

δij = 0 si i 6= j, δij = 1 si i = j. Nous savons que G est le rayonnement incident et q

′′

r

est la densité de flux radiatif, si nous intégrons l’équation de transfert radiatif présentée au début (1.3) sur toutes les directions en multipliant par Ω, nous avons alors :

Z 4π 0 Ω_{·div(Ω·L) dΩ +} Z 4π 0 Ω_{·κ·L dΩ =} Z 4π 0 Ω_·κ·L0_{(T ) dΩ} _(1.13)

Puisque L0_{(T ) est indépendant de la direction, l’intégration est ainsi égale à 0.}

Pour un milieu homog`ene et isotrope, κ est constant et on rappelle que q_r′′(x) =

R4π

(32)

1.2. MOD`ELE DIRECT 1D INSTATIONNAIRE CONDUCTO-RADIATIF

De plus, comme la luminance L est approch´ee par 1

4π·(G + 3Ω·q

′′

r), il vient :

div(Ω·L) = _4π1 ·div(Ω·G) + _4π3 ·div[Ω·(Ω·qr′′)] (1.15)

Et puis, une int´egration de l’´equation ci-dessus sur toutes les directions en multi-pliant par Ω nous donne :

Z 4π 0 Ω_{·div(Ω·L) dΩ =} 1 3· −−→ grad(G) (1.16) Donc q_r′′ _{= −} 1 3κ· −−→ grad(G) (1.17)

Nous savons que le transfert radiatif au sein d’un milieu semi-transparent se caracté-rise par un champ de densité de flux radiatif q′′_r, la relation suivante exprime l’équilibre entre les flux radiatifs re¸cus et émis :

− div(q′′r) = κ·[G − 4π · L0(T )] (1.18)

En rempla¸cant q_r′′ _{par −} 1 3κ

−−→

grad(G), nous obtenons alors :

div − 1 3κ −−→ grad(G) = κ·[4π · L0(T ) − G] (1.19) Lorsque κ est indépendant de x (milieu homogène), l’équation au-dessus devient :

divh−−→grad(G)i_{− 3κ}2_{·G = −12π·κ}2_·L0(T ) (1.20) C’est une équation dont la résolution nous fournit le champ de rayonnement incident dans tout le domaine. Une fois G connu, nous pouvons calculer la densité de flux radiatif

q_r′′ _{ainsi que le champ de sources radiatives −div(q}_r′′). Cette équation peut également s’écrire comme : 0 = ∂ 2_G ∂_x2 − 3κ 2 ·(G − 4n2·σ·T4) (1.21)

1.2.2 Syst`

eme coupl´

e conducto-radiatif instationnaire

Après la simplification de l’équation de transfert radiatif par la méthode P1, la propagation de la chaleur à travers le mur (1D) peut être décrite par les deux équations aux dérivées partielles couplées suivantes :

∂_T ∂_t = α· ∂2_T ∂_x2 + κ ρ·Cp·(G − 4n 2 ·σ·T4) (1.22) 0 = ∂ 2_G ∂_x2 − 3κ 2 ·(G − 4n2·σ·T4) (1.23)

(33)

On rappelle que T est la temp´erature, G est le rayonnement incident, σ est la constante de Stefan-Boltzmann et n est l’indice de r´efraction du milieu.

Conditions initiales

La condition initiale du mod`ele est :

∀x, T (x, t = 0) = Tini (1.24)

Conditions aux limites

Les conditions aux limites du mod`ele sont : ∀t, x = 0 : T = Tp1, − 2 3· ∂_G ∂_x + κ·G = 4κ·n 2 ·σ·Tp14 (1.25) ∀t, x = e : T = Tp2, 2 3· ∂_G ∂_x + κ·G = 4κ·n 2 ·σ·Tp24 (1.26)

1.3 R´

esolution du mod`

ele direct 1D

1.3.1 Adimensionnement

Avant la résolution des équations conducto-radiatives couplées, un adimensionne-ment des paramètres est mis en œuvre pour simplifier la résolution.

La densité de flux thermique locale q′′ traversant le mur est exprimée comme la somme de la densité de flux conductif q_c′′ et la densité de flux radiatif q_r′′ :

q′′(x, t) = q_c′′(x, t) + q_r′′_{(x, t) = −λ·}∂T ∂_x − 1 3κ· ∂_G ∂_x (1.27)

Les grandeurs adimensionnelles suivantes sont introduites pour simplifier les équa-tions aux dérivées partielles ainsi que les condiéqua-tions aux limites et la condition initiale :

x′ = x e, t ′ = α·t e2 , T ′ = T Tini , G′ = G 4n2_·σ·T4 ini (1.28) La température initiale Tini pilotant l’émission radiative peut être choisie entre Tp1

et Tp2 ou comme l’une ou l’autre de ces deux temp´eratures. Les deux ´equations aux

dérivées partielles s’écrivent ainsi : ∂_T′ ∂_t′ = ∂2_T′ ∂_x′₂ + 4κ·e2_·n2_·σ·T3 ini λ ·(G ′ − T′4) (1.29)

(34)

1.3. R´ESOLUTION DU MOD`ELE DIRECT 1D Soit encore : ∂_T′ ∂_t′ = ∂2_T′ ∂_x′₂ + τ2 Ncr·(G ′ − T′4) (1.31) 0 = ∂ 2_G′ ∂_x′₂ − 3τ 2 ·(G′ − T′4) (1.32) avec Ncr = λ·κ 4n2_·σ·T3 ini , _{τ = κ·e} (1.33) Les conditions aux limites et la condition initiale deviennent :

∀t′, x′ = 0 : T′ = T_p1′ , ₋ 2 3τ· ∂_G′ ∂_x′ + G ′ = T_p1′4 (1.34) ∀t′, x′ = 1 : T′ = T_p2′ , 2 3τ· ∂_G′ ∂_x′ + G ′ = T′4 p2 (1.35) ∀(x′, t′), t′ = 0 : T′(x′, t′) = T_p1′ (1.36) La densit´e de flux thermique locale adimensionn´ee s’exprime ainsi :

(q′′)′(x′, t′) = q ′′_{(x, t)} λ·Tini_e = (q′′)′_c(x′, t′) + (q′′)′_r(x′, t′_{) = −λ·}∂T ′ ∂_x′ − 1 3Ncr· ∂_G′ ∂_x′ (1.37)

Rappelons que Ncr repr´esente l’importance relative de la conduction et du

rayon-nement dans le transfert de chaleur. Si Ncr tend vers infini, le transfert de chaleur

dans le mur est purement conductif. Inversement, si Ncr tend vers z´ero, le transfert est

purement radiatif. Ceci peut être exprimé d’une fa¸con plus générale : — Si Ncr ≫ 1 : la conduction domine.

— Si Ncr ≪ 1 : le rayonnement domine.

— Si Ncr ≈ 1 : la conduction et le rayonnement sont ´equivalents.

1.3.2 M´

ethode des diff´

erences finies

Tout d’abord, nous utilisons la méthode des différences finies pour résoudre le pro-blème couplé décrit plus haut. Pour cela, un schéma temporel implicite d’ordre 1 et un schéma spatial centré d’ordre 2 sont choisis. L’équation de la chaleur adimensionnelle (1.68) se discrétise en : T_i,n′ _−T_i,n−1′ = ∆t ′ (∆x′ )2·(T ′ i+1,n−2T ′ i,n+T ′ i−1,n)+ τ2_·∆t′ Ncr ·

G′_i,n_{− 4T}′_i,n3 _·T_i,n′ + 3T′_i,n4

(1.38) Ce qui peut encore s’´ecrire :

−r·Ti+1,n′ + 1 + 2r + 4s·T′i,n3 ·Ti,n′ − r·T ′ i−1,n = T ′ i,n−1+ s·(3T ′₄ i,n+ G ′ i,n) (1.39)

(35)

avec r = ∆t ′ (∆x′ )2, s = τ2_·∆t′ Ncr (1.40) Ici, G′_i,n et T′_i,n représentent une estimation des quantités G et T au temps n en se basant sur leurs valeurs aux temps précédents. Ce qui peut être exprimé à l’ordre 1 :

G′_i,n= G′_i,n−1, T′_i,n= T_i,n−1′ (1.41) Ou `a l’ordre 2 :

G′_i,n= 2G′_i,n−1_{− G}′_i,n−2, T′_i,n = 2T_i,n−1′ _{− T}_i,n−2′ (1.42) Les conditions aux limites et la condition initiale sont :

∀t′, x′ = 0 : T_1,n′ = T_p1′ (1.43) ∀t′, x′ = 1 : T_N′_x_,n = T_p2′ (1.44)

∀x′, t′ = 0 : Ti,0′ = T

′

p1 (1.45)

Le problème se ramène ainsi, à chaque pas de temps, à la résolution d’un système tri-diagonal de la forme suivante :

Ai·T ′ i+1,n+ Bi·T ′ i,n+ Ci·T ′ i−1,n = Di (1.46) Pour 2≤i≤Nx− 1 : Ai = Ci = −r, Bi = 1 + 2r + 4s·T ′₃ i,n, Di = T ′ i,n−1+ s·(3T ′₄ i,n+ G ′ i,n) (1.47) Pour i = 1 et i = Nx : A1 = 0, B1 = 1, C1 = 0, D1 = T ′ p1 (1.48) ANx = 0, BNx = 1, CNx = 0, DNx = T ′ p2 (1.49)

Au sein du même pas de temps, une fois la température obtenue, nous pouvons calculer le rayonnement incident par l’équation discrétisée suivante :

0 = 1

(∆x′

)2·

2G′_i+1,n_{− 2G}′_i,n+ G′_i−1,n_{− 3τ}2_·hG′_i,n_{− T}_i,n′4i (1.50) Ce qui peut encore s’´ecrire :

(36)

1.3. R´ESOLUTION DU MOD`ELE DIRECT 1D

avec

χ = τ ·∆x′ = Ncr·s

r (1.52)

Les conditions aux limites discr´etis´ees sont : ∀t′, x′ = 0 : G′_1,n_{− G}′_2,n+ 3χ 2 ·G ′ 1,n = 3χ 2 ·T ′₄ p1 (1.53) ∀t′, x′ = 1 : G′_N_x_,n_{− G}′_N_x_−1,n+3χ 2 ·G ′ Nx,n = 3χ 2 ·T ′₄ p2 (1.54) ou encore : (1 + 3χ 2 )·G ′ 1,n− G ′ 2,n = 3χ 2 ·T ′₄ p1 (1.55) − G′Nx−1,n+ (1 + 3χ 2 )·G ′ Nx,n = 3χ 2 ·T ′₄ p2 (1.56)

Comme précédemment, nous retrouvons un système tridiagonal de la forme :

ai·G ′ i+1,n+ bi·G ′ i,n+ ci·G ′ i−1,n= di (1.57) Pour 2≤i≤Nx− 1 : ai = ci = −1, bi = 2 + 3β2, di = 3χ2·T ′₄ i,n (1.58) Pour i = 1 et i = Nx : a1 = −1, b1 = 1 + 3χ 2 , c1 = 0, d1 = 3χ 2 ·T ′₄ p1 (1.59) aNx = 0, bNx = 1 + 3χ 2 , cNx = −1, dNx = 3χ 2 ·T ′₄ p2 (1.60)

La résolution des systèmes tri-diagonaux peut être réalisée par un algorithme de Thomas (Datta [2010], Ford [2015] : 171-174). Considérons un système tri-diagonal contenant n variables inconnues :

ai·xi+1+ bi·xi+ ci·xi−1= di (1.61)

avec an = c1 = 0, ce système tri-diagonal peut être également écrit sous forme

matricielle : _           b1 a1 c2 b2 a2 . .. ... ... cn−1 bn−1 an−1 cn bn            ·            x1 x2 ... xn−1 xn            =            d1 d2 ... dn−1 dn            (1.62)